例談非對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題

深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院附屬外國語學(xué)校(518109) 鐘文體

一、從極值點(diǎn)偏移問題談起

已知函數(shù)f(x),設(shè)x1和x2是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)且滿足f(x1)=f(x2),要求證明形如x1+x2＞m或x1+x2＜m的不等式.這類問題通常稱為極值點(diǎn)偏移問題.極值點(diǎn)偏移問題近年來屢次出現(xiàn)在各地高考和模考試題中,是函數(shù)壓軸題的一種重要類型.例如,2021年新高考I卷第22 題就是一道典型的極值點(diǎn)偏移問題.此類問題思維難度大,對(duì)分析和推理能力有較高的要求, 考察函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,涉及函數(shù)與方程,轉(zhuǎn)化與化歸等重要數(shù)學(xué)思想方法.專家和一線教師對(duì)極值點(diǎn)偏移問題作了大量研究,在中國知網(wǎng)可以檢索到二百余篇關(guān)于這一主題的文獻(xiàn).經(jīng)過大量的解題研究和長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐,此類問題已形成成熟的處理策略.常見的解題策略主要有以下三種: 構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù),齊次化方法,利用對(duì)數(shù)均值不等式[1-4].

不妨稱上述極值點(diǎn)偏移問題為對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題.與近年來對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題的“火爆”形成鮮明對(duì)比的是非對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題的“冷清”.先闡釋何謂非對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題.

已知函數(shù)f(x)和兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)a和b.設(shè)x1和x2是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)且滿足f(x1)=f(x2),要求證明形如ax1+bx2＞m或ax1+bx2＜m的不等式.

我們稱這類問題為非對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題.就筆者所知,似乎還沒有相關(guān)文獻(xiàn)專門研究非對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題.為了彌補(bǔ)這一遺憾,筆者不揣淺陋,以例為綱,淺談此類問題的解決方法,以期拋磚引玉.

二、非對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題初探

我們以2021年新高考I卷第22 題的函數(shù)f(x)=x(1-lnx)為研究對(duì)象, 呈現(xiàn)非對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題的一些解決方法.

問題(2021年新高考I卷第22 題改編)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).設(shè)s ＜t且f(s)=f(t), 我們希望研究表達(dá)式s+λt的取值范圍.

易知f′(x)=-lnx,于是f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,fmax=f(1)=1,其圖象如圖1 所示.由圖象可知0＜s ＜1,1＜t ＜e 且s和t的單調(diào)性相反,即當(dāng)s增大時(shí),t減小;當(dāng)s減小時(shí),t增大.于是,當(dāng)λ ＜0 時(shí),s+λt隨s的增大而增大,從而s+λt ＞λe(當(dāng)s →0 時(shí)),s+λt ＜1+λ(當(dāng)s →1 時(shí)).下面探究λ ＞0 的情形.

圖1

1.證明3＜s+2t ＜2e.

為了降低問題的復(fù)雜度,我們先從λ=2 這一較簡(jiǎn)單的情形開始.

注不等式3＜s+2t ＜2e 是如何想到的? 讓s →1,則由圖1 可知t →1, 從而s+2t →3.再讓s →0, 則由圖1 可知t →e,從而s+2t →2e.于是,可以合理地猜測(cè)不等式3＜s+2t ＜2e 成立.2021年新高考I卷原題等價(jià)于證明2＜s+t ＜e,若已知這一結(jié)論,則很容易證明待證不等式.事實(shí)上,s+2t=(s+t)+t ＞2+t ＞2+1=3,s+2t=(s+t)+t ＜e+e=2e.若不使用中間結(jié)論2＜s+t ＜e,可用如下方法證明.

首先s+2t ＞3?s ＞3-2t,因3-2t ＞且3-2t ＜3-2×1=1,即3-2t ∈(0,1),又因f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,故s+2t ＞3?s ＞3-2t ?f(s)＞f(3-2t).

注意到f(s)=f(t),故s+2t ＞3?f(t)＞f(3-2t).構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(3-2x),, 只需證明g(x)＞0 即可.求導(dǎo)得

評(píng)注上述方法的思路源于求解對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題的對(duì)稱差函數(shù)方法,將關(guān)于s和t的雙變量不等式問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的單變量不等式問題.實(shí)際上,也可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于s的單變量不等式問題,此時(shí)“充要條件鏈”為

具體細(xì)節(jié)留給讀者.我們?cè)儆妙愃频乃悸纷C明不等式右邊.

評(píng)注用類似的方法可以證明當(dāng)λ ＞1 時(shí), 1+λ ＜s+λt ＜λe.當(dāng)然,也可以用已知結(jié)論2＜s+t ＜e 進(jìn)行證明.下面探究λ ＜1 的情形.

評(píng)注條件似乎有點(diǎn)突兀,但它實(shí)際上是不等式λe ≤1+λ的解集.

因1+λ - λt ＞1+λ - λe=1- λ(e-1)≥且1+λ - λt ＜1+λ - λ=1,即1+λ-λt ∈(0,1),于是,根據(jù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增且f(s)=f(t),有如下“充要條件鏈”:

構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(1+λ-λx),x ∈(1,e),只需證明g(x)＜0 即可.求導(dǎo)得

令h(x)=x(1+λ-λx)λ,求導(dǎo)得

h′(x)=(1+λ)(1+λ-λx)λ-1(1-λx),

評(píng)注讓s →1,則t →1,故s+λt →1+λ,從而上界1+λ是最優(yōu)的.我們自然會(huì)問,此時(shí)λe 是s+λt的下界嗎? 即s+λt ＞λe 成立嗎? 應(yīng)用繪圖軟件GeoGebra 可知這并不成立.例如,取λ=0.5,用GeoGebra 求得函數(shù)f(x)=x(1-lnx)的圖象與直線y=0.4 的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)約為0.13 和2.28,故0.13+0.5×2.28=1.27＜0.5e≈1.36.

評(píng)注用已知結(jié)論2＜s+t ＜e 可以證明當(dāng)λ ＞1 時(shí),s+λt ＜λe 成立,但這種方法不能應(yīng)用到λ ＜1 的情形,需要單獨(dú)證明.

因k(0)=λe＞0,于是可分為以下兩種情形討論.

(1)若存在x′ ∈(0,1)使得k(x′)=0,則當(dāng)x ∈(0,x′)時(shí),k(x)＞0,h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x ∈(x′,1)時(shí),k(x)＜0,h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減.因h(0)=0,故存在x0∈(0,x′)使得h(x0)=1.當(dāng)x ∈(0,x0)時(shí),h(x)＜1,g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x ∈(x0,1)時(shí),h(x)＞1,g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減.又因從而g(x)＞0.于是待證不等式成立.

(2)若k(x)在(0,1)上恒大于零, 則h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.因h(0)=0,h(1)=＞e-(e-1)=1,故存在x0∈(0,1)使得h(x0)=1.當(dāng)x ∈(0,x0)時(shí),h(x)＜1,g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x ∈(x0,1)時(shí),h(x)＞1,g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減.又因從而g(x)＞0.于是待證不等式成立.

評(píng)注讓s →0,則t →e,因此s+λt →λe,故上界λe是最優(yōu)的.同樣會(huì)問,當(dāng)時(shí),s+λt ＞λ+1成立嗎? 應(yīng)用繪圖軟件GeoGebra 可知這并不成立.例如,取λ=0.6,前面已經(jīng)知道函數(shù)f(x)=x(1-lnx)的圖象與直線y=0.4 的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)約為0.13 和2.28, 故0.13+0.6×2.28=1.498＜1+0.6.

評(píng)注當(dāng)λ ＜1 時(shí)如何找下界是一個(gè)比較困難的問題,一般情形留給感興趣的讀者進(jìn)一步探究.

5.齊次化方法

圖2

三、更多的例子

上面呈現(xiàn)的方法具有一定的普適性,可以用類似的方法解決其它非對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題,下面再舉一些典型的例子.

類題2已知函數(shù)f(x)=ex - x.設(shè)s ＜ t且f(s)=f(t),證明s+2t ＜ln 2.

證明由f′(x)=ex-1 可知f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減, 在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增, 從而s ＜0,t ＞0.

通過上面的幾個(gè)例子可以看到,本文的方法可以處理常見的非對(duì)稱極值點(diǎn)偏移問題,求解思路很清晰,是一種可行的解題策略.當(dāng)然,也許還有更好的方法,期待未來有更多的文獻(xiàn)探討這一問題.