尉晶波, 魏文軍
(蘭州交通大學(xué),蘭州 730000)
協(xié)同輸出調(diào)節(jié)[1]是指設(shè)計(jì)一個控制器,在外部系統(tǒng)作用下,多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對外部系統(tǒng)信號的漸近跟蹤和干擾抑制。多智能體系統(tǒng)的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)有著廣泛應(yīng)用,如編隊(duì)控制[2-3]、移動機(jī)器人路徑跟蹤[4]和航天器編隊(duì)飛行[5]等。在實(shí)際系統(tǒng)中,通信速度有限,導(dǎo)致通信產(chǎn)生時延[6]。通信拓?fù)渥兓蜁r延是影響多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩個重要因素,大量文獻(xiàn)研究了拓?fù)渥兓屯ㄐ艜r延對多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。
文獻(xiàn)[7-8]解決了拓?fù)淝袚Q和時延下的線性多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題;文獻(xiàn)[9-11]主要研究了在固定拓?fù)浜吐?lián)合連通拓?fù)淝袚Q下線性定常系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問題,但所提方法無法滿足時變系統(tǒng),有一定的局限性;文獻(xiàn)[12]提出了基于狀態(tài)反饋和輸出反饋的事件觸發(fā)控制律算法,解決了拓?fù)淝袚Q下異構(gòu)多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題;文獻(xiàn)[13]為解決線性多智能體狀態(tài)不可測的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題,提出了通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)分布式觀測器獲取智能體狀態(tài)信息來解決協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題。上述文獻(xiàn)主要研究了線性多智能體系統(tǒng)的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題。然而,由于實(shí)際系統(tǒng)主要以非線性系統(tǒng)的形式出現(xiàn),因此,解決非線性多智能體系統(tǒng)的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題是非常重要的。
文獻(xiàn)[14-15]研究了聯(lián)合連通拓?fù)淝袚Q下非線性多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題,提出了分布式模糊輸出反饋控制器,解決了多智能體狀態(tài)不可測條件下的系統(tǒng)協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題;文獻(xiàn)[16]研究了二階非線性多智能體通信時延一致性問題,提出了一種僅基于相對位置的分布式一致性協(xié)議,但有一定的局限性;文獻(xiàn)[17-20]提出的T-S模糊模型通過線性局部子系統(tǒng)對非線性系統(tǒng)有很好的近似,不僅有效地描述非線性系統(tǒng)的行為,也展現(xiàn)了線性系統(tǒng)的性質(zhì)。到目前為止,研究拓?fù)淝袚Q和時延下的非線性多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題的文獻(xiàn)仍較少,尤其是當(dāng)智能體無法獲取外部系統(tǒng)狀態(tài)信息情形下的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題。
基于上述分析,為解決切換拓?fù)浜蜁r延下非線性多智能體無法獲取外部系統(tǒng)狀態(tài)信息的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題,本文提出了分布式狀態(tài)觀測器控制算法和模糊反饋控制策略。
H=D-A
(1)
式中,H=[hi j]∈RN×N,
(2)
存在一個可逆矩陣T,使得T-1HT=Λ=diag(0,λ2,…,λN-1,λN)成立。其中,0<λ2≤…≤λN為矩陣H的特征值。
智能體i和外部領(lǐng)導(dǎo)者的動態(tài)方程為
(3)
(4)
式中:xi為智能體i的狀態(tài)向量;ui為控制器;ei為智能體i的系統(tǒng)誤差;Am,Cm,v0,y0分別為外部系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣、輸出矩陣、狀態(tài)量和輸出,Am∈Rn×n,Cm∈Rn×n。
通過模糊隸屬度函數(shù)將不同模糊規(guī)則下的線性子系統(tǒng)光滑連接逼近非線性系統(tǒng)。模糊規(guī)則如下。
(5)
式中:Ai l∈Rn×n,為線性子系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣;Bi l∈Rn×1,為控制矩陣;Ci l∈Rn×n,為誤差線性子系統(tǒng)的輸出矩陣;Di l∈Rn×1,為前饋矩陣;xi∈Rn×1;ui∈R1×1;v0∈Rn×1;Ei l∈Rn×n;Fi l∈Rn×n;l=1,2,…,r,r為模糊規(guī)則數(shù)。因此,非線性系統(tǒng)在模糊規(guī)則下描述為如下線性系統(tǒng)
(6)
其中,隸屬度函數(shù)
(7)
(8)
在模糊規(guī)則下,式(6)可簡寫為
(9)
在本文中,切換拓?fù)溆胓σ(t)表示。推導(dǎo)本文結(jié)論前,假設(shè)非線性系統(tǒng)滿足以下假設(shè)和定義。
假設(shè)1 (Ai l,Bi l)是可控的。
假設(shè)2 (Ai l,Ci l)是可觀的。
假設(shè)3 矩陣Am特征值均具有非負(fù)實(shí)部。
定義1對于非線性多智能體系統(tǒng),假設(shè)通信拓?fù)錇橛邢虻摹TO(shè)計(jì)控制器ui滿足如下條件。
條件1 當(dāng)v0(t)=0時,式(11)閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。
則設(shè)計(jì)的控制器ui能夠解決系統(tǒng)的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題。
為解決拓?fù)淝袚Q和時延下的多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題,本文設(shè)計(jì)了模糊反饋控制器
ui=K1ixi+K2iξi
(10)
和分布式狀態(tài)觀測器拓?fù)淝袚Q時延控制律
(11)
(12)
定理1若滿足假設(shè)3,對于給定正定對(Am,Cm),存在正定對稱陣P滿足Riccati方程式
(13)
(14)
構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii方程
(15)
對V(t)進(jìn)行求導(dǎo)并應(yīng)用引理1和定義1可得
(16)
(17)
有唯一解(Xi,Ui)。
(18)
(19)
式(12)閉環(huán)系統(tǒng)可寫為
(20)
(21)
(22)
(23)
同理,非線性多智能體誤差方程可以寫成
(24)
(25)
非線性系統(tǒng)由4個智能體和1個外部領(lǐng)導(dǎo)者組成。系統(tǒng)切換有向通信拓?fù)淙鐖D1所示。
圖1 切換拓?fù)?/p>
圖中:0表示外部領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng);1,2,3,4表示多智能體。拓?fù)淝袚Q順序?yàn)镾1→S2→S3→S4→S1。
各智能體的非線性動態(tài)方程為
(26)
外部領(lǐng)導(dǎo)者動態(tài)方程為
(27)
用T-S模糊理論將系統(tǒng)的非線性方程式(26)轉(zhuǎn)化為線性方程。其T-S模糊規(guī)則如下。
(28)
(29)
模糊規(guī)則l對應(yīng)的隸屬度函數(shù)為
(30)
繪制在式(10)、式(11)控制律作用下的非線性智能體各狀態(tài)圖和誤差圖。
1) 時延參數(shù)τ=0 s時,控制律作用下的結(jié)果如圖2所示。
圖2 τ=0 s時控制律作用下系統(tǒng)誤差和系統(tǒng)輸出
2) 時延參數(shù)τ≠0 s時,控制律作用下的結(jié)果如圖3所示。
圖3 τ≠0 s時控制律作用下系統(tǒng)誤差
對比圖3(a)~3(c)可知,非線性多智能體系統(tǒng)在不同時延參數(shù)下達(dá)到穩(wěn)定的時間不同。由圖2(a)可知,當(dāng)時延參數(shù)τ=0 s時,多智能體大約在第10 s跟蹤到外部領(lǐng)導(dǎo)者。由圖3(b)可知,當(dāng)時延參數(shù)τ=0.5 s時,多智能體在第16 s左右跟蹤到外部領(lǐng)導(dǎo)者,誤差為零。由圖3(c)可知,當(dāng)時延參數(shù)τ=0.785 s≥τmax時,非線性多智能體跟隨者不能跟蹤到外部領(lǐng)導(dǎo)者信號,系統(tǒng)無法達(dá)到穩(wěn)定。
本文研究了拓?fù)淝袚Q和時延條件下的非線性多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題。為使?fàn)顟B(tài)不可測情況下跟隨者能夠跟蹤到外部領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng),設(shè)計(jì)了式(10)模糊反饋控制器和式(11)分布式時延狀態(tài)觀測器控制律,并用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明:多智能體跟隨到外部領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)所需的時間與時延參數(shù)τ有關(guān)。時延參數(shù)τ越大,系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定所需時間越長;當(dāng)時延參數(shù)τ大于時延上限值時,非線性多智能體系統(tǒng)最終無法達(dá)到穩(wěn)定。