一類線性離散時間系統(tǒng)的預(yù)見控制器設(shè)計

李麗 孟曉華

(1.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430205;2.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院中國改革試點(diǎn)探索與評估協(xié)同創(chuàng)新中心湖北分中心,湖北 武漢 430205)

1.引言

跟蹤控制器的作用是使得系統(tǒng)的輸出能緊緊跟隨其希望的輸出,而不消耗過多的控制能量.跟蹤控制的問題一直是控制理論中一個研究的熱點(diǎn),而且也取得了很好的成果[1].在生活實(shí)際中有許多控制系統(tǒng)的輸出目標(biāo)值信號是已知的.例如X -Y工作臺、機(jī)器人系統(tǒng),其目標(biāo)路徑就是事先規(guī)定的,因而是已知的,或者說,是可以預(yù)見的.預(yù)見控制理論就是利用可預(yù)見的目標(biāo)值信號的未來信息參與當(dāng)前控制系統(tǒng)中,使得閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能得到提高.[2]預(yù)見控制的思想最初起源于20世紀(jì)60年代.Sheridan于1966年在文[3]中介紹了預(yù)見控制的本質(zhì)特征和三種基本模型,通過三個模型,提出了預(yù)見控制的概念.1968 年,Bender將線性最優(yōu)預(yù)見控制的方法應(yīng)用于車輛懸掛系統(tǒng)[4].Hayase和Ichikawa于1969年提出了利用目標(biāo)值改善系統(tǒng)跟蹤性能的預(yù)見控制方法[5].20 世紀(jì)70年代,以Tomizuka[6]、Katayama[7]為代表的學(xué)者們發(fā)表了一系列成果,這方面的研究才被人們廣泛關(guān)注.隨后基于這些@期經(jīng)典預(yù)見控制理論方法,相關(guān)學(xué)者將預(yù)見控制理論進(jìn)一步推廣到線性奇異系統(tǒng)[8],隨機(jī)系統(tǒng)[9],多智能體系統(tǒng)[10]等等.

不確定現(xiàn)象廣泛存在,因此如何利用預(yù)見控制理論的方法處理魯棒控制問題,近年來得到了高度的關(guān)注,尤其是H2/H∞預(yù)見控制問題.如文[11]引入H∞的控制思想,解決了連續(xù)線性系統(tǒng)的H∞前饋預(yù)見問題,并基于H∞代數(shù)Riccati方程最小化指標(biāo)函數(shù),得到最優(yōu)控制律.隨后該課題組利用Hamiltonian矩陣方法研究了一般形式的連續(xù)時滯H∞預(yù)見控制問題[12].線性矩陣不等式是魯棒控制理論中一種有效的方法,并被應(yīng)用到系統(tǒng)和控制的各個領(lǐng)域中.例如文[13]構(gòu)造增廣系統(tǒng)將帶積分魯棒預(yù)見跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化為魯棒LQ調(diào)節(jié)器問題,得到的控制器結(jié)構(gòu)也包含預(yù)見前饋補(bǔ)償器、狀態(tài)反饋控制器和積分環(huán)節(jié),來研究帶執(zhí)行器故障的離散時間多面體不確定系統(tǒng)的預(yù)見控制問題.文[14-15]將預(yù)見控制理論中經(jīng)典的差分算子方法直接推廣到參數(shù)不確定系統(tǒng)中來,并結(jié)合LMI 技術(shù)給出了魯棒預(yù)見控制器的設(shè)計方法.另一方面,為了克服文[14-15]中的差分算子無法作用于時變的不確定項(xiàng),文[16]利用系統(tǒng)狀態(tài)與其穩(wěn)態(tài)值之差代替通常的狀態(tài)差分來構(gòu)造擴(kuò)大誤差系統(tǒng),通過求解LMI 來給出預(yù)見控制器的設(shè)計方法.

針對一類離散時間系統(tǒng),本文將結(jié)合預(yù)見控制理論的方法和LMI技術(shù),研究狀態(tài)反饋和輸出反饋預(yù)見控制器的設(shè)計問題.本文引入兩個新的輔助變量,通過系統(tǒng)狀態(tài)與輔助變量之差代替通常的狀態(tài)差分來構(gòu)造擴(kuò)大誤差系,改進(jìn)了以往的誤差系統(tǒng)的構(gòu)造方法,得到一種新的擴(kuò)大誤差系統(tǒng).然后,通過改寫擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的輸出方程,使其融合未來預(yù)見信號的信息,并利用李亞普洛夫第二方法,給出保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件.我們還將通過數(shù)值仿真對不同的預(yù)見步數(shù)的情況進(jìn)行比較,顯示出目標(biāo)信號的預(yù)見作用對閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤性能的優(yōu)越性.需要指出了是本文針對線性離散時間系統(tǒng)給出了一種新的擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的構(gòu)造方法.本文構(gòu)造出擴(kuò)大誤差系統(tǒng)不含誤差向量,這樣處理的好處有兩點(diǎn): (i) 降低系統(tǒng)維數(shù),減少計算量;(ii) 允許系統(tǒng)的輸出方程中含有不確定項(xiàng),應(yīng)用對象更廣泛.

記號:P ＞0表示P為對稱正定矩陣,P ＞Q表示P -Q ＞0;*表示對稱矩陣的對稱項(xiàng),I表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣.

2.問題描述及基本假設(shè)

考慮離散時間系統(tǒng):

其中,x(k)∈Rn為狀態(tài)向量;u(k)∈Rq為控制輸入向量;y(k)∈Rq為控制輸出向量;A,B和C為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.

設(shè)r(k)∈Rq為目標(biāo)值信號.誤差信號定義為

假設(shè)目標(biāo)值信號是可預(yù)見的,即

假設(shè)A2設(shè)目標(biāo)值信號r(k)的預(yù)見步數(shù)為MR,即在當(dāng)前時刻k,目標(biāo)值信號r(k),r(k+1),r(k+2),···,r(k+MR)為已知.并設(shè)MR步之后目標(biāo)值信號不變,即

注2.1假設(shè)A2是預(yù)見控制理論的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè).按照控制系統(tǒng)本身的特點(diǎn),只有一段時間的可預(yù)見目標(biāo)值信號對系統(tǒng)的性能有較明顯的影響,預(yù)見步數(shù)外的目標(biāo)值信號為系統(tǒng)性能的影響不大,從而在可預(yù)見步數(shù)以外的目標(biāo)值信號的值我們不必關(guān)心,從而可@為它是任何常數(shù).事實(shí)上,普通的反饋控制系統(tǒng)不利用可預(yù)見信號,相當(dāng)于取預(yù)見步數(shù)為零.

引理2.3針對系統(tǒng)x(k+1)=Ax(k),如果存在矩陣P ＞0及適當(dāng)維數(shù)的矩陣G使得

則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定.

證根據(jù)文[19]的定理1,容易推出如果存在矩陣P ＞0,使得

則系統(tǒng)是魯棒漸近穩(wěn)定的.

對式(2.4)做合同變換: 左乘diag{GT,I},同時右乘它的轉(zhuǎn)置可得到

而當(dāng)H ＞0時,不等式-(L-H)TH-1(L-H)≤0成立,也就是

結(jié)合式(2.5)和式(2.6)可知,式(2.3)可以保證式(2.5)成立,而式(2.5)和式(2.4)是等價的.因此,若式(2.3)成立,則式(2.4)是成立的,從而結(jié)論成立.

受文[9]的啟發(fā),我們構(gòu)造如下形式變量

3.擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的推導(dǎo)

我們首先導(dǎo)出一個擴(kuò)大誤差系統(tǒng),把這里的跟蹤問題轉(zhuǎn)化為調(diào)節(jié)問題,然后應(yīng)用LMI技巧設(shè)計控制器.

根據(jù)式(2.1),式(2.7)和式(2.8)得到

根據(jù)假設(shè)A2和式(2.8),上式可進(jìn)一步寫為

同時注意

注意系統(tǒng)(3.7)的特點(diǎn)是: 體現(xiàn)預(yù)見信息的XR(k)是狀態(tài)向量的一部分,這樣形式系統(tǒng)(3.7)便包含了可預(yù)見的目標(biāo)值的信息.但系統(tǒng)(3.7)中沒有出現(xiàn)u(k)的差分,而只出現(xiàn)(k),這使得當(dāng)利用LMI方法求出系統(tǒng)(3.7)的控制輸入時,其中不會包含誤差e(k)的積分,從而閉環(huán)系統(tǒng)不包含積分器,因此不利于消除靜態(tài)誤差.為此,我們引進(jìn)離散積分器,它由下式定義

注3.1在構(gòu)造擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(3.10),在計算式(3.1)和(3.5)時并沒有用到y(tǒng)(k)和x(k)的差分,而是通過引入輔助變量方法,這樣給預(yù)見控制理論中線性離散時間系統(tǒng)的擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的構(gòu)造提供一種新的方法.另外,由于無需對系統(tǒng)(2.1)的狀態(tài)方程兩邊取差分,因而避免了求系統(tǒng)的有關(guān)系數(shù)矩陣的差分,這使得即使系數(shù)矩陣是時變的,其形式系統(tǒng)(3.10)仍然有比較簡單的形式.

注3.2和文[16]相比,狀態(tài)變量(k)中沒有加入誤差向量e(k),這樣處理不僅減少擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的階數(shù),降低計算復(fù)雜度.

4.預(yù)見控制器的設(shè)計

針對擴(kuò)大誤差系統(tǒng)(3.10),本節(jié)分別設(shè)計狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器,分割代回原系統(tǒng)便得到帶有預(yù)見作用的狀態(tài)控制器和輸出控制器.

成立,則閉環(huán)系統(tǒng)(4.2)是漸近穩(wěn)定的,其中狀態(tài)反饋增益矩陣為K=YG-1,控制輸入為

證我們來證明: 對于閉環(huán)系統(tǒng)(4.2),如果定理4.1的條件成立,則引理2.3的條件也成立,從而由引理2.3可知定理4.1成立.

根據(jù)引理2.3,如果存在一個矩陣P ＞0和矩陣K,使得矩陣K矩陣P滿足

現(xiàn)在來研究系統(tǒng)(2.1)的帶有預(yù)見作用的狀態(tài)控制輸入.

當(dāng)假設(shè)A1,A2成立時,已經(jīng)求得系統(tǒng)(3.10)的控制輸入(4.1).對增益矩陣K進(jìn)行分解

由上式看出,系統(tǒng)(2.1)的帶有預(yù)見作用的控制器由4部分構(gòu)成: 第1部分為狀態(tài)變量反饋項(xiàng);第2部分為基于未來目標(biāo)值信號的預(yù)見前饋補(bǔ)償項(xiàng);第3部分是跟蹤誤差的積分;第4部分是關(guān)于初值和終值的補(bǔ)償.

考慮到系統(tǒng)(2.1)的觀測方程和目標(biāo)值信號r(k)的可預(yù)見性,針對形式系統(tǒng)(3.10),觀測方程取為

注4.2改寫后的輸出方程中包含了可預(yù)見目標(biāo)值信號的未來信息和離散積分器,這樣對系統(tǒng)(3.10)引入輸出反饋時,控制輸入帶有預(yù)見作用和積分器,實(shí)現(xiàn)改善閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤性能和消除靜態(tài)誤差的作用.

假設(shè)系統(tǒng)(3.10)的控制輸入為

那么當(dāng)控制輸入由(4.10)確定時,系統(tǒng)(3.10)的閉環(huán)系統(tǒng)為

定理4.2對于給定的參數(shù)β和矩陣Q,如果存在矩陣P ＞0和矩陣G,U及L使得

成立,則閉環(huán)系統(tǒng)(4.11)是漸近穩(wěn)定的,其中靜態(tài)輸出反饋增益矩陣為K=LU-1,控制輸入為

由上式看出,系統(tǒng)(2.1)的帶有預(yù)見作用的控制器由4部分構(gòu)成: 第1部分為輸出反饋項(xiàng);第2部分為基于未來目標(biāo)值信號的預(yù)見前饋補(bǔ)償項(xiàng);第3部分是跟蹤誤差的積分;第4部分是關(guān)于初值和終值的補(bǔ)償.

5.數(shù)值仿真

我們對目標(biāo)值信號的預(yù)見步數(shù)分別為MR=2和MR=6及目標(biāo)值信號沒有預(yù)見即MR=0三種情況進(jìn)行數(shù)值仿真.根據(jù)定理4.1,應(yīng)用MATLAB的LMI工具箱可求解出LMI(4.3)中的矩陣變量G和Y,則反饋矩陣K=YG-1自然就得到.

圖5.1給出了系統(tǒng)(2.1)的閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng),圖5.2是跟蹤誤差.可以看出在目標(biāo)值信號的預(yù)見步長為MR=6和MR=2及目標(biāo)值信號沒有預(yù)見即MR=0三種情況下,輸出信號都能準(zhǔn)確地跟蹤目標(biāo)值信號.但是隨著目標(biāo)值預(yù)見步長的增加,跟蹤誤差和輸入峰值在減小,而且閉環(huán)系統(tǒng)的輸出能更快跟蹤目標(biāo)值信號.這正是預(yù)見控制要達(dá)到的目的.

為了更好地研究預(yù)見補(bǔ)償對系統(tǒng)的跟蹤性能的效果,我們針對目標(biāo)值信號(5.2)就預(yù)見步數(shù)為MR=3和MR=1及目標(biāo)值信號沒有預(yù)見即MR=0這三種情況進(jìn)行數(shù)值仿真.圖5.3給出閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng),圖5.4是跟蹤誤差.從圖5.3和圖5.4可看出,針對所選定的目標(biāo)值信號,帶有預(yù)見作用的控制器的跟蹤效果明顯好于不帶預(yù)見作用的控制器的情況.而且隨著預(yù)見步數(shù)的增加(從MR=1到MR=3),超調(diào)量和跟蹤誤差都減少.

圖5.1 MR不相同時,閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)

圖5.2 MR不相同時,閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差

圖5.3 MR不相同時,閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)

圖5.4 MR不相同時,閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差

下面針對輸出反饋情況,取Q=CZ和β=1.我們針對以下三種情況進(jìn)行數(shù)值仿真：①M(fèi)R=6;②MR=2;③MR=0的情況進(jìn)行比較.

根據(jù)定理4.2,應(yīng)用MATLAB的LMI工具箱可求解出LMI(4.12)中的矩陣變量L和U,則反饋矩陣K=LU-1自然就得到.

作為例子,圖5.5 和圖5.6 表示預(yù)見步長為MR=0,MR=2和MR=6的輸出響應(yīng)和跟蹤誤差.通過比較采用預(yù)見控制和不采用預(yù)見控制兩種情形下的跟蹤曲線和相應(yīng)的誤差曲線,可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)采用預(yù)見控制時,超調(diào)量明顯減小了,而且可以更快地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).

同樣,對于給定形如目標(biāo)值信號(5.2)的情況,我們針對不同預(yù)見步長進(jìn)行了數(shù)值仿真.圖5.7表示在預(yù)見步數(shù)為MR=0,MR=1和MR=3時閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng).圖5.8是相應(yīng)的跟蹤誤差.從圖上看出,這三種情況的輸出都能很好的實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)值信號的跟蹤.然而不難看出MR=1和MR=3的跟蹤效果明顯好于不帶預(yù)見的情況.而且,隨著預(yù)見步長的增加,閉環(huán)系統(tǒng)能更加快速跟蹤目標(biāo)值信號.

圖5.5 MR不同時,閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)

圖5.6 MR不同時,閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤控制

圖5.7 MR不同時,閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)

圖5.8 MR不同時,閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差

6.結(jié)束語

本文研究了離散時間系統(tǒng)基于線性矩陣不等式的預(yù)見控制問題.首先利用系統(tǒng)狀態(tài)與輔助變量之差代替通常的狀態(tài)差分做法推導(dǎo)出擴(kuò)大誤差系統(tǒng),使得狀態(tài)變量中融合可預(yù)見的目標(biāo)值信號.然后,分別引入狀態(tài)反饋和輸出反饋,利用Lyapunov第二方法,給出了控制器存在的條件及設(shè)計方法,最后,通過求解一個LMI得到反饋增益矩陣.本文利用LMI理論來研究預(yù)見控制問題的方法是可以推廣到周期時變系統(tǒng)的預(yù)見控制問題中去.最后的仿真實(shí)例說明了本文控制器的有效性.