時滯反饋控制下憶阻振蕩耦合電路穩(wěn)定性研究

閆德鑫，曾以成

（1.湖南交通工程學院，湖南 衡陽 421001；2.湘潭大學，湖南 湘潭 411105）

0 引 言

在電路中加入能夠記憶所通過電荷數(shù)量的憶阻器充當電路中的非易失性存儲器，可以多方面、多角度地優(yōu)化電路設(shè)計與應(yīng)用。憶阻器具有非線性特性，將其應(yīng)用于一些常規(guī)的非線性電路中能夠根據(jù)需要產(chǎn)生振蕩信號，提升非線性電路混沌動力學研究時相關(guān)參數(shù)的可控性。憶阻器加入振蕩電路后，會改變原始電路的頻譜結(jié)構(gòu)，而利用電路頻譜結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特性可以使得在電路元器件參數(shù)和憶阻器狀態(tài)不同的情況下，出現(xiàn)差異較大的電路振蕩效果。大部分振蕩耦合電路都會表現(xiàn)出一定的振蕩與非線性，其穩(wěn)定性一直是研究熱點。利用諧振補償、建立特征方程等方式探討電路的穩(wěn)定性邊界，雖然取得了一定成果但計算較為復(fù)雜。

時滯反饋控制以具有連續(xù)時間特性的物理量激勵作為控制反饋量，降低了對控制對象真實參數(shù)的依賴性，常用于對非線性系統(tǒng)的振動研究?；谏鲜鰬涀杵骷尤腚娐泛蟮耐卣箲?yīng)用背景展開討論，為進一步優(yōu)化憶阻器在耦合電路中的參數(shù)可控性，本文將對時滯反饋控制下憶阻振蕩耦合電路的穩(wěn)定性進行研究分析，實現(xiàn)特定條件下的電路穩(wěn)定性動力學分析，為后續(xù)的耦合電路研究提供理論支撐。

1 建立憶阻振蕩耦合電路模型方程

其中，為串聯(lián)憶阻振蕩電路的電感；、、分別為第一、第二、第三個串聯(lián)憶阻振蕩電路的節(jié)點電壓值。在所構(gòu)成的三憶阻振蕩耦合電路中，電路回路中的各個支路電流符合如式（2）所示的關(guān)系：

在三憶阻振蕩耦合電路模型中，振蕩電路電感與電流、電壓之間的關(guān)系滿足式（3）：

對上述公式中的電壓、電流進行一定時間段內(nèi)的積分處理，即可得到憶阻振蕩耦合電路中磁通量、電荷與耦合電感之間的關(guān)系，經(jīng)過線性化處理與矩陣形式化簡，得到下式：

2 向耦合電路添加時滯反饋控制約束

在憶阻振蕩耦合電路中，由于接入憶阻器改變了電路中的電流、電壓變化，使得電路處于混沌狀態(tài)。在耦合電路中加入時滯反饋控制后，可以控制耦合電路中因憶阻器引發(fā)的電路狀態(tài)變化延遲一定時間，并在控制器的控制下，與延時反饋共同作用于電路，從而實現(xiàn)對耦合電路的穩(wěn)定控制。

根據(jù)所構(gòu)建的憶阻振蕩多耦合電路模型，本研究設(shè)計一種反饋信號為電流的時滯控制器，將該控制器的輸入端和輸出端接入端并聯(lián)至憶阻振蕩多耦合電路中，得到結(jié)構(gòu)如圖1所示帶有時滯反饋控制的耦合電路。

圖1 接入時滯反饋控制器的耦合電路結(jié)構(gòu)圖

本研究選用的時滯反饋控制器核心為電流運算放大器，在作用于耦合電路時，將電路中各節(jié)點的電壓、、之和作為控制器輸入，將反饋電流輸入至最后一個耦合電路的結(jié)點上。時滯控制器的狀態(tài)方程為：

其中，為控制器的時滯；為控制變量；、分別為控制器的輸出與輸入。控制器的延遲時間只與控制器內(nèi)部的電阻、電容有關(guān)，控制反饋的強度僅與控制器內(nèi)部的電阻R有關(guān)。將上述狀態(tài)方程作用于耦合電路，對電路的穩(wěn)定性進行分析。

3 時滯控制下的耦合電路穩(wěn)定分析

將控制器的狀態(tài)方程與所構(gòu)建的耦合電路方程聯(lián)立，得到如下條件控制約束的電路狀態(tài)方程。

其中，C為控制器的電容；R為控制器的內(nèi)部電阻。以三憶阻振蕩耦合電路為基礎(chǔ)，忽略在線性變化時交叉耦合項，可以判定上述方程在達到穩(wěn)定解時，穩(wěn)定解的振幅、相位、位移與時間存在明顯的相關(guān)關(guān)系。在時滯反饋控制下，時間的二階變化幅度較小可以忽略，在將上式轉(zhuǎn)變?yōu)槲⒎中问胶螅瑯?gòu)建等式得到耦合電路處于穩(wěn)定狀態(tài)時各個節(jié)點狀態(tài)量的振幅值A。對于各個節(jié)點狀態(tài)量振幅，按照下式計算得到電路穩(wěn)定性判據(jù)矩陣：

時滯反饋控制器的延遲時間從0 開始逐漸增大時，對應(yīng)的控制器電容、電阻會發(fā)生變化，導致如式（6）所示的耦合電路狀態(tài)方程的特征根數(shù)量出現(xiàn)變化。在電路處于不同模式的振蕩狀態(tài)時，耦合電路狀態(tài)變量的振幅不同，令式（7）中等式右側(cè)為0，進行等式求解。根據(jù)線性代數(shù)的理論，若矩陣求解得到的特征根中，所有特征根的實部均小于0，則確定的耦合電路穩(wěn)定點為真實的穩(wěn)定點，實際電路運行過程中各項參數(shù)與穩(wěn)定點對應(yīng)的耦合電路狀態(tài)方程一致時，則該電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。若經(jīng)過求解，矩陣的特征根實部不全部為負數(shù)，則表明上文求得的穩(wěn)定點不是真實的穩(wěn)定點，其對應(yīng)的振蕩電路未處于穩(wěn)定狀態(tài)。

4 數(shù)值模擬仿真實驗

上文從理論層面分析了時滯反饋控制下憶阻振蕩耦合電路穩(wěn)定性，本節(jié)將以數(shù)值模擬的形式來驗證時滯反饋控制對耦合電路穩(wěn)定性是否有積極作用。

4.1 實驗準備與設(shè)計

在Multisim 12.0 中，根據(jù)如上所述的理論研究內(nèi)容建立一個憶阻振蕩耦合電路模型，搭建模擬電路，用于本次模擬實驗分析。設(shè)定該模擬振蕩耦合電路的時滯反饋控制參數(shù)，在電路的輸出端、憶阻器兩端接入示波器、電流表、萬用表等設(shè)備，以測量模擬電路中的實驗參量。

為使本次數(shù)值模擬仿真實驗的結(jié)果更加直觀、可信，采用對比實驗?zāi)M電路在時滯反饋控制下是否具有穩(wěn)定性表現(xiàn)的方式來完成仿真實驗研究。因此，在兩次電路穩(wěn)定性相關(guān)實驗過程中，除電路有無時滯反饋控制的差異之外，其余對模擬耦合電路的振蕩影響因素均保持一致，從而保證數(shù)據(jù)采集過程中變量變化的唯一性與實驗過程的可控性。根據(jù)上文的研究內(nèi)容，模擬電路處于穩(wěn)定狀態(tài)下的具體參數(shù)均已知，通過接入控制器與否來改變電路狀態(tài)方程參數(shù)。以模擬電路采集的電荷、磁通量為實驗數(shù)據(jù)，驗證分析時滯反饋控制對耦合電路穩(wěn)定性的影響。

4.2 實驗數(shù)據(jù)與分析

在模擬實驗時間內(nèi)，是否應(yīng)用時滯反饋控制條件下，模擬電路中憶阻器兩端的電荷量、變化情況的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 模擬電路中憶阻器兩端的電荷量變化統(tǒng)計（×10-3C）

由表1中的數(shù)據(jù)可知，在不同情況下，憶阻器兩端的電荷量隨時間的變化而發(fā)生變化。無時滯控制下，電路中憶阻器兩端的電荷量差異要明顯大于接入控制器。不接入控制器時，同一電荷量在不同時間點的數(shù)值波動較為劇烈，而接入控制器后，模擬電路中同一電荷量的電荷數(shù)據(jù)波動程度減弱。這說明接入控制器后，電路的振蕩程度減少了，電荷的無用消耗減少了。由電荷與電流之間的關(guān)系可以看出，未接入控制器時電路處于不穩(wěn)定的狀態(tài)，接入控制器的電路在達到穩(wěn)定點時，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。

為使實驗數(shù)據(jù)的展示形式更直觀，在MATLAB 2014 軟件中繪制如圖2、圖3所示的不同模擬條件下憶阻器兩端的電荷量波動圖。

對圖2和圖3中的波形進行對比可知，模擬電路中加入時滯反饋控制器后，其接入的憶阻器兩端電荷量的波動曲線更加穩(wěn)定，電路電源接通狀態(tài)下，電荷量波動呈現(xiàn)一定的周期性，并且在電路停電后隨著時間的變化而出現(xiàn)穩(wěn)定的衰減最后收斂的情況。而在未加入控制器的模擬電路中，憶阻器兩端的電荷量表現(xiàn)出明顯的波動，且不具有明顯的規(guī)律，其電荷量曲線不出現(xiàn)收斂。

圖2 無時滯反饋控制的電荷量波動

圖3 時滯反饋控制下的電荷量波動

在控制器是否接入模擬電路的兩種情況下，電路中的磁通量隨時間的變化波形對比圖如圖4所示。

圖4 模擬電路中磁通量與時間的變化關(guān)系圖

由以上仿真電路磁通量測量值可知，在接入時滯反饋控制器的電路中，電路中經(jīng)過節(jié)點電壓的磁通量幅值變化更穩(wěn)定，磁通量隨時間的變化呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。在未接入時滯控制器的電路中，節(jié)點磁通量在不同時間點的變化程度不同。從磁通量的變化曲線來看，在反饋控制下，模擬耦合電路節(jié)點的磁通量變化整體上處于一個穩(wěn)定的狀態(tài)。

綜合上述分析可知，對于憶阻振蕩耦合電路來說，加入時滯反饋控制器后，可以形成具有一定規(guī)律的振蕩波形。從憶阻器的電荷量、電路的磁通量兩個參量與時間的變化關(guān)系來看，兩個參量存在較為明顯的周期性特點，這說明時滯反饋控制對憶阻振蕩耦合電路的穩(wěn)定性具有積極的調(diào)控作用。

5 結(jié) 論

全文通過搭建模型與分析的方式，總結(jié)得出在時滯反饋控制下，接入憶阻器的振蕩耦合電路穩(wěn)定性明顯提升，并以數(shù)值模擬仿真實驗的形式對相關(guān)的理論內(nèi)容進行了真實性驗證。仿真實驗驗證結(jié)果表明，在含有憶阻器的振蕩耦合電路中加入時滯反饋控制環(huán)節(jié)，確實可以減少耦合振蕩對電路穩(wěn)定性的干擾，降低各電路參量的波動幅度，提升耦合電路的穩(wěn)定性。經(jīng)過上述的研究分析，為今后拓展憶阻器的應(yīng)用范圍與開展耦合電路的研究提供了理論參考。