基于CDF-MRTD分析波導介質層光子帶隙(PBG)結構的傳輸特性

蔡孟翔,李 磊,林加劍

(安徽大學 電氣工程與自動化學院工程力學重點實驗室,安徽 合肥 230601)

1 前 言

上世紀八十年代末期,E.Yablonovitch和S.John引入了光子晶體(photonic crystals)這一概念[1-2]。光子晶體概念的提出引起了業(yè)內學者的廣泛關注[3-5]。光子晶體是指折射率不相同的介電材料在空間上周期性排列形成的人工結構。折射率的周期性變化使得光子晶體能產生光子帶隙(photonic band-gap,PBG),而且PBG 結構阻帶的中心頻率對應的波長和周期尺寸可比擬。光子帶隙具有阻帶(禁帶)特性,利用光子帶隙中的缺陷引導光的傳播,這和光在光波導的全反射傳輸截然不同。PBG 結構的波導和光波導相比具有結果緊湊、體積小、傳輸效率高、損耗低的優(yōu)點。因此對光子晶體波導傳輸特性的研究具有十分重要的實際意義。

PBG 架構的波導研究具有多種方式。例如,在矩形波導的Y 軸方向上,在兩側的寬邊之間按一定的周期擺放介質立方體,介質圓柱體,立方晶體。在微帶電路中,在不穿透微帶線的接地線的情況下對介質層穿孔,或對位于接地板上的微帶線進行加工處理出周期性的疊加小孔[6]。結合上述所提到的PBG 架構對于矩形波導的探究,本研究采用在矩形波導的Y 軸方向上,在兩側的寬邊之間按一定的周期擺放介質的方式。

最初的時域多分辨率(MRTD)算法是基于Battle-Lemarie小波,Daubechies小波,Haar小波提出的[7]。基于雙正交尺度函數(shù)的時域多分辨率算法報道較少[7-8]。Cohen-Daubechies-Feauveau(CDF)小波尺度函數(shù)具有消失矩,緊支撐和對稱性的特點[9-10]。緊支撐減少了迭代公式需要的相關電磁場分量,而對稱性能夠防止分解和重構時的失真。與傳統(tǒng)的時域有限差分法(FDTD)相比,MRTD 算法具有良好的數(shù)值色散特性,因此可以在較大離散網(wǎng)格尺寸獲得良好的數(shù)值結果[10]。本研究基于CDF-MRTD 算法對光子晶體波導阻帶特性進行研究,數(shù)值實驗結果驗證了程序實現(xiàn)的可靠性,以及PBG 架構波導的阻帶特性。進而分析質層厚度比,折射率常數(shù)比,介質層數(shù)的變化對光子晶體波導阻帶特性的影響。

2 基于CDF尺度函數(shù)的MRTD 算法

無源、均勻、無耗媒質中的麥克斯韋方程(Maxwell) 可表示為:

式中:E指代電場強度,H指代磁場強度,ε和μ分別指代媒質中的介電常數(shù)和磁導率。

應用MRTD 算法將上述方程進行數(shù)值轉換,將電場與磁場關系中的CDF尺度函數(shù)代入Maxwell方程組,結合Wavelet-Galerket法[11]得到基于雙正交CDF尺度函數(shù)CDF-MRTD 的步進迭代公式:

式中:L s為基函數(shù)的支撐域;a(v)為CDF 小波尺度函數(shù)的連接系數(shù),在l≤0時a(v)=-a(1-v),a(v)在l＞0時的取值如參考文獻[11]中所示。

3 MRTD 算法的穩(wěn)定性和數(shù)值色散特性分析

3.1 CDF-MRTD算法的穩(wěn)定性分析

在CDF-MRTD 算法中,為預防數(shù)值模擬計算產生誤差,保證算法執(zhí)行的穩(wěn)定性,需要注意的是時間步和空間步具有條件限制,具體條件應滿足如下不等式關系:

式中:cmax為在計算空間中電磁波的最大傳播速度,一般取光速;L s值為有效支撐尺寸。在均勻離散的情況(Δx=Δy=Δz=Δξ),式(4)可以寫為:

式中:CFLmax為最大穩(wěn)定性常數(shù),CFL 指代穩(wěn)定性因數(shù)。算法的執(zhí)行過程中,穩(wěn)定性常數(shù)的取值不能超過最大值的范圍,否則將導致數(shù)值模擬計算出的結果發(fā)散。表1 給出了基于不同尺度函數(shù)的最大穩(wěn)定數(shù)常數(shù)。

表1 CDF-MRTD算法的最大穩(wěn)定數(shù)常數(shù)Table 1 Maximum stability number constant of CDF-MRTD algorithm

3.2 CDF-MRTD算法的數(shù)值色散特性分析

進行數(shù)值計算時,由于時間和空間方向的離散,會使非色散媒質中出現(xiàn)色散現(xiàn)象。這種色散現(xiàn)象也會隨著電磁波的傳播方向以及離散化的不同而發(fā)生變化。數(shù)值色散現(xiàn)象會導致脈沖波形發(fā)生畸變,電磁波的傳播出現(xiàn)各項異性及發(fā)生不可預測的虛假折射現(xiàn)象。

三維空間下的MRTD 算法的數(shù)值色散關系定義如下:

式中:L s為尺度函數(shù)的有效支撐尺寸,k x=ksinθcosφ,k y=ksinθsinφ,k x=kcosφ,k為數(shù)值波數(shù),(θ,φ)為球坐標系下的傳播方位角,c為光速。

關于色散曲線圖的繪制,具體參數(shù)設置參考如下:在確定一致的空間離散步參數(shù)背景下,穩(wěn)定性常數(shù)取CFL=0.4,平面波入射角度θ=60°,φ=45°。圖1,圖2分別表示CDF-MRTD算法相對相速度誤差隨空間分辨率及球面角?的變化情況。

圖1 相對相速度誤差隨空間分辨率的變化Fig.1 Change of relative phase velocity error with spatial resolution

圖2 相對相速度誤差隨球面角? 的變化,PPW =10Fig.2 Change of relative phase velocity error with spherical angle,PPW=10

從圖1可知,基于CDF 小波尺度函數(shù)的MRTD算法的數(shù)值色散特性略優(yōu)于MRTD,但隨著空間分辨率的提高,兩者的數(shù)值色散特性結果趨近于近似。此外,空間分辨率的增加還會帶來計算機額外的內存占用,所以在實際應用中通常選用CDF(2,2)小波尺度函數(shù)。

從圖2 可知,CDF-MRTD 算法具有良好的數(shù)值色散特性。CDF(2,6)小波尺度函數(shù)具有比CDF(2,2)和CDF(2,4)的數(shù)值更優(yōu)的色散特性。伴隨著空間分辨率的提高,可以發(fā)現(xiàn)CDF-MRTD 算法的數(shù)值色散特性更為優(yōu)越。相同的空間分辨率條件下,CDF(2,2)方法也能得到精確的數(shù)值計算結果。

4 實驗與分析

4.1 算法驗證實驗

圖3所示為矩形光子晶體波導架構的示意圖。其中,空間離散步長為Δs=1 nm,時間離散長度為Δt=1.67 fs,光子晶體的縱向長度為600 nm,光子晶體波導內部的架構是由介質層周期交替排列和空氣介質層組成的架構[12-13]。其具體參數(shù)設定:ZnS(折射率n1=2.38),MgF(折射率n2=1.38),介質層的周期結構個數(shù)T=7,厚度n a=7 nm 以及n b=12 nm,穩(wěn)定度常數(shù)為CFL=0.4。激勵源采用正弦調制高斯脈沖,矩形光子晶體波導的兩端設置12層的PML 吸收邊界條件。圖4繪制了矩形波導禁帶傳輸特性S11和阻帶特性曲線S21的參數(shù)曲線圖。

圖3 矩形波導中PBG 結構示意圖Fig.3 PBG structure in rectangular waveguide

基于VS軟件對MRTD 算法的調試和編譯,算法進行數(shù)值模擬并計算出了矩形光子晶體波導的S參數(shù)曲線隨著頻率變化的圖譜曲線。從圖4 S11和S21圖譜曲線可以發(fā)現(xiàn),矩形光子晶體波導的頻率處于370～530 THz時出現(xiàn)了明顯的帶隙。

圖4 矩形光子晶體波導的S參數(shù)的曲線Fig.4 Parameter curves of rectangular photonic crystal waveguide

4.2 CDF-MRTD算法與傳統(tǒng)FDTD運算效率對比

基于相同的誤差邊界(0.3)條件時,改變空間步長,MRTD 和FDTD 兩種算法所占用的內存和CPU執(zhí)行的時間見表2。從表中數(shù)據(jù)得出,MRTD 相對于FDTD 算法會節(jié)省約40.72%的內存和減少21.97%的計算時間。

表2 消耗的計算機資源Table 2 Computer resources consumed

4.3 介質層數(shù)的變化對光子晶體波導傳輸特性的影響

研究周期長度的變化對于阻帶特性的影響,參數(shù)設置如下:PBG 結構的介質參量保持不變(介質的折射率保持不變),介質層的厚度保持不變,周期結構的個數(shù)分別取5,7,10。圖5,圖6分別繪制了矩形光子晶體波導阻帶特性參數(shù)S11和S21的曲線圖。

圖5 矩形光子晶體波導的S11 參數(shù)曲線Fig.5 Parameter curves of rectangular photonic crystal waveguide

圖6 矩形光子晶體波導的S21 參數(shù)曲線Fig.6 Parameter curves of rectangular photonic crystal waveguide

如圖波形所示,在保證介質折射率及基質層厚度的條件下,伴隨著周期T 的增加,阻帶的中心位置與長度基本保持不變,但帶隙間的震蕩次數(shù)發(fā)生有規(guī)律的增加,矩形光子晶體波導所形成的阻帶底部變得深而寬,因此光子晶體波導阻帶會依據(jù)介質參數(shù)即折射率的周期變化而產生[13-14]。假若介質參數(shù)的周期性變化幅度較小,會有一部分處于能隙位置的光穿透介質層。隨著介質層數(shù)的增加,介質參數(shù)的周期性表現(xiàn)得更加明顯,這時處于阻帶位置的光在介質內的傳播就被嚴格禁止了。在實際中,介質層數(shù)增加會導致光的損耗,因此在介質損耗不能忽略的情況下,介質的層數(shù)也不能無限制的增加。

4.4 折射率常數(shù)比的變化對光子晶體波導傳輸特性的影響

根據(jù)上述的分析結果,為了能更好的對比折射率常數(shù)比的變化對光子晶體波導阻帶特性的影響,把常見的固體光介質材料與組成的介質參量MgF 列于表3中。參數(shù)的設置如下:介質層的厚度和周期結構的層數(shù)保持不別,介質參數(shù)改變(介質的折射率變化)。介質層的厚度為n a=7 nm,n b=12 nm,周期結構的介質層個數(shù)T=7。圖7繪制了矩形波導光子晶體阻帶特性參數(shù)S21的曲線圖。

圖7 不同n 1 取值時矩形光子晶體波導的S21 參數(shù)曲線Fig.7 Parameter curves of rectangular photonic crystal waveguide

表3 常見光子晶體波導的介質參量表Table 3 Dielectric parameters of common photonic crystal waveguides

如圖所示,隨著兩種介質常數(shù)比值的增加,在低頻區(qū)域會形成新的阻帶,也就是阻帶的位置朝低頻方向發(fā)生移動,帶隙的個數(shù)增加,阻帶的寬度變寬。

4.5 介質層厚度比的變化對光子晶體波導傳輸特性的影響

介質層的折射率常數(shù)與介質層個數(shù)不變,只改變介質層的厚度比。周期結構的介質層個數(shù)T=7,ZnS(n1=2.38),MgF(n2=1.38),介質層的厚度為n a=6 nm,n b=12 nm,n a=8 nm,n b=10 nm,n a=9 nm,n b=9 nm,n a=12 nm,n b=6 nm,n a=15 nm,n b=3 nm,n a=16 nm,n b=2 nm。圖8繪制了矩形波導光子晶體阻帶特性參數(shù)S21的曲線圖。

圖8 na、nb 不同取值時矩形光子晶體波導的S21 參數(shù)曲線Fig.8 Parameter curves of rectangular photonic crystal waveguide

隨高介電常數(shù)介質比例的增加,禁帶數(shù)目增加,阻帶寬度變窄并向低頻方向移動。隨著高階介電常數(shù)介質層厚度的增加,介質表面反射波的光程差增大。根據(jù)光干涉原理,隨著高階折射率的增加,干涉消除的頻率會降低,所以干涉消除的頻率會向低頻方向移動。一維光子晶體波導由多層介質周期性排列組成,因此阻帶位置也會向低頻方向移動。

5 結 論

基于CDF-MRTD 算法對矩形波導介質層PBG結構的傳輸特性進行了研究,得出以下結論:

1.通過數(shù)值實驗證明,根據(jù)該算法編寫的程序具有比較高的準確性和可靠性。

2.CDF-MRTD 算法與傳統(tǒng)的FDTD 方法相比,在滿足計算精度要求的條件下,可以增加空間離散網(wǎng)格提高計算的效率。

3.通過分析介質層數(shù)的變化對光子晶體波導阻帶特性曲線的影響,以及折射率常數(shù)比的變化,介質層厚度比的變化對阻帶特性影響,發(fā)現(xiàn)介質層數(shù)、折射率常數(shù)比的變化與禁帶與阻帶內濾波特性有直接影響,而且影響很大。

4.在進行對矩形光子晶體波導優(yōu)化設計時,可以對其周期長度、周期個數(shù)等參數(shù)進行優(yōu)化處理。