基于動態(tài)模式分解的三端多段式架空線-電纜混合輸電線路故障定位新方法

張智偉，范新橋，張 利，李 慧，劉思嘉

（北京信息科技大學自動化學院，北京 100192）

隨著城市化進程的推進輸電線路的布局在不斷地發(fā)生改變，為了城市的整潔美觀及更好的利用空間和土地，城市內(nèi)部的架空線不斷減少，地下電纜逐漸增多，而城市周邊一般仍采用架空線輸電線路，逐漸形成了多段式架空線-電纜混合的輸電線路格局，尤其以三端多段混合線路的情況居多。電纜相比于架空線路，由于深埋地下發(fā)生故障的概率較低，但隨著使用時間的增長，電纜因絕緣老化發(fā)生故障的情況也時有發(fā)生。無論是架空線路還是電纜，一旦發(fā)生故障而不能快速修復，可能會造成巨大的經(jīng)濟損失，甚至是人員傷亡。對于深埋地下的電纜線路，因修復故障需要挖開電纜溝，其對故障點定位的準確性要求更高。

對于單一架空線或電纜的故障定位，國內(nèi)、外已開展了較多研究[1-5]，且定位精度基本能夠滿足工程需要；對于三端或多端輸電線路，目前的相關(guān)研究大都是基于單一架空線或電纜的均勻傳輸輸電線路[6-8]。由于架空線-電纜混合線路的特性阻抗存在不一致性，會導致傳統(tǒng)單一類型線路故障定位方法不再適用，這種混合線路的故障定位也是目前工程上未能很好解決的一個問題；對于多段式架空線-電纜混合輸電線路，其線路結(jié)構(gòu)比單一類型線路更加復雜，尤其多端多段式架空線-電纜混合輸電線路具有更高的復雜性，因此該類結(jié)構(gòu)的混合線路故障定位也更具挑戰(zhàn)性。

對于架空線-電纜混合線路故障定位，文獻[9]提出將混合線路等價成為一種均勻傳輸線路，并利用“波速歸一化”的思想克服混合線路阻抗不連續(xù)的方法，從而解決了現(xiàn)場電纜波速難以確定的問題；文獻[10-11]提出架空線與電纜連接點故障時，利用初始行波到達兩端的時間差作為整定值，來判斷故障發(fā)生區(qū)段的方法，然后分別利用雙端行波故障測距算法和單端行波測距法求取故障距離。但這些文獻均未進一步考慮含有多段架空線和電纜的故障點定位。文獻[12-13]分別提出一種基于分段補償原理和基于時間差值的混合輸電線路行波故障定位方法，并考慮含有多段架空線和電纜的情況，但均未擴展到多端多段式混合輸電線路的場景。多端多段式混合輸電線路故障定位具有一定的復雜性，文獻[14]提出一種基于時間軸整定的T型混合輸電線路測距方法，但未考慮含有多段架空線和電纜的情況。

此外，基于行波原理的故障定位方法均需準確識別行波波頭才能進行故障點的有效定位?；谛〔ǚ治龅牟^檢測方法需要選擇合適的基函數(shù)和分解尺度，自適應能力相對較差[15]；希爾伯特-黃變換HHT（Hilbert-Huang transform）[16]可以有效檢測波頭，但其存在過包絡和欠包絡問題。文獻[6]、[8]分別提出了利用快速本征模態(tài)分解FIMD（fast intrinsic mode decomposition）和變分模態(tài)分解VMD（variational mode decomposition）識別故障初始行波波頭，但這些方法都在一定程度上存在模態(tài)混疊問題。動態(tài)模式分解DMD（dynamic mode decomposition）算法[17]在處理非平穩(wěn)信號方面具有很好的效果，該方法在提取主導特征值基礎(chǔ)上實現(xiàn)信號低頻分量的過濾來達到降低模態(tài)混疊現(xiàn)象的目的。此外，Teager 能量算子TEO（Teager energy operator）[18]能夠有效反映分析信號能量的變化。結(jié)合DMD算法和TEO來檢測故障行波波頭到達時刻，具有一定的可行性。

三端多段式架空線-電纜混合線路相比常規(guī)混合線路故障定位更復雜，為得出較為普適性的故障定位方法，本文考慮了較為復雜的三端多段線路的混合情況，即各端支路均由多段架空線和多段電纜線路組成。

針對故障初始行波波頭識別問題，本文提出基于DMD和TEO（DMD-TEO）的故障行波波頭檢測方法。首先，對于三端多段式混合輸電線路故障定位，利用故障分支判定條件判斷故障支路；然后，計算故障初始行波到達該支路端點和T 節(jié)點的時間差，并將其與故障行波從該支路各連接點傳播到端點和T 節(jié)點的時間差進行比較；最后，確定故障所在的架空線路段或電纜線路段，并在故障線路段上利用雙端行波原理計算出故障距離。

1 基于DMD-TEO 的故障行波波頭檢測方法

1.1 動態(tài)模式分解

DMD 算法是一種基于Koopman 算子理論發(fā)展起來的模態(tài)分析算法，被廣泛應用于非線性系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理，對處理非平穩(wěn)信號具有很好的效果[19-21]。給目標信號進行DMD分解，就是通過數(shù)學變換，有效過濾掉故障行波中的低頻分量，得到主導特征值和主要模態(tài)，從而減少模態(tài)混疊現(xiàn)象對行波檢測精度的影響。

通過行波采樣裝置可以獲得包含故障信息的行波數(shù)據(jù)X=[x1,x2,x3,…,xN]，其中，xi為第i時刻的采樣值。離散的采樣數(shù)據(jù)可以通過線性映射表示為

式中，A為離散系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。

將上述采樣數(shù)據(jù)X構(gòu)建成2 個新的矩陣X1=[x1,x2,x3,...,xN-1] 和X2=[x2,x3,x4,...,xN]，并滿足如下關(guān)系：

對矩陣X1進行奇異值分解SVD（singular value decomposition），即

式中：U、V為酋矩陣；Σ為奇異值對角矩陣；A′為狀態(tài)矩陣A的近似矩陣。

矩陣A′的計算過程可視作Frobenius范數(shù)的最小化問題，即

可將A近似為

從而，實現(xiàn)對原高維狀態(tài)矩陣的有效降維，且矩陣A′包含的行波故障特征信息與原狀態(tài)矩陣A一致。對矩陣A′進行特征值分解，從而獲得包含故障特征信息的模態(tài)量。

對矩陣A′進行特征分解，即

式中，μi、wi分別為A′的特征值和特征向量。

在求解出所有的特征值和對應的特征向量后，構(gòu)建矩陣W和對角矩陣D，且wi為W的列向量，μi為D的對角元，其關(guān)系可表示為

定義φ的每一列為一個DMD 模態(tài)，則DMD 模態(tài)可表示為

至此，完成對行波信號的DMD分解，從而得到含有行波故障信息的主要模態(tài)。

1.2 基于DMD-TEO 的行波波頭檢測方法

TEO 是一種能反映被分析信號能量變化的非線性算子，其通過對信號進行差分運算來獲得信號的瞬時能量。對TEO進行離散化，即

式中：ψ為能量算子；t為時間。

當輸電線路發(fā)生故障后，行波浪涌的到達表現(xiàn)為能量的突變，在原理上能夠采用TEO算子檢測行波能量突變。因此，結(jié)合DMD 算法及TEO 算子來檢測故障行波波頭到達時刻。首先，對故障電流行波進行凱倫貝爾解耦變換[22]；然后，對所得故障行波線模分量進行DMD分解；最后，利用TEO算子即可計算出模態(tài)1的瞬時能量。

2 三端三段式混合線路的故障定位方法

2.1 故障分支判定條件

圖1 為結(jié)構(gòu)較為簡單的三端三段式架空線-電纜混合輸電線路，其中，F(xiàn)為故障點，K1、K2為架空線與電纜連接點；K1K2段為電纜線，長度為L12；S1K1段、K2T 段、S2T 段、S3T 段均為架空線，長度分別為L11、L13、L2、L3。

圖1 三端三段式混合線路Fig.1 Three-terminal three-segment hybrid line

假定故障行波在架空線和電纜中的波速分別為v0、vc，則故障行波穿過S1K1、K1K2、K2T、S2T 和S3T 段線路所用時間t11、t12、t13、t2和t3可表示為

在此基礎(chǔ)上對圖1 所示的三端三段式混合線路進行簡化，簡化后的三端輸電線路如圖2所示。

圖2 三端簡化線路Fig.2 Simplified three-terminal line

簡化前、后S1-T 線路段的長度對應關(guān)系可表示為

設故障行波穿過S1T 段所用總時間為t1，則有

故障行波從T 節(jié)點傳播到三端測點的時間差可預先計算出來，分別為

式中：ΔtS1TS2為故障初始行波從T 節(jié)點傳播到S1端和S2端的時間差；ΔtS1TS3為故障初始行波從T 節(jié)點傳播到S1端和S3端的時間差；ΔtS2TS3為故障初始行波從T節(jié)點傳播到S2端和S3端的時間差。

故障發(fā)生后，故障初始行波到達三端測點的時刻分別為tS1、tS2和tS3，兩兩作差可得

式中：ΔtS1S2為故障初始行波到達S1端和S2端的時間差；ΔtS1S3為故障初始行波到達S1端和S3端的時間差；ΔtS2S3為故障初始行波到達S2端和S3端的時間差。

根據(jù)故障初始行波到達各端測點的時間差和行波從T 節(jié)點傳播到各端測點時間差之間的大小關(guān)系，可對三端混合線路故障分支判定條件進行如下梳理。

（1）在圖2中當故障點發(fā)生在S1-T 支路時，對故障初始行波到達S1、S2端的時刻tS1和tS2作差可得ΔtS1S2為

式中，tFT為故障初始行波從故障點F傳播到T節(jié)點所用時長。

由于ΔtS1TS2=t1-t2，因此可得ΔtS1S2＜ΔtS1TS2。同理，可得特征關(guān)系為

（2）當故障點發(fā)生在S2-T、S3-T 支路時，可分析出各時間差的特征關(guān)系為

（3）當故障點發(fā)生在T 節(jié)點時，各時間差具有的特征關(guān)系為

因此，當故障發(fā)生在三端混合線路的任何一條支路上時，根據(jù)式（18）～（21）基于時間差的故障分支判定條件即可判定出故障所在支路。

2.2 故障分支內(nèi)故障線路段判斷

判斷出故障點在某一分支線路后，由于分支線路可能存在多段架空線和電纜的混合線路，因此需進一步判斷故障點是在該分支混合線路的哪段電纜或架空線。

假定圖1 中S1-T 支路上F 點的故障發(fā)生時刻為tF，故障初始行波以v0的速度沿著架空線路向兩端傳播，分別在tS1和tT時刻到達S1測點和T 節(jié)點。其中，tT時刻可由故障初始行波到達S2端測點的時刻和到達S3端測點的時刻分別計算，即

考慮只用其中一端測點檢測到的行波到達時刻計算可能會造成較大誤差，故使用兩者均值作為T節(jié)點檢測到故障初始行波的時刻，其計算方法為

式中，tT為故障初始行波到達T節(jié)點的時刻。

由于實際線路拓撲是已知的，故障行波從K1、K2點分別傳播到S1測點和T 節(jié)點的時間差ΔtS1K1T和ΔtS1K2T可表示為，

因此，故障初始行波傳播到S1測點和T節(jié)點的時間差可表示為

將ΔtS1T與ΔtS1K1T和ΔtS1K2T進行比較，來確定故障發(fā)生區(qū)段，具體方法如下。

（1）當故障點發(fā)生在S1K1區(qū)段時，故障行波從故障點傳播到S1測點的時間小于行波從K1點傳播到S1測點的時間，此時ΔtS1T＜ΔtS1K1T。

（2）當故障點發(fā)生在K1K2區(qū)段時，故障行波從故障點傳播到S1測點的時間大于行波從K1點傳播到S1測點的時間，同時小于從K2點傳播到S1測點所用的時間，此時ΔtS1K1T＜ΔtS1T＜ΔtS1K2T。

（3）當故障點發(fā)生在K2T 區(qū)段時，故障行波從故障點傳播到S1測點的時間大于行波從K2點傳播到S1測點的時間，此時ΔtS1T＞ΔtS1K2T。

因此，根據(jù)故障初始行波傳播到S1測點、T 節(jié)點的時間差ΔtS1T和故障初始行波由K1、K2點分別傳播到S1測點、T 節(jié)點的時間差ΔtS1K1T及ΔtS1K2T三者之間的大小關(guān)系，即可判斷出故障點所在故障分支內(nèi)的電纜段或架空線路段。

2.3 故障點定位原理

在判斷出圖1 所示的故障線路段K2-T 后，進一步采用雙端行波法計算故障距離。根據(jù)各段架空線和電纜段線路長度，計算故障行波在各線路段的傳播時長；利用各端檢測到的故障初始行波到達時刻計算故障行波到達故障段線路K2-T 兩端的時間，從而進行故障距離計算。故障初始行波到達電纜和架空線的接頭K2點的時刻tK2可表示為

利用雙端行波法可計算故障點F 到電纜和架空線接頭K2點的距離LK2F為

進而計算故障點F到S1端的距離LS1F為

3 三端多段式混合線路的故障定位方法

圖3 為含有n（n＞1）段架空線和電纜的多段式混合輸電線路示意，Kj(j=1,2,…,n-1)為各段架空線和電纜的接頭。根據(jù)第2 節(jié)的三端三段式混合輸電線路故障定位原理，可進一步分析得出三端多段式混合線路的故障定位，其具體步驟如下。

圖3 三端多段式混合線路Fig.3 Three-terminal multi-segment hybrid line

步驟1根據(jù)三端多段式混合線路的拓撲，確定各分支線路內(nèi)的各段架空線、電纜的長度及參數(shù)。假定各支路內(nèi)架空線和電纜的總段數(shù)為n，第i條分支線路第j段架空線或電纜線路長度為Lij，第i條分支線路第j段架空線或電纜線路故障行波傳播速度為vij，i=1,2,3，j=1,2,…,n。例如，L12和v12分別表示S1端所在支路K1-K2段線路長度和故障行波在該線路段的傳播速度，此時i=1，j=2。

步驟2計算故障行波在第i條分支線路內(nèi)第j段線路中的傳播時長tij為

同理，可將圖3 的三端多段式混合線路簡化為圖2的形式。其中，S1-T、S2-T、S3-T 線路段的長度L1、L2、L3及故障行波穿過S1T、S2T、S3T 段所用總時間t1、t2、t3可分別表示為

式中，j=1,2,…,n，n為各支路內(nèi)架空線和電纜的總段數(shù)。

步驟3按照式（15）和式（16）計算出ΔtS1S2與ΔtS1TS2、ΔtS1S3與ΔtS1TS3、ΔtS2S3與ΔtS2TS3，并根據(jù)三端三段式混合線路故障分支判斷方法，通過比較該時間差的大小關(guān)系可判斷出故障支路。

步驟4如果比較結(jié)果符合式（21）的特征，則可以判定故障點發(fā)生在T節(jié)點位置，其到Si端的距離LSiF可表示為

式中，i=1,2,3，j=1,2,…,n。

步驟5如果比較結(jié)果為式（18）～（20）的結(jié)果，則可以判定故障點發(fā)生在S1～S3端所在支路。

步驟6由步驟（5）判定出故障發(fā)生支路，計算故障初始行波由該支路各連接點Km傳播至該支路Si端和T節(jié)點的時間差ΔtSiKmT為

式中 ：i=1,2,3 ；m為連接點個數(shù)，m=0,1,2,…,n-1；ti0=0。

計算故障初始行波到達Si端點和T 節(jié)點的時間差ΔtSiT=tSi-tT，并與ΔtSiKmT分別進行比較，來確定故障發(fā)生區(qū)段，并進行故障距離計算，具體比較方法如下。

（1）如果ΔtSiT=ΔtSiKmT（m=0，1，2，…，n-1），則可判定架空線和電纜的連接點或端點Km為故障點。其到端點Si(K0)距離可表示為

（2）如果ΔtSiT滿足的條件為

則故障點發(fā)生在第m段線路上。故障點到Si端點的距離可表示為

4 三端多段式混合線路故障定位仿真驗證

4.1 仿真模型

圖4為采用電磁暫態(tài)程序PSCAD/EMTDC 搭建的三端多段式混合輸電線路模型。其中，輸電線路采用貝杰龍模型，電纜為三芯結(jié)構(gòu)；架空線及電纜線路參數(shù)見表1，系統(tǒng)阻抗見表2。

圖4 仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.4 Simplified structural diagram of simulation system

表1 輸電線路參數(shù)Tab.1 Parameters of transmission line

表2 系統(tǒng)阻抗Tab.2 System impedances Ω

4.2 仿真計算及分析

對不同短路故障類型進行仿真，仿真步長設置為1 μs，過渡電阻為150 Ω、100 Ω、50 Ω；0.3 s 時刻發(fā)生故障，持續(xù)時間為0.1 s。

根據(jù)線路拓撲結(jié)構(gòu)和線路長度預先計算行波在各段架空線和電纜的傳播時間如表3所示。

表3 各段線路傳播時長Tab.3 Propagation duration of each section of line μs

將圖4 簡化為三端線路后，根據(jù)式（33）計算行波在S1T、S2T、S3T 分支上的總傳播時間t1、t2、t3分別為481.972 μs、287.132 μs、240.986 μs。

根據(jù)式（15）可計算故障行波從T 節(jié)點傳播到S1、S2和S3端測點的時間差為ΔtS1TS2=194.84 μs、ΔtS1TS3=240.986 μs、ΔtS2TS3=46.146 μs。

考慮實際系統(tǒng)的單相接地故障發(fā)生概率最高，限于篇幅，本文只對接地電阻為50 Ω時的A相接地短路故障的仿真計算過程進行詳細說明。

1）分支線路故障

在圖4中，S1測點所在支路S1-T 上距S1端30 km處發(fā)生A 相接地短路故障（對應位置①）后，S1、S2和S3端的瞬時電流波形分別如圖5（a）～（c）所示。

圖5 三端瞬時電流波形Fig.5 Three-terminal instantaneous current waveform

由0.299 901s開始截取1 000個采樣點，用采樣點代表采樣時刻，對各測點解耦后的α模電流分量進行DMD分解。其中，S1測點的DMD分解結(jié)果如圖6 所示；圖7～9 為各測點模態(tài)1（DMD-1）的Teager 能量曲線。

圖6 S1 測點的α 模電流DMD 分解結(jié)果Fig.6 DMD results of Mode-α current at S1

圖7 S1 測點所得DMD-1 的Teager 能量曲線Fig.7 Teager energy curve of Mode-1 at S1

圖8 S2 測點所得DMD-1 的Teager 能量曲線Fig.8 Teager energy curve of Mode-1 at S2

圖9 S3 測點所得DMD-1 的Teager 能量曲線Fig.9 Teager energy curve of Mode-1 at S3

故障初始行波到達各測點時刻如表4 所示，各端測點故障行波到達時刻由采樣點序號乘以采樣周期來計算，即tS1=0.299 9+214×10-6=0.300 114 s。

表4 仿真情況1 的各測點初始行波到達時刻Tab.4 Arrival time of initial traveling wave at each measuring point in simulation Case 1 s

由式（16）可得出故障初始行波到達三端測點的時間差分別為ΔtS1S2=-540 μs、ΔtS1S3=-494 μs、ΔtS2S3=46 μs。

利用故障分支判定條件判斷故障發(fā)生分支時，由于存在一定誤差，需對故障分支判定條件進行修正。假設誤差閾值為λ，當“|ΔtS2S3-ΔtS2TS3|＜λ”時，修正為“ΔtS2S3=ΔtS2TS3”。一般誤差閾值λ的值可取為1×10-5左右。

由故障分支判定方法可知，修正后故障初始行波到達各端測點的時間差和行波從T 節(jié)點到達各端測點的時間差之間的特征滿足式（18），因此可以判定故障發(fā)生在S1測點所在支路。

由式（35）可計算故障初始行波由S1-T 支路的各個連接點K1、K2、K3和K4分別傳播至S1端和T節(jié)點的時間差為ΔtS1K1T=-311.058 μs、ΔtS1K2T=-171.596 μs、ΔtS1K3T=67.684 μs、ΔtS1K4T=276.876 μs。

故障初始行波到達S1端點和T 節(jié)點的時間差ΔtS1T可根據(jù)式（27）計算為ΔtS1T=-252.941 μs。

由第2.2節(jié)故障區(qū)段判定方法可知ΔtS1T滿足的條件為ΔtS1K1T＜ΔtS1T＜ΔtS1K2T，因此，可判定故障發(fā)生在K1K2區(qū)段。由式（38）可計算出故障點到S1端的距離LS1F=L11+LK1F=25+5.000 7=30.000 7 km，定位誤差為0.7 m。。

2）T節(jié)點故障

當圖4 網(wǎng)絡的T 節(jié)點處發(fā)生A 相接地故障（對應位置為②）時，表5 給出了三端測點故障初始行波的到達時刻。

表5 T 節(jié)點故障時各測點初始行波到達時刻Tab.5 Arrival time of initial traveling wave at each measuring point under T-node fault s

由式（16）可得故障初始行波到達3 端測點的時間差分別為ΔtS1S2=194 μs、ΔtS1S3=241 μs、ΔtS2S3=47 μs。

由故障分支判定方法可知，修正后故障初始行波到達各端測點的時間差和行波由T 節(jié)點到達各端測點的時間差之間的特征滿足式（21），因此可以判定故障點發(fā)生在T節(jié)點。

部分不同故障工況下的故障定位結(jié)果如表6所示。

表6 故障定位結(jié)果Tab.6 Fault location results

由表6 的定位結(jié)果表明，本文方法在不同故障工況下均能準確定位出故障支路和故障點，定位誤差基本保持在100 m以內(nèi)，能夠滿足實際工程需求。

4.3 不同波頭檢測方法的定位結(jié)果比較

為比較本文波頭檢測方法下的故障定位效果，在S1-T 支路不同位置處模擬了多種不同過渡電阻、不同類型的故障工況。利用本文所提基于DMD-TEO的故障定位方法和基于小波變換的波頭檢測方法進行故障定位效果對比，兩種方法的部分定位結(jié)果如表7所示。

表7 不同方法定位結(jié)果Tab.7 Location results obtained using different methods

由定位結(jié)果可以看出，本文方法的定位誤差絕對值最大為69.2 m，在相同故障工況下所提DMDTEO方法的故障定位精度均高于小波變換方法，且不受故障類型和過渡電阻影響。因此，當故障發(fā)生在架空-電纜分界點附近時，本文方法也能得到較為滿意的定位效果。

5 結(jié)論

（1）鑒于DMD 可改善模態(tài)混疊和TEO 能有效反映能量的瞬時變化，結(jié)合DMD算法和TEO算子，本文提出一種DMD-TEO 的故障行波波頭檢測方法，實現(xiàn)故障初始行波到達時刻的準確檢測。

（2）提出一種基于故障初始行波到達各端測點及T節(jié)點時間差的故障線路段判斷方法，該方法在判定出故障分支線路后，進一步計算故障初始行波到達該支路端點和T節(jié)點的時間差，并與故障行波從該支路各連接點傳播到端點和T 節(jié)點的時間差進行比較，確定故障所在的架空線路段或電纜線路段，利用雙端行波法實現(xiàn)故障距離的準確計算。

（3）在PSCAD 中搭建三端多段式架空線-電纜混合線路模型，利用本文所提故障定位方法對不同支路的架空線、電纜段在不同位置發(fā)生不同類型、不同過渡電阻的多種故障工況下進行定位驗證，結(jié)果表明，利用本文方法能夠準確判定出故障支路和故障所在的架空線或電纜線路段，并準確定位故障點，從而驗證了本文所提三端多段式混合線路故障方法的有效性。