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    數(shù)隨形變變則歸一

    2022-11-02 07:19:02謝曉華
    初中生世界 2022年39期
    關(guān)鍵詞:圓周角同理平行線

    文/謝曉華

    華羅庚說:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微。”數(shù)與形的結(jié)合可以幫助我們直觀地解決很多數(shù)學(xué)問題。不僅如此,在幾何問題中,圖形中的“位置關(guān)系”決定著“數(shù)量關(guān)系”。在圓這一章中,點、線、角、弧與圓位置關(guān)系的情況比較多,我們稍不注意,就會導(dǎo)致漏解、錯解。

    類型一 點與圓的位置關(guān)系

    例1點M是非⊙O上的一點,若點M到⊙O上的點的最小距離是4,最大距離是8,則⊙O的半徑是____。

    【錯解】6。

    【錯因分析】點和圓的位置關(guān)系有三種:點在圓內(nèi)、圓外、圓上。此處忽略了點在圓外這種位置關(guān)系,導(dǎo)致漏解。

    【正解】本題有如下兩種情況:

    如圖1,當點M在⊙O內(nèi),連接OM,過點M作直徑AB,則AM=8,BM=4。

    圖1

    ∵⊙O的直徑AB=AM+BM=8+4=12,

    如圖2,當點M在⊙O外時,同理可得⊙O的半徑=

    圖2

    綜上,⊙O的半徑是6或2。

    【總結(jié)】處理點與圓的相關(guān)問題時,從“位置關(guān)系”來看有三種情況:點在圓內(nèi)、圓外、圓上;從“數(shù)量關(guān)系”來看,點在圓內(nèi)、圓外這兩種情況對應(yīng)圓的半徑分別為:點到圓上距離的最大值與最小值之和的一半、點到圓上距離的最大值與最小值之差的一半。

    類型二 圓心與圓內(nèi)兩條平行弦的位置關(guān)系

    例2⊙O中兩條平行的弦長分別為AB=6和CD=8,圓的半徑為5,則兩條平行弦AB和CD之間的距離為____。

    【錯解】1。

    【錯因分析】圓心與圓中的兩條平行弦有兩種位置關(guān)系:圓心在兩條平行線之間,圓心在兩條平行線外。此處忽略了圓心在兩條平行線之間的情況,導(dǎo)致漏解。

    【正解】本題有如下兩種情況:

    如圖3,當圓心在兩條平行線之間時,過點O作OM⊥AB交AB于點M,延長MO交CD于點N,連接OB、OD。

    圖3

    ∵OM⊥AB,

    在Rt△BOM中,∠BMO=90°,

    在Rt△DON中,∠OND=90°,

    如圖4,當圓心在兩條平行弦AB和CD外時,同理可得兩條平行弦間的距離為1。

    圖4

    綜上,兩條平行弦AB和CD之間的距離為7或1。

    【總結(jié)】在圓中,圓心與圓內(nèi)一組平行弦的關(guān)系,從“位置關(guān)系”來看有兩種情況:圓心在兩條平行線之間,圓心在兩條平行線外;從“數(shù)量關(guān)系”來看,平行弦之間的距離等于圓心到兩條弦之間的距離和或差。

    類型三 圓心與圓周角的位置關(guān)系

    例3⊙O的半徑為2,弦AB=2,AC=2,則∠BAC的度數(shù)為___。

    【錯解】15°。

    【錯因分析】圓心與圓周角的位置關(guān)系有兩種:圓心在圓周角內(nèi),圓心在圓周角外。此處忽略了圓心在圓周角內(nèi)的情況,導(dǎo)致了漏解。

    【正解】本題有如下兩種情況:

    如圖5,當圓心在圓周角∠CAB內(nèi)部時,過點O作OM⊥AB、ON⊥AC,分別交AB、AC于點M、N,連接OA。

    圖5

    在Rt△AOM中,∠AMO=90°,

    ∴△AOM為等腰直角三角形。

    ∴∠AOM=∠OAB=45°。

    (3)新疆巴里坤膨潤土礦富Al2O3、Fe2O3、Na2O、TiO2,貧Si2O、K2O、MgO。巴里坤膨潤土礦床的母質(zhì)為基性非富硅物質(zhì)。Na2O的含量遠遠大于CaO,且ENa2+/CEC為83.5%,為鈉基膨潤土。

    同理,在Rt△AON中,NA=3,OA=2,ON=1,∴∠OAN=30°。

    ∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=45°+30°=75°。

    如圖6,當圓心在圓周角∠CAB外部時,同理可得∠BAC=∠OAB-∠OAC=45°-30°=15°。

    圖6

    綜上,∠BAC=75°或15°。

    【總結(jié)】在圓中,對于圓心與圓周角,從“位置關(guān)系”來看有兩種:圓心在圓周角內(nèi),圓心在圓周角外;從“數(shù)量關(guān)系”來看,∠BAC的度數(shù)分別為圓周角頂點和圓心的連線與圓周角的兩邊構(gòu)成的兩個角的和與差。

    類型四 動點與弧的位置關(guān)系

    例4點P為⊙O外一點,PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點,點C為⊙O上與A、B不重合的點,若∠P=30°,則∠C的度數(shù)為____。

    【錯因分析】點在圓上時,點與圓弧有兩種位置關(guān)系:點在優(yōu)弧上,點在劣弧上。此處忽略了點在劣弧上的情況,導(dǎo)致漏解。

    【正解】本題有如下兩種情況:

    如圖7,當點C在優(yōu)弧上時,連接OA、OB。

    圖7

    ∵PA與⊙O相切于A點,OA是⊙O的半徑,∴∠OAP=90°。

    同理,∠OBP=90°。

    在四邊形AOBP中,∠OAP+∠P+∠OBP+∠AOB=360°。

    如圖8,當點C在劣弧上時。

    圖8

    ∵四邊形ACBC′是⊙O的內(nèi)接四邊形,

    ∴∠C+∠C′=180°?!唷螩′=105°。

    綜上,∠C=75°或105°。

    【總結(jié)】在圓中,對于點與圓弧,從“位置關(guān)系”來看有兩種情況:點在優(yōu)弧上,點在劣弧上;從“數(shù)量關(guān)系”來看,這兩種情況下的兩個角互為補角。同學(xué)們可以利用切線、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形求解。

    “數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)知識的核心構(gòu)成要素,尤其是在幾何的學(xué)習(xí)過程中,數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是數(shù)與形關(guān)系的直接體現(xiàn)。在圓這一章的學(xué)習(xí)過程中,我們要考慮點、線、角、弧在圖形中的不同位置。位置關(guān)系不同,數(shù)量關(guān)系也會發(fā)生變化,更深入地分析可以發(fā)現(xiàn):不同位置關(guān)系下對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系之間也存在著對應(yīng)關(guān)系。也正是位置的不確定,我們才需要分類討論出不同的數(shù)量關(guān)系。

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