圓視角下的動態(tài)三角形運動界限

廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學(xué)(528225) 陳基耿

動態(tài)三角形的運動變化問題是高考解三角形試題的基本問題,解三角形試題的命制過程和呈現(xiàn)形式,體現(xiàn)了三角形的運動變化過程,或從動態(tài)到唯一確定進(jìn)行解三角形(求邊長、角度、面積),或分析動態(tài)三角形的運動界限(取值范圍或最值).教育部考試中心著力新高考試題改革[1-2],解三角形試題變化尤為深刻.近年全國卷新高考解三角形試題,問題情境新穎,給考生很大的挑戰(zhàn).考生由于未能對三角形進(jìn)行恰當(dāng)?shù)臉?gòu)形,在缺乏幾何直觀的情況下,解答方向不明確,數(shù)理運算舉步維艱.本文嘗試在圓的輔助下,對三角形進(jìn)行直觀構(gòu)形,分析新高考試題中動態(tài)三角形的運動變化規(guī)律,還原幾類常見問題的命題設(shè)計思路,從直觀角度探尋問題解答的策略.

一、有一個內(nèi)角為定角的三角形的運動界限

有一個內(nèi)角為定角的三角形是最常見的動態(tài)三角形模型.內(nèi)角為定值體現(xiàn)為兩種情況: ①內(nèi)角為特殊角; ②內(nèi)角的三角函數(shù)值為定值.這兩種情況均易于在三角形的外接圓中進(jìn)行構(gòu)形,從直觀上分析三角形的運動變化規(guī)律,確定三角形的運動界限.

例1ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分析三角形的運動變化情況.

分析任意三角形都有外接圓,同弧所對圓周角等于圓心角的一半.如圖1,在圓O內(nèi)作等邊三角形OAB,得圓心角因此圓周角為定值.三角形頂點C為動點,運動界限為圓的優(yōu)弧

圖1

例2ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分析三角形的運動變化情況.

分析同弧所對圓周角等于圓心角的一半, 則圓周角等于半圓心角.如圖2, 在直角三角形COP中, 點P為AC中點, 半徑CO=3CP, 則半圓心角∠COP=B,所以三角形頂點B為動點,運動界限為圓的優(yōu)弧

圖2

借助外接圓中單定角三角形運動模型,易于分析三角形的邊長、角、周長以及面積的取值變化界限.以下兩道高考試題非常典型,第一問通過運算求解確定一個內(nèi)角為定角,此時定角所在頂點在圓周上運動,第二問添加條件,確定三角形的運動界限.

真題1(2020年新高考Ⅱ卷第17 題)ΔABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC,(1)求A;(2)若BC=3,求ΔABC周長的最大值.

真題2(2019年高考新課標(biāo)Ⅲ卷第18 題)ΔABC中,已知(1)求B; (2)若ΔABC為銳角三角形,且c=1,求ΔABC面積的取值范圍.

分析首先求得如圖3,在外接圓中構(gòu)形,頂點B為動點,運動界限為圓的優(yōu)弧若三角形為銳角三角形,則頂點B的運動界限為劣弧(不包括端點).再添加條件c=1,則BC邊上的高為定值,如圖4,由面積公式知三角形的面積由底邊BC邊長唯一確定.B1C和B2C是邊長BC運動變化的上下界限.

圖3

圖4

值得注意的是,“三角形的高”和“一邊在另一邊的投影”是常見的兩種比較隱蔽的條件,受到命題人的青睞.考生若能從直觀上識別并構(gòu)形,如同重構(gòu)了命題人的“原圖”,從命題人的角度分析思考問題,自是豁然開朗,事半功倍.

真題3(2020年新高考I卷第17 題)在②csinA=3,這三個條件中任選一個, 補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.問題: 是否存在ΔABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c, 且____?

分析在例題1 的基礎(chǔ)上, 由得則三角形的形狀被唯一確定, 如圖5.此時三角形外接圓半徑未定, 則三角形大小未定.因此再選擇條件②csinA=3,該條件的幾何意義表示邊b上的高為3,如圖6,因此確定三角形的各邊長,實現(xiàn)解三角形.

圖5

圖6

真題4(2019年高考新課標(biāo)I卷第17 題)ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c, 設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A;形狀,實現(xiàn)解三角形.

圖8

以上近年幾道高考真題,均設(shè)計單定角三角形在外接圓中的運動變化模型.真題2 和真題3 均以“三角形的高”約束三角形的運動,實現(xiàn)解三角形.真題4 和真題5 設(shè)計的圖形背景和思路是完全一致的,均以“邊的投影”約束三角形的運動,實現(xiàn)解三角形.

二、與切割線或相交弦相關(guān)的三角形的運動界限

三角形兩內(nèi)角和差關(guān)系確定的動態(tài)三角形問題,可以在圓的輔助下,直觀分析三角形的運動界限.三角形兩內(nèi)角和為定值,則第三角為定值,歸結(jié)為上面第一種情況.三角形兩內(nèi)角差為定值,則三角形的運動變化常關(guān)聯(lián)圓的切割線或相交弦運動變化問題.三角形某邊分點處添加輔助線問題,則顯式關(guān)聯(lián)圓的相交弦問題.

例3ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分析三角形的運動變化情況.

圖9

圖10

圖11

圖12

后續(xù),易于從函數(shù)導(dǎo)數(shù)或基本不等式的角度,分析該函數(shù)的最小值.

圖13

圖14

真題7(2021年新高考I卷第19 題)記ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac, 點D在邊AC上,BDsin ∠ABC=asinC.(1)證明:BD=b; (2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.

分析易于證得BD=b,結(jié)合AD=2DC,AC與BD為圓內(nèi)的兩條相交弦.根據(jù)相交弦定理(或相似三角形),有AD·CD=BD·ED,所以確定該三角形的構(gòu)造背景為圓內(nèi)的相交弦問題,兩段弦長度關(guān)系確定,固定分點相交.直觀上,兩相交弦夾角的變化決定了ΔABC的運動變化,同時邊a,c跟隨變化.添加條件b2=ac,將約束相交弦的運動,也就約束了三角形的運動,確定三角形的形狀,實現(xiàn)解三角形.

三角形運動變化的“因”,自然是解答問題的突破口.設(shè)∠ADB=θ,在ΔADB中,在ΔCDB中,兩式 消 去cosθ, 得結(jié) 合b2=ac, 得6a2-11ac+3c2=(2a-3c)(3a-c)=0.后續(xù)易于解三角形.該題在外接圓的輔助下,也可延續(xù)從相交弦角度進(jìn)行進(jìn)一步分析,解答過程將更直觀[3].

真題6 和真題7,在圓的輔助下對三角形進(jìn)行構(gòu)形,易于從直觀上明確三角形運動變化的“因”,也就發(fā)現(xiàn)了問題解答的突破口.直觀上明確解答問題的方向,數(shù)量上求解三角形的“界”.本文對解三角形試題的研究,充分體現(xiàn)圓視角下構(gòu)形的優(yōu)越性,還原命題設(shè)計思路,直觀探尋問題解答策略.