諧波傳動空間相伴運動的共軛理論與特性分析

董博，董惠敏，王德倫，張楚

（大連理工大學機械工程學院，遼寧大連 116024）

諧波齒輪傳動在剛性輪齒假設條件下，對于杯型柔輪（一般諧波傳動都是杯型柔輪）輪齒間的相對運動在柔輪波發(fā)生器作用下屬于軸線傾斜的空間共軛運動.目前，諧波齒輪傳動輪齒共軛運動的常用方法是采用軸線平行的平面共軛理論進行分析和對主截面進行平面齒形設計［1-9］.但針對由柔輪空間變形引起的輪齒的空間嚙合造成的其他截面的干涉，王家序等［1］通過線性關系改變柔輪齒根處的壁厚實現(xiàn)其他截面的無干涉嚙合，并在后續(xù)的改進中［2-4］通過合理調整柔輪齒徑向位置的方法，實現(xiàn)空間無干涉嚙合；范元勛等［5］和Yu 等［6］通過改變壁厚和修改變位系數(shù)方法實現(xiàn)其他截面的無干涉嚙合；Dong等［7-9］采用離散方法將空間問題離散為若干平面問題，建立瞬心線法研究輪齒的三維共軛運動，論證了輪齒共軛齒廓應為三維空間曲面.以上的研究為諧波齒輪傳動的空間嚙合運動提供了可行的研究思路與方法，但均將諧波傳動輪齒的空間相對運動問題簡化為平面運動問題，以截面齒形代替空間齒形或是對其進行修正.雖然，以平面共軛運動近似處理諧波傳動的空間共軛運動不失為一種簡單的處理方法，但并非諧波齒輪傳動的真實共軛運動，難以揭示輪齒運動的本質.為此，本文從根本上考慮諧波傳動柔輪殼體的空間彈性變形，研究輪齒的空間共軛運動及其特性，為空間齒形設計和強度與壽命研究［10］奠定理論基礎.

在諧波齒輪傳動中，輪齒視為剛體，由于剛體的空間相對運動可以描述為與剛體分別固連的瞬軸面的滾動和滑動［11-12］，因此輪齒的相對運動可以分解為繞瞬軸的轉動和沿瞬軸的移動，其瞬軸面能夠表示剛性輪齒的空間相對運動，隱含了剛性輪齒空間運動的內在信息.相伴方法是剛體相對運動分析中的一種常用方法［13］，以瞬軸面為原曲面，剛性輪齒的齒面為瞬軸面的相伴曲面，采用相伴方法研究瞬軸面與共軛齒面間的內在聯(lián)系，能夠直接揭示剛性輪齒空間相對運動的本質.

為了研究諧波齒輪傳動輪齒的空間真實嚙合運動，本文提出一種基于相伴方法的諧波傳動空間共軛運動模型.將剛/柔輪齒面的相對運動轉化為瞬軸面的滾動與滑動，采用瞬軸面和一對共軛齒面的相伴運動方法，推導出諧波傳動空間共軛條件式，進而建立瞬軸面與共軛齒面相伴運動的共軛模型；通過所建立的空間共軛模型，分別研究了瞬軸與共軛點法矢的關系特性、空間共軛的退化與約束特性、嚙合面為準不動面的空間共軛特性；最后通過實例仿真對空間共軛模型與運動特性進行了驗證，為諧波傳動的空間共軛理論提供了一種新的共軛運動分析方法.

1 輪齒空間運動的動定瞬軸面

1.1 柔輪殼體中性層母線上的坐標系

諧波傳動由波發(fā)生器、剛輪和柔輪3 個構件組成，通常剛輪固定，波發(fā)生器輸入，柔輪輸出，其空間運動分析基于3種基本假設：

1）柔輪齒剛性不變形，僅在齒槽中部發(fā)生變形.

2）柔輪殼體變形時，柔輪杯底不變形.

3）柔輪殼體中性層與輪齒對稱面的交線為一條直線（母線），且相對杯底做三維空間運動.

根據假設，柔輪殼體中性層母線的空間運動是由柔輪嚙合端的彈性變形約束及杯底的不變形約束共同確定的.在嚙合端，由殼體的半無矩理論可知，其徑向位移w、周向位移v、法向轉角μ和軸向位移u是關于轉角φ（柔輪嚙合端相對波發(fā)生器長軸轉角）函數(shù).因此，在杯底不變形約束條件下，由柔輪齒嚙合端中性層母線與齒寬中截面交點的徑向位移w、周向位移v、法向轉角μ和軸向位移u由殼體的半無矩理論可得：

式中：w0為柔輪變形時的最大徑向變形量（w0=mc*，m為模數(shù)，c*為徑向變形系數(shù)）；rb為柔輪中性層變形前的半徑；l0為中性層母線與齒寬中截面交點距杯底的距離.

表1 諧波傳動運動參數(shù)Tab.1 Motion parameters of harmonic drive

根據諧波傳動原理，諧波傳動剛性輪齒的輸入、輸出的轉角滿足：

式中：ZF為柔輪齒數(shù)；ZC為剛輪齒數(shù).

式（2）建立了各轉角與變量φ之間的函數(shù)關系φW（φ）、φF（φ）.

1.2 中性層母線的直紋面運動

以剛性柔輪齒固連的中性層母線Lk為參考直線，則參考直線Lk與齒寬中截面的交點為Of，其空間運動軌跡形成直紋面∑k，如圖1 所示，則在坐標系SF下的直紋面的矢量方程可表示為：

圖1 諧波傳動空間坐標系Fig.1 Spatial coordinates of harmonic drive

式中：if、jf、kf分別為坐標系Sf的單位方向矢量；iF、jF、kF分別為坐標系SF的單位方向矢量.

式（3）～式（5）建立了各坐標系間的位置關系及中性層母線的直紋面方程.

1.3 輪齒的動定瞬軸面

剛性輪齒的空間相對運動可以描述為與輪齒分別固連的瞬軸面的滾動與滑動，若直線Ls恰為輪齒空間相對運動的瞬時運動螺旋軸（瞬軸ISA），則直線Ls需滿足準不動條件［21］：直線上各點Pi的速度相等；方向沿著直線方向不變.

從而滿足dlC/dφ=0（速度相等）（方向不變）.瞬軸Ls在SC下的運動軌跡形成定瞬軸面ГC，如圖2 所示，由準不動條件①可求得瞬軸的單位方向矢量為：

圖2 中性層母線的直紋面與瞬軸面Fig.2 Ruled surface of neutral layer generatrix and axode

式中：lf、lC分別為瞬軸在Sf、SC下的單位矢量；θ1、θ2為矢量lf在Sf下的方向角，θ1為矢量lf與Zf軸之間的夾角，θ2為Xf軸與矢量lf在坐標平面Of-XfYf上投影矢量的夾角.

將式（4）、式（5）中的BCF、BFf代入式（6），可獲得兩個獨立標量方程，因此可求出瞬軸的方向lC與變量φ之間的關系（θ1（φ）、θ2（φ））.

由準不動條件②可求得瞬軸的位置矢量為：

式中：為瞬軸上P點在SC下的矢量；為瞬軸上P點在Sf下的矢量；u1、u2、u3為P點在Sf下的相對坐標分量.

將式（6）中的θ1（φ）、θ2（φ）代入式（7），可獲得3個標量方程，因此可求出瞬軸的位置矢量與變量φ之間的關系（u1（φ）、u2（φ）、u3（φ））.聯(lián)立式（6）和式（7）可獲得Sf下的動瞬軸面Гf、SC下的定瞬軸面ГC.動定瞬軸面可表示為：

式中：λC為定瞬軸面ГC的直母線參數(shù)，λf為動瞬軸面Гf的直母線參數(shù).

2 空間相伴運動的共軛模型

2.1 齒面與瞬軸面的相伴運動

以動瞬軸面Гf和定瞬軸面ГC為原曲面，則柔輪剛性齒面Cf與剛輪剛性齒面CC分別為Гf和ГC的相伴曲面，如圖3 所示.由于瞬軸面的腰線具有唯一性，能夠反映出瞬軸面的幾何特征，因此由公式（8）可得以腰線為準線的動定瞬軸面可表示為：

圖3 剛性齒面與瞬軸面的相伴運動Fig.3 Concomitant motion of rigid tooth surfaces and axodes

式中：ρi為瞬軸面的腰線在Si下的矢量；bi為腰準距.

式（9）建立了瞬軸腰線ρi及腰準距bi與變量φ之間的函數(shù)關系（ρi（φ）、bi（φ））.

在剛性齒面的假設條件下，設輪齒齒面Ci為直紋面，齒面Ci上的點M在輪齒坐標系Si下的位置矢量為，直紋面上的M點在Frenet 標架下的位置矢量為，輪齒齒面直母線的方向矢量在Frenet標架Si下為lii，輪齒齒面在M點處的法矢在Frenet 標架Si下為nii.由于瞬軸面Гi與輪齒齒面Ci為兩個相伴曲面，因此在輪齒坐標系Si下齒面Ci的位置矢量Rii可表示為：

式中：u1、u2、u3為M點在Frenet 標架Si中的相對坐標分量；l1、l2、l3為方向矢量lii在Frenet 標架Si中的相對坐標分量；n1、n2、n3為M點處的法矢nii在Frenet 標架Si中的相對坐標分量.

式（11）建立了齒面與瞬軸面的相伴運動關系.

2.2 基于相伴方法的共軛條件

由空間共軛基本原理可知，嚙合點處的相對運動速度在齒面公法線方向的投影為零，結合2.1節(jié)齒面與瞬軸面的相伴運動，則齒面上共軛點的相對運動速度可表示為：

將式（11）與式（12）代入nii·VCf=0，可得基于相伴運動的齒面共軛條件式為：

共軛條件式（13）由瞬軸面的結構參數(shù)（αi、βi、γi）、共軛齒面參數(shù)（u1、u2、u3、l1、l2、l3）及齒面微分參數(shù)（du1/dσi、du2/dσi、du3/dσi）三部分組成，通過共軛條件式（13）建立了瞬軸面與共軛齒面之間的內在聯(lián)系，能夠清晰明了地表達出采用相伴方法的空間共軛運動機理.

2.3 共軛方程及共軛齒面求解方法

共軛齒面的接觸線lii在Frenet 標架Si下的運動軌跡形成嚙合面，嚙合面上任意點只要滿足共軛條件式（13）便能成為共軛點，因此聯(lián)立式（11）與共軛條件式（13），可得共軛齒面的共軛方程為：

式（14）建立了滿足相伴運動共軛條件的共軛齒面方程，并清楚表達出了在Frenet標架Si下的嚙合面的方程，在Frenet標架Si下的嚙合面可作為連接瞬軸面與共軛齒面的橋梁.

諧波傳動空間共軛齒面的求解問題可以概述為3 類基本求解問題：第1 類是已知一對輪齒的其中一個（剛輪或柔輪）齒面及運動規(guī)律，求嚙合面及另一與其共軛的齒面；第2 類是已知嚙合面及運動規(guī)律，求空間共軛的一對輪齒（剛輪和柔輪）齒面；第3 類為已知一對輪齒的其中一個（剛輪或柔輪）齒面及嚙合面，求運動規(guī)律及另一共軛柔輪（或剛輪）齒面.以第2類問題為例，說明共軛齒面的求解方法：

1）已知在Frenet 標架Si下的一個嚙合面Ti，根據式（11）確定嚙合面的位置矢量、方向矢量lii及法向矢量參數(shù)nii；

2）聯(lián)立式（1）～式（8），并代入瞬軸面式（9）確定瞬軸面的腰線矢量ρi（φ）及瞬軸方向矢量li（φ）；

3）將腰線ρi（φ）及方向矢量li（φ）代入式（10），求得瞬軸面的結構參數(shù)（αi、βi、γi）；

4）將瞬軸面的結構參數(shù)（αi、βi、γi）、嚙合面參數(shù)（uj、lj、nj，j=1，2，3）及齒面微分參數(shù)（duj/dσi）代入共軛條件式（13），求得嚙合面參數(shù)所對應的運動參數(shù)φ值；

5）將運動參數(shù)φ值代入式（14），求得空間共軛的剛輪齒面CC及柔輪齒面Cf.

3 空間相伴共軛運動的特性

3.1 瞬軸與共軛點法矢的關系特性

由于空間任意一點處的相對速度和這個點繞瞬軸做一定的螺旋運動時的線速度相同，因此，當空間共軛齒面的接觸線在任意瞬時均為直線時，在任意瞬時接觸線上任意一點的相對速度均等于該點繞瞬軸做一定螺旋運動時的線速度.相對速度可表示為（ωl為嚙合點的相對速度繞瞬軸的回轉角速度，vl為該點的相對速度沿瞬軸的滑動速度），將其代入空間共軛基本原理公式nii·VCf=0可得：

3.2 空間共軛退化為平面共軛的約束特性

諧波傳動輪齒的空間共軛運動退化為平面共軛運動后，動定瞬軸面（退化為兩柱面）及共軛齒面在其直母線方向（Zi軸方向）不產生運動，僅在平面XiYi內運動，由式（15）可知，退化為平面共軛運動后，共軛齒面法矢nii與嚙合點位置矢量共線且瞬軸相交于Q點，退化后的空間共軛運動在平面XiYi內的投影如圖4所示.

圖4 空間共軛退化后的平面相伴運動Fig.4 Plane concomitant motion after space conjugate degeneration

設（ri，θ）i為嚙合點M在下的極坐標位置，則由公式（11）可得共軛齒面法矢nii（n1=cosθ，n2=sinθ，n3=0）及嚙合點位置矢量（u1=rcosθ，u2=rsinθ，u3=0），將其代入式（16）可得退化后平面共軛運動的共軛條件為dr+cosθds=0，這與文獻［15］推導的結論一致，驗證了采用相伴方法的諧波傳動剛性輪齒共軛條件式的正確性.

3.3 嚙合面為準不動面的共軛特性

為證明本文所提出的空間相伴運動共軛模型的通用性與統(tǒng)一性，以嚙合面為準不動面（接觸線為直線且滿足準不動線條件，接觸線與嚙合線共面）為例，通過本文第2 節(jié)內容，分析其空間共軛運動特性.如圖5所示，由于嚙合面為平面Ti，設過瞬軸面腰線上的Q點做嚙合面Ti的垂線并與嚙合面相交于M點，則嚙合面Ti上的M點在Frenet標架Si下的位置矢量可表示為，其中，p為瞬軸面腰線上的Q點到嚙合面Ti的距離，當嚙合面Ti為準不動面時代入準不動面條件可得：dn1/dσi=n2，dn2/dσi=-n1+βin3，dn3/dσi=-βin2，dp/dσi=-αin1-γin3，設C、D分別為異面直線li與nii公垂線的垂足，在Frenet 標架Si下C點及D點的位置矢量可表示為，且滿足，與齒面共軛條件式（13）聯(lián)立可得

圖5 嚙合面為準不動面的相伴運動Fig.5 Concomitant motion of meshing surface with quasi-fixed surface

式中：α*、β*為動定瞬軸面的誘導結構參數(shù)，且α*=αCαf，β*=βC-βf.

3.4 實例仿真驗證

實例采用凸輪的外輪廓線為余弦曲線的波發(fā)生器，剛輪固定、波發(fā)生器輸入、杯型柔輪杯底輸出，諧波傳動結構如圖6 所示，仿真參數(shù)如表2 所示.基于本文所建立的瞬軸面的空間相伴共軛方法，采用MATLAB 編程對諧波傳動的空間運動進行仿真分析，以檢驗該方法的準確性.運動參數(shù)φ的取值范圍為φ∈［-π/2，π/2］，以表2 的具體參數(shù)仿真輪齒的共軛相伴運動，仿真結果如圖7所示.

圖6 諧波傳動結構圖Fig.6 Structural diagram of harmonic drive

圖7 輪齒空間相伴運動的仿真結果Fig.7 Simulation results of spatial concomitant motion between gear teeth

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters

由圖7（a）和圖7（b）可知：中性層母線在SC下的直紋面關于平面XCYC對稱，形狀為柔輪殼體齒寬前端尖裝、齒寬后端尖裝變凸的特殊曲面；中性層以腰線ρC為準線的直紋面RC同樣關于平面XCYC對稱，RC與為不同準線下同一直紋面的不同描述.由圖7（c）～圖7（l）可知：

1）退化前瞬軸的運動為空間運動，退化后瞬軸的運動為平面運動；

2）退化前后截面均呈現(xiàn)沿Y軸對稱且不封閉的軌跡線；

3）退化后在開口處存在兩條沿Y軸對稱交叉的漸近線，退化后的瞬軸面截面曲線與文獻［16］所述平面瞬心線一致，進一步驗證了本文模型的準確性；

4）空間運動與退化平面運動為2 種不同的運動，說明本文所建立的空間共軛模型的重要意義.

4 結論

本文所建立的諧波傳動空間相伴運動共軛模型，能夠全面考慮柔輪殼體的空間彈性運動，即符合環(huán)型柔輪的空間共軛運動的諧波傳動，也適用于桶形柔輪的平面共軛運動（如復式諧波傳動）.本文的主要貢獻有：

1）基于相伴方法建立了諧波傳動空間共軛運動模型，以瞬軸面為原曲面，剛性齒面為相伴曲面，推導出基于相伴運動的齒面共軛條件式，建立了瞬軸面的結構參數(shù)與共軛齒面參數(shù)之間的內在聯(lián)系，幾何意義明確，簡明直觀.

2）通過瞬軸與共軛齒面法矢的關系特性與分析表明：嚙合點的公法線與瞬軸垂直相交的充要條件為混合積（nii，li，）為零，瞬軸與嚙合點的公法線垂直并相交是空間共軛的一個特例.

3）通過空間共軛退化為平面共軛的約束特性與分析表明：諧波傳動剛性輪齒的平面運動為空間運動退化后的一種特殊運動，退化后的空間運動的瞬軸面截面曲線與平面運動的瞬心線一致，由此可知空間運動退化后的運動與平面運動一致，模型對一般諧波傳動和復式諧波傳動具有適應意義.

4）通過嚙合面為準不動面的共軛特性與分析表明：對于空間共軛齒面，當嚙合面為準不動面時，在任意共軛瞬時，其接觸線上任意點的法矢與瞬軸夾角相等，且接觸線上任意點的法矢與瞬軸公垂線的距離恒定.