對一道力學(xué)競賽題解析的商榷

曾小江

（重慶兩江新區(qū)西南大學(xué)附屬中學(xué)校，重慶 401123）

1 競賽試題和解析再現(xiàn)

2021年第38屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽試題第12題是一道關(guān)于均勻金屬桿在豎直平面內(nèi)的平面平行運動問題.試題.如圖1，長度為L、質(zhì)量為m的均勻金屬桿兩端靠在垂直于水平面的直角絕緣導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌的兩臂分別沿水平與豎直方向.初始時刻金屬桿靜止，與豎直導(dǎo)軌成30°角.不計一切摩擦.

圖1

（1）試求當(dāng)桿下滑到與豎直導(dǎo)軌成60°角時桿的質(zhì)心的速度；

（2）假設(shè)存在垂直于導(dǎo)軌所在平面（紙面）向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，求當(dāng)桿下滑到與豎直導(dǎo)軌成60°角時桿兩端的感應(yīng)電動勢.

試題的參考答案解析如下：

（1）由能量守恒得

（2）整個桿在恒磁場的橫截面內(nèi)運動，且可視為桿以其質(zhì)心C的速度vC平動與以角速度ω繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動，后者對感應(yīng)電動勢的貢獻相互抵消.因此僅考慮桿的平動即可.取直角絕緣導(dǎo)軌的交點為原點，水平與豎直方向的導(dǎo)軌分別為x軸和y軸.桿的質(zhì)心的坐標為

2 試題解析探討

對于本題參考答案的解析，筆者認為存在不完善的地方.題中所述“均勻金屬桿兩端靠在垂直于水平面的直角絕緣導(dǎo)軌上”，并未限定金屬桿只能沿著豎直導(dǎo)軌運動.實際上，也可能存在金屬桿沿豎直導(dǎo)軌下滑到一定角度后脫離導(dǎo)軌的情況.若原解析認為桿下滑到與豎直導(dǎo)軌成60°角的過程始終未脫離豎直導(dǎo)軌，則原解析思路是正確的.問題是，在桿下滑到與豎直導(dǎo)軌成60°角的過程中，桿一定不會脫離豎直導(dǎo)軌嗎？ 實際上，這是需要進行判定的.分析桿剛好脫離豎直導(dǎo)軌時的臨界狀態(tài)及其與豎直導(dǎo)軌所成的臨界角，判定桿下滑到與豎直導(dǎo)軌成60°角時，其是否已脫離豎直導(dǎo)軌是求解本題的重要步驟，也是求解本題的關(guān)鍵所在.

本題的解答需分為以下3個步驟：

（1）分析桿剛好脫離豎直導(dǎo)軌時的臨界狀態(tài)，判定桿是否已脫離豎直導(dǎo)軌.

以直角絕緣導(dǎo)軌的交點為原點，水平與豎直方向的導(dǎo)軌分別為x軸 和y軸.設(shè)桿剛好脫離豎直導(dǎo)軌時與豎直導(dǎo)軌所成的夾角為θ1，此時桿質(zhì)心C的速度為vC1，桿繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動角速 度 為ω1（圖2 所示）.由能量守恒得

圖2

桿脫離豎直導(dǎo)軌后的自由下滑階段，桿不受水平外力，質(zhì)心在水平方向做勻速直線運動，質(zhì)心的水平分速度不變?yōu)関C1x.桿始終受到水平導(dǎo)軌豎直向上的支持力作用，不會脫離水平導(dǎo)軌.［1］當(dāng)桿與豎直導(dǎo)軌成夾角θ時（圖3所示），質(zhì)心的豎直坐標為

圖3

（3）求桿下滑到與豎直導(dǎo)軌成60°角時桿兩端的感應(yīng)電動勢.

桿在恒磁場橫截面內(nèi)的運動，可視為桿以其質(zhì)心C的速度平動與以角速度ω繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動，后者對感應(yīng)電動勢的貢獻相互抵消.因此僅考慮桿的平動即可.如圖4所示，當(dāng)桿下滑到與豎直導(dǎo)軌成60°角時，質(zhì)心速度在垂直于桿方向的分速度為

圖4

3 結(jié)語

基于物理情境求解問題時，需要對研究對象的運動過程和狀態(tài)進行詳盡地分析.對于有變化或轉(zhuǎn)折的運動過程和狀態(tài)，要先找出“從量的漸變到質(zhì)的突變”的臨界狀態(tài)及其臨界值.［2］在臨界狀態(tài)前后研究對象往往會以不同的規(guī)律運動或變化，因此，要先判定待求值與臨界值的關(guān)系再求解問題.試題解析沒有分析金屬桿剛好脫離豎直導(dǎo)軌的臨界狀態(tài)，也沒有判定試題要求解桿的運動狀態(tài)與臨界狀態(tài)的關(guān)系，最終導(dǎo)致了原解析的不完善.