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    挖掘例題價值提升解題能力

    2022-11-02 07:19:08王文慧
    初中生世界 2022年39期
    關(guān)鍵詞:圓周角切線變式

    文/王文慧

    教材中的例題是經(jīng)過精挑細選的,具有代表性和示范性,其中的價值不容小覷。研究例題中蘊含的知識點和思想方法,并加以拓展,對我們解題能力的提升有很大幫助。本文以蘇科版數(shù)學教材九年級上冊第67頁的例2為例,談?wù)劺}的學習與拓展。

    【原題呈現(xiàn)】如圖1,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,∠CAD=∠ABC。判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由。

    圖1

    【分析】本題考查圓的切線判定定理:經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。由題目條件出發(fā),利用直徑所對圓周角為90°進行轉(zhuǎn)化,就可以證明直線AD垂直于直徑AB。詳細證明過程見教材。

    這是一道較為典型的證明圓的切線的題目。在證明過程中,利用題目的已知條件和圓周角定理推出需要證明的結(jié)論,滲透推理能力和轉(zhuǎn)化思想,相關(guān)結(jié)論也較為重要。

    思考一 條件和結(jié)論對調(diào),逆命題還成立嗎?

    變式1如圖1,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,直線AD與⊙O相切,∠CAD和∠ABC相等嗎?

    【分析】從題目條件出發(fā),利用直徑和切線的性質(zhì),搭建橋梁,建立關(guān)聯(lián),得到相關(guān)結(jié)論,解決問題。

    解:∵AB是⊙O的直徑,

    ∴∠ACB=90°。

    ∴∠BAC+∠ABC=90°。

    ∵直線AD與⊙O相切,

    ∴AD⊥AB?!唷螧AC+∠CAD=90°。

    ∴∠CAD=∠ABC。

    【點評】這道題考查了切線的性質(zhì),推理的過程就是把例題的解題過程倒過來,利用逆向思維就可以解決問題,這是我們常常需要用的思維方式。這里還有一個重要結(jié)論“弦切角(弦與切線的夾角)等于它所夾弧所對的圓周角”,常在我們解決一些較為復雜的問題時用到。

    思考二 這個問題可以一般化嗎?

    變式2如圖2,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的弦,∠CAD=∠ABC。判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由。

    圖2

    【分析】將例題中的直徑AB改為弦,也就是從特殊到一般。由于AB是直徑這個條件沒有了,直接證明遇到困難,我們便需要添加輔助線。既可以連接半徑,也可以作直徑,證明直線AD與半徑(或直徑)垂直,進而證明直線AD是⊙O的切線。

    解法一:如圖3,連接AO、CO。

    圖3

    ∵AO=CO,∴∠CAO=∠OCA。

    ∵在△AOC中,∠CAO+∠OCA+∠AOC=180°,∴∠CAO+∠OCA+2∠ABC=180°。

    又∵∠CAD=∠ABC,

    ∴2∠CAO+2∠CAD=180°。

    ∴∠CAO+∠CAD=90°。

    ∴AO⊥AD。

    又∵AO是半徑,

    ∴直線AD與⊙O相切。

    解法二:如圖4,作直徑AE,連接EC。

    圖4

    ∵AE是⊙O的直徑,∴∠ACE=90°。

    ∴∠EAC+∠AEC=90°。

    ∵∠AEC=∠ABC,∠CAD=∠ABC,

    ∴∠EAC+∠CAD=90°,即AE⊥AD。

    ∵AE是直徑,∴直線AD與⊙O相切。

    【點評】從特殊到一般,沒有直徑的條件時,可以構(gòu)造直徑,利用圓周角定理轉(zhuǎn)化為教材例題來解決;也可以連接半徑,利用整體思想證明垂直。變式2更為直觀地呈現(xiàn)了圖形的本質(zhì)特點,滲透著轉(zhuǎn)化思想和整體思想。

    變式3如圖2,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的弦,直線AD與⊙O相切,∠CAD和∠ABC相等嗎?

    【分析】將變式2的條件和結(jié)論對調(diào),在同樣沒有直徑的條件下,添加輔助線依然首先考慮作半徑或者直徑,再利用切線性質(zhì)來解決。

    解:如圖4,作直徑AE,連接EC。

    ∵AE是⊙O的直徑,∴∠ACE=90°。

    ∴∠EAC+∠AEC=90°。

    ∵直線AD與⊙O相切,∴AD⊥AE,

    即∠EAC+∠CAD=90°。

    ∴∠CAD=∠AEC=∠ABC。

    【點評】變式3是變式2的逆命題,通過轉(zhuǎn)化思想可以將問題轉(zhuǎn)化為變式1,進而解決。

    本題將弦切角定理進一步一般化,我們?nèi)绻梢造`活應(yīng)用,將會更方便地解決問題。

    結(jié)合三個變式,我們不難發(fā)現(xiàn),對待一個幾何問題,常常用“五化”去研究,即強化條件、弱化條件、一般化條件、特殊化條件、條件結(jié)論互逆化。這樣的研究可以增強我們的邏輯推理能力,提升我們的思維水平,提高分析解決問題的能力。

    延伸(2021·江蘇南京)如圖5,F(xiàn)A、GB、HC、ID、JE是五邊形ABCDE的外接圓的切線,則∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=°。

    圖5

    【分析】這道題有五條切線,求的是五個弦切角的和。解決這個問題既可以用圓的切線性質(zhì),也可以利用弦切角定理把弦切角轉(zhuǎn)化為圓周角。在解題的過程中,我們還需要靈活利用弧的度數(shù)概念及整體思想等。

    解法一:如圖6,由弦切角定理可知∠BAF=∠ADB,∠CBG=∠BEC,∠DCH=∠CAD,∠EDI=∠EAD,∠AEJ=∠ACE。

    圖6

    ∠ADB、∠BEC、∠CAD、∠EAD、∠ACE對的弧分別是,這些弧加在一起就是一整個圓,則這些圓周角的和就等于360°的一半,即180°。

    解法二:如圖7,由切線性質(zhì)定理可知∠BAF+∠OAB=90°,∠CBG+∠OBC=90°,∠DCH+∠OCD=90°,∠EDI+∠ODE=90°,∠AEJ+∠OEA=90°。因 為∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA=270°,所 以∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=180°。

    圖7

    【點評】求五個弦切角的和,可以利用弦切角定理轉(zhuǎn)化為圓周角解決,也可以利用切線性質(zhì)定理解決。在解決這個問題的過程中,我們無法求出單個弦切角的度數(shù),所以要有整體意識、轉(zhuǎn)化思想,這些都是我們在解決問題中需要具備的方法和能力。

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