DS-CDMA下行鏈路多用戶與擴(kuò)頻波形估計(jì)

解 輝，趙忠臣，劉利民，韓壯志，尹園威

（陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 電子與光學(xué)工程系，河北 石家莊 050003）

0 引 言

直接序列擴(kuò)頻體制CDMA（DS-CDMA）信號(hào)具有截獲概率低、保密性好、抗干擾性強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，被廣泛運(yùn)用于移動(dòng)通信、衛(wèi)星通信和航天測控等軍事保密通信領(lǐng)域。由于DS-CDMA信號(hào)功率低于噪聲功率，對(duì)DSCDMA信號(hào)的非協(xié)作接收處理是電子偵察領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)研究問題，特別是多用戶檢測以及多用戶擴(kuò)頻波形的盲估計(jì)成為DS-CDMA信號(hào)偵察處理領(lǐng)域的難點(diǎn)問題之一。

在對(duì)DS-CDMA信號(hào)的偵察作處理的過程中，由于其上行鏈路和下行鏈路信號(hào)具有不同的特點(diǎn)，因此也分兩種情況進(jìn)行研究。在DS-CDMA上行鏈路中，各用戶信號(hào)擴(kuò)頻波形不同步，需要對(duì)信號(hào)分別進(jìn)行盲同步以及擴(kuò)頻波形的逐個(gè)估計(jì)。在DS-CDMA下行鏈路中，各用戶信號(hào)擴(kuò)頻波形同步，這使得信號(hào)盲同步相對(duì)簡單，卻增加了擴(kuò)頻波形估計(jì)的難度。因此更多研究集中于單用戶擴(kuò)頻序列的估計(jì)上，對(duì)于多用戶擴(kuò)頻波形估計(jì)，主要有基于信號(hào)子空間和最小二乘的多用戶和擴(kuò)頻波形估計(jì)方法。但多用戶擴(kuò)頻波形估計(jì)中的高維搜索方法計(jì)算量較大，本文利用Givens旋轉(zhuǎn)將多用戶波形估計(jì)的高維搜索問題轉(zhuǎn)化為多次一維搜索，并給出了Givens旋轉(zhuǎn)的優(yōu)化判據(jù)，降低算法計(jì)算量，實(shí)現(xiàn)在較低信噪比條件下，估計(jì)多個(gè)用戶的擴(kuò)頻波形。

1 信號(hào)模型及假設(shè)

DS-SS信號(hào)實(shí)現(xiàn)擴(kuò)頻和碼分多址是通過將擴(kuò)頻序列與發(fā)射信息相乘實(shí)現(xiàn)的，文中采用如下符號(hào)描述短碼擴(kuò)頻DS-CDMA信號(hào)：

()表示發(fā)射機(jī)與信道響應(yīng)濾波器和接收機(jī)濾波器的卷積；{c=±1,=0,1,…,-1}表示第個(gè)用戶的擴(kuò)頻碼序列，為擴(kuò)頻碼序列長度；T為符號(hào)周期，對(duì)于短碼擴(kuò)頻信號(hào)符號(hào)周期等于擴(kuò)頻周期。

h()為第個(gè)用戶完整的一個(gè)擴(kuò)頻序列周期基帶信號(hào)與通信鏈路中包括發(fā)射機(jī)、信道響應(yīng)和接收機(jī)等所有濾波器的卷積：

式中：γ為第個(gè)用戶的信號(hào)功率；{a=±1,∈Z}為第個(gè)用戶的信息符號(hào)序列，其服從等概率隨機(jī)分布。

根據(jù)以上符號(hào)和約定，N個(gè)用戶短碼擴(kuò)頻DSCDMA信號(hào)模型為：

接收機(jī)輸出信號(hào)為：

式中()為功率譜密度為的高斯白噪聲。將()采樣可得DS-CDMA多用戶的數(shù)字信號(hào)模型表示為：

式中N表示單個(gè)擴(kuò)頻周期內(nèi)的采樣數(shù)。

設(shè)DS-CDMA信號(hào)已經(jīng)完成了盲同步，用向量y表示第個(gè)擴(kuò)頻周期內(nèi)的采樣數(shù)據(jù)，則對(duì)于第個(gè)周期的觀測數(shù)據(jù)可以表示為：

式中：A=[,,…,a]為各用戶信息碼的信息向量；h為第個(gè)用戶擴(kuò)頻波形的向量表示；[…h]為擴(kuò)頻波形矩陣。

2 算法原理

2.1 信號(hào)子空間分析

定義協(xié)方差矩陣：

式中：{·}為數(shù)學(xué)期望；H為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。

對(duì)式（6）的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，可分別獲得信號(hào)和噪聲子空間：

式中，[U U]為酉矩陣，其中的行向量為矩陣的特征向量。其中，U中含有N個(gè)向量，該向量張成信號(hào)的子空間，分別對(duì)應(yīng)N個(gè)比較大的特征值；向量含有N-N個(gè)向量，對(duì)應(yīng)N-N個(gè)較小特征值，該向量張成了噪聲子空間，并且與信號(hào)子空間正交。本文將利用U實(shí)現(xiàn)DS-CDMA多用戶擴(kuò)頻波形的盲估計(jì)。

將式（5）代入式（6），考慮到各用戶信息序列互不相關(guān)，可得：

又因各用戶擴(kuò)頻波形不相關(guān)，即中各向量正交，則將式（8）兩邊同乘以h得：

式中：h是的特征向量，對(duì)應(yīng)特征值為‖h‖+；其他特征向量對(duì)應(yīng)的特征值為。

由此可見，協(xié)方差矩陣具有N個(gè)較大特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為信號(hào)擴(kuò)頻波形，即通過協(xié)方差矩陣的特征值分解可以獲得信號(hào)子空間，并且可以根據(jù)特征值的大小估計(jì)觀測信號(hào)的用戶數(shù)。

由以上可知，中的向量也是的特征向量，即與U張成了同一個(gè)信號(hào)子空間，并且和U各自的內(nèi)部組成向量相互正交，即它們分別構(gòu)成了信號(hào)子空間的兩組正交基。通常情況下，尤其是各用戶功率相差不大時(shí)，該空間的2組基與U并不一致，但和U都同為信號(hào)子空間的完備正交基，其通過線性變換后是等價(jià)的，即：

由于U和都是標(biāo)準(zhǔn)正交的，易知中向量也是正交的，即：

由此可見，只要求得線性變換矩陣就可以由協(xié)方差矩陣的特征值分解求得各用戶的擴(kuò)頻波形。下面將分析如何求混合矩陣，從而實(shí)現(xiàn)各用戶的擴(kuò)頻波形的估計(jì)。

2.2 基于空間旋轉(zhuǎn)的擴(kuò)頻波形估計(jì)

為了方便分析，此處暫不估計(jì)擴(kuò)頻波形的幅度，即中向量為歸一化向量，則矩陣中的向量滿足式（11）。信號(hào)幅度可以在估計(jì)歸一化波形后用估計(jì)的歸一化波形與原始觀測信號(hào)進(jìn)行估計(jì)。

利用多維搜索的方法可以求解式（10）獲得和的估計(jì)，其搜索計(jì)算量為K，為空間中每一維的搜索點(diǎn)數(shù)，顯然搜索計(jì)算量隨用戶N指數(shù)增加，因此該方法難以在實(shí)際系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用。

多維搜索的方法是一種空間旋轉(zhuǎn)搜索的思想，其基本依據(jù)是二維空間的2組標(biāo)準(zhǔn)正交基可以通過一維旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)基向量的重合（或反向）。實(shí)際上，高維空間中的任意2組標(biāo)準(zhǔn)正交基也可以通過多次旋轉(zhuǎn)達(dá)到兩2組基中向量同向（或反向）。本文將利用Givens旋轉(zhuǎn)方法估計(jì)混合矩陣和。

定義如下旋轉(zhuǎn)矩陣(,,θ)：

容易驗(yàn)證旋轉(zhuǎn)矩陣(,,θ)為正交矩陣。若將Givens旋轉(zhuǎn)用于給定向量=[,,…,x]，則元素xx通過角度θ被旋轉(zhuǎn)，而其他元素不變，即：

在多用戶的情況下，直接求對(duì)應(yīng)式（14）的θ值存在很大困難，本文將采取搜索不同的θ值使得某檢測量達(dá)到最優(yōu)，即通過選取一個(gè)優(yōu)化判據(jù)并使之達(dá)到極值求θ。下面先說明本文使用Givens旋轉(zhuǎn)的過程，然后分析優(yōu)化判據(jù)的選擇以及θ的確定方法。

對(duì)U中任意2個(gè)向量u，u作如下旋轉(zhuǎn)：

當(dāng)把U中所有(N(N-1))2對(duì)向量都進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，稱之為“一輪掃描”。但只進(jìn)行一輪掃描并不能獲得，因?yàn)樵谛D(zhuǎn)過程中序號(hào)為，的向量會(huì)被重復(fù)使用，因此后續(xù)的旋轉(zhuǎn)可能對(duì)前面的旋轉(zhuǎn)造成影響。所以掃描過程需要反復(fù)進(jìn)行，直至收斂。于是得到Givens旋轉(zhuǎn)的一個(gè)遞推算法，詳細(xì)描述如下：

Ste p1：完成一輪掃描

對(duì)所有(N(N-1))2對(duì)向量依次進(jìn)行如下變換：

1）對(duì)于1≤＜≤N，計(jì)算旋轉(zhuǎn)角θ，使得優(yōu)化判據(jù)達(dá)到極值。

2）如果得到的||θ＞，則對(duì)向量u，u按式（15）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)；否則保持不變，其中為預(yù)設(shè)閾值。

Step2：重復(fù)掃描

重復(fù)Step1，直到完成一輪掃描時(shí)對(duì)各對(duì)u，u均不需要旋轉(zhuǎn)。

經(jīng)過以上遞推過程得到的矢量U就是所需要的結(jié)果，同時(shí)有：即各次旋轉(zhuǎn)矩陣(),,θ的乘積就是要求的混合矩陣。必是標(biāo)準(zhǔn)正交的，因?yàn)槊總€(gè)(),,θ都是標(biāo)準(zhǔn)正交的。需要說明的是，上述過程得到中向量的順序由決定。

通過以上分析可以得到本文算法的具體工作流程：

Step1：對(duì)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行同步后，估計(jì)其協(xié)方差矩陣；

Step2：對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，根據(jù)較大特征值的數(shù)量估計(jì)用戶數(shù)；

Step3：獲得信號(hào)子空間的基U；

Step4：根據(jù)信號(hào)子空間，通過遞推Givens旋轉(zhuǎn)估計(jì)。

3 優(yōu)化判據(jù)及旋轉(zhuǎn)角的確定

根據(jù)以上分析，本文Givens旋轉(zhuǎn)的目的是使得U中的向量通過旋轉(zhuǎn)與中對(duì)應(yīng)向量同向（或反向）。設(shè)u，u為U中任意2個(gè)向量，中所有向量在平面span{u，u}內(nèi)的投影為向量，且向量在平面span{u，u}上可以分解為2個(gè)正交且模相等的向量，。

對(duì)于一次旋轉(zhuǎn)可以選擇如下優(yōu)化判據(jù)：選擇合適的θ使得旋轉(zhuǎn)后的向量u，u與，同向（或反向）。如此旋轉(zhuǎn)的依據(jù)是，當(dāng)旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)U中的基u，u與中的向量最接近——內(nèi)積最大（或最?。?，如圖1所示。

圖1 一次Givens旋轉(zhuǎn)示意圖

由上面的假設(shè)及圖1可知：

式中ρ，ρ為比例常數(shù)，使得u，u的模等于1。

式中“⊙”為向量點(diǎn)積，即2個(gè)向量的對(duì)應(yīng)位相乘。

將式（17）代入式（18）可得：

顯然，當(dāng)u，u在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，中所有向量在span{u，u}中的投影保持不變，即‖⊙‖為常數(shù)，且當(dāng)，確定時(shí)ρ，ρ也為常數(shù)，則有：

對(duì)?()求導(dǎo)得：

4 仿真分析

：算法流程及結(jié)果仿真

為便于顯示，此處采用BPSK調(diào)制的基帶信號(hào)。假設(shè)用戶數(shù)為4，分別采用63位的m序列、Gold序列（2個(gè)用戶）和隨機(jī)序列作為擴(kuò)頻碼，信噪比為-5 dB。信號(hào)帶寬為1 MHz，采樣頻率為5 MHz，截取200個(gè)擴(kuò)頻周期作為觀測數(shù)據(jù)。

對(duì)觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，得到如圖2所示的特征值分布情況。可以看出有5個(gè)特征值幅度明顯高于其他特征值，得到用戶數(shù)估計(jì)為5。

圖2 協(xié)方差矩陣特征值

圖3給出了某次搜索過程中式（17）所示優(yōu)化判據(jù)的變化，以及旋轉(zhuǎn)角度的確定。

圖3 優(yōu)化判據(jù)及旋轉(zhuǎn)角的確定

圖4給出了經(jīng)過Givens旋轉(zhuǎn)算法后的波形估計(jì)結(jié)果，圖4a）為最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，圖4b）和圖4c）為經(jīng)過Givens旋轉(zhuǎn)后的擴(kuò)頻波形估計(jì)結(jié)果，圖中只給出了2個(gè)用戶的波形?？梢钥闯觯疚乃惴▽?duì)多用戶擴(kuò)頻波形估計(jì)的有效性。

圖4 Givens旋轉(zhuǎn)前后波形估計(jì)結(jié)果

Givens旋轉(zhuǎn)的掃描次數(shù)仿真

仿真中用戶擴(kuò)頻碼為127位的Gold序列、m序列和隨機(jī)序列，采樣頻率與碼片速率都為1 MHz，其他參數(shù)與仿真1相同。掃描停止門限=0.05 rad，Monte Carlo仿真次數(shù)為100次。圖5給出了1～10個(gè)用戶時(shí)的平均重復(fù)掃描次數(shù)，圖6給出了重復(fù)掃描次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

圖5 不同用戶數(shù)時(shí)的平均搜索次數(shù)

圖6 不同用戶數(shù)時(shí)的搜索次數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

需要說明的是，仿真結(jié)果顯示重復(fù)掃描次數(shù)幾乎與擴(kuò)頻周期長度無關(guān)，因此此處不再單獨(dú)給出不同擴(kuò)頻周期時(shí)的仿真結(jié)果。

算法性能仿真

此處采用真實(shí)信號(hào)波形向量與估計(jì)波形向量夾角的余弦作為波形估計(jì)的性能，即定義第個(gè)用戶的估計(jì)波形與真實(shí)擴(kuò)頻波形相似度為：

仿真中用戶擴(kuò)頻碼為511位的Gold序列、m序列和隨機(jī)序列，其他參數(shù)設(shè)置與仿真2相同，Monte Carlo仿真次數(shù)為100次。在不同信噪比條件下，本文算法估計(jì)結(jié)果與真實(shí)擴(kuò)頻波形的相似度如圖7所示。當(dāng)用戶數(shù)越少、信噪比越高，算法估計(jì)性能越好，當(dāng)信噪比優(yōu)于-10 dB且用戶數(shù)小于10時(shí)，估計(jì)波形的相似度超過0.95。

圖7 不同信噪比下波形估計(jì)相似度

5 結(jié) 語

本文針對(duì)DS-CDMA下行鏈路多用戶擴(kuò)頻波形的估計(jì)問題，提出了一種基于信號(hào)子空間Givens旋轉(zhuǎn)的估計(jì)方法，通過對(duì)觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，根據(jù)特征值分布情況估計(jì)用戶數(shù)，進(jìn)而對(duì)信號(hào)子空間進(jìn)行Givens旋轉(zhuǎn)，估計(jì)各用戶的擴(kuò)頻波形。同時(shí)，本文給出了信號(hào)子空間Givens旋轉(zhuǎn)的優(yōu)化檢測量，理論分析和仿真均表明Givens旋轉(zhuǎn)搜索計(jì)算量遠(yuǎn)小于高維搜索計(jì)算量。算法性能仿真表明，當(dāng)信噪比優(yōu)于-10 dB且用戶數(shù)小于10時(shí)，本文算法估計(jì)波形的相似度超過0.95。