帶有指令濾波的板球系統(tǒng)反步滑?？刂频难芯?/h1>
2022-10-31 09:43:44孟圣鈞韓光信白淏文路瑩昕
吉林化工學(xué)院學(xué)報(bào) 2022年7期
孟圣鈞，韓光信*，白淏文，路瑩昕
(1.吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，吉林 吉林 132022；2.中國(guó)電子科技集團(tuán) 第十一研究所，北京 100020)
板球系統(tǒng)是欠驅(qū)動(dòng)的高階非線性系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)其軌跡跟蹤控制的研究為實(shí)際生產(chǎn)起到了理論指導(dǎo)的作用[1].目前，對(duì)于板球系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題，主要方法是依據(jù)板球系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型或動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)滑模控制、自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制等控制方法設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器[2-11]，圍繞著小球做定點(diǎn)、曲線運(yùn)動(dòng)而展開的系統(tǒng)魯棒性研究.滑?？刂谱鳛橐环N常見的非線性控制策略，對(duì)模型的內(nèi)部特性以及外部擾動(dòng)不敏感，可應(yīng)用于板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制中[2-5].文獻(xiàn)[2]提出一種基于視覺伺服控制的軌跡跟蹤方案，通過(guò)設(shè)計(jì)滑?？刂破魇瓜到y(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性.但忽略了滑?？刂茖?dǎo)致的系統(tǒng)抖動(dòng)現(xiàn)象，降低軌跡跟蹤精度.文獻(xiàn)[3]研究了反演自適應(yīng)動(dòng)態(tài)滑?？刂品椒?，通過(guò)設(shè)計(jì)新的切換函數(shù)，有效解決了傳統(tǒng)滑模的抖振問(wèn)題，但軌跡跟蹤誤差較大.文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)出非線性自適應(yīng)滑模控制器，提高了軌跡跟蹤精度.但是，當(dāng)球參數(shù)未知時(shí)，軌跡跟蹤精度有待提高，難以適用這種方法.文獻(xiàn)[5]采用結(jié)合系數(shù)的自適應(yīng)解耦模糊滑模控制器設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了板球系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，避免了復(fù)雜的計(jì)算，但其滑模表面的系數(shù)問(wèn)題有待進(jìn)一步更合理地解決，而且小球的速度越大，誤差越大.以上方法均是針對(duì)滑?？刂浦杏龅降亩墩瘛?shù)變化影響軌跡跟蹤控制等問(wèn)題，提出相應(yīng)的控制解決方案.文獻(xiàn)[6-8]利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，結(jié)合PID控制器在板球系統(tǒng)上完成方形軌跡跟蹤控制和定位控制.其中，文獻(xiàn)[6-7]采用LM算法替代梯度下降法整定PID控制參數(shù)，分實(shí)現(xiàn)RBF-PID控制的優(yōu)化；文獻(xiàn)[8]采用遺傳算法優(yōu)化PID參數(shù)，加強(qiáng)了系統(tǒng)控制的實(shí)時(shí)性.文獻(xiàn)[9]提出一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)H∞控制方法，避免了backstepping方法的計(jì)算復(fù)雜性.文獻(xiàn)[6-9]控制方案在一定程度上降低軌跡的震蕩幅度，但跟蹤精度有待提高.文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一種基于變論域模糊控制算法，改善了控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì).文獻(xiàn)[11]引入蟻群算法，研究了基于蟻群優(yōu)化的直接自適應(yīng)模糊滑?？刂品桨?，相比于文獻(xiàn)[3-10]提高了軌跡跟蹤精度.
板球系統(tǒng)通過(guò)電機(jī)控制驅(qū)動(dòng)軸，進(jìn)而控制平板上的小球運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)小球的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、軌跡跟蹤運(yùn)動(dòng)以及繞障運(yùn)動(dòng)，其快速高精準(zhǔn)軌跡跟蹤控制已成為當(dāng)前研究的重難點(diǎn).板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制目標(biāo)是：在預(yù)定的控制動(dòng)態(tài)品質(zhì)下，讓小球在復(fù)雜多變的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景中，能夠按照參考軌跡完成高精準(zhǔn)跟蹤控制.本文針對(duì)板球系統(tǒng)受到的未知擾動(dòng)影響軌跡跟蹤性能這一問(wèn)題，選取合適的滑模控制規(guī)律保證系統(tǒng)的快速跟蹤性能和穩(wěn)定性能，對(duì)滑模控制中出現(xiàn)的抖振現(xiàn)象以及小球位置信息提取過(guò)程中受到的干擾問(wèn)題，將帶有指令濾波功能的反步控制算法與滑模控制算法相結(jié)合，設(shè)計(jì)帶有指令濾波的反步滑?？刂破?，實(shí)現(xiàn)板球系統(tǒng)的高精準(zhǔn)軌跡跟蹤控制.仿真實(shí)驗(yàn)表明，該控制方案在抑制系統(tǒng)擾動(dòng)和消除抖振現(xiàn)象的同時(shí)，能夠使小球快速、精準(zhǔn)地跟蹤預(yù)定曲線，使小球的軌跡跟蹤誤差不斷收斂于零.
1 板球系統(tǒng)建模和控制方案問(wèn)題描述
1.1 板球系統(tǒng)建模描述
板球系統(tǒng)有兩個(gè)對(duì)稱的X,Y軸子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)有4個(gè)自由度，分別是小球的位移和速度、平板的轉(zhuǎn)角和角速度，板球系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖1所示.
本文在不影響系統(tǒng)性能的建模過(guò)程中，小球的滑動(dòng)摩擦力和滾動(dòng)摩擦力記為零，假設(shè)小球在平板上只有滾動(dòng)且不會(huì)脫離平板，且平板的轉(zhuǎn)角緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)(一般不超過(guò)±5°).在平衡點(diǎn)xe=0處，分別在X,Y軸方向上對(duì)板球系統(tǒng)解耦、線性化后，利用拉格朗日方程建立板球系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)計(jì)算、簡(jiǎn)化后可得板球系統(tǒng)X,Y軸方向的狀態(tài)方程為[12]：
(1)
其中，x1,x2,x3,x4和x5,x6,x7,x8分別為板球系統(tǒng)X,Y軸子系統(tǒng)小球的位移和速度、平板的轉(zhuǎn)角和角速度.g表示重力加速度，系數(shù)k=m/(m+Jb/R2)，m表示小球質(zhì)量，R表示小球半徑，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jb=2mR2/5，ux,uy分別表示板球系統(tǒng)X,Y軸的控制輸入.wx,wy分別表示板球系統(tǒng)X,Y軸受到的未知擾動(dòng).y1,y2分別表示板球系統(tǒng)X,Y軸小球的位置輸出.
1.2 基于指令濾波的反步滑?？刂品桨?/h3>
由于小球在平板上的運(yùn)動(dòng)不受約束，當(dāng)小球以較大的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，攝像頭采集小球的位置信息存在滯后現(xiàn)象，且小球X、Y兩軸耦合性強(qiáng).其次，小球自身的滾動(dòng)摩擦、與平板之間的滑動(dòng)摩擦以及外界不確定擾動(dòng)等因素，都會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.為實(shí)現(xiàn)高精準(zhǔn)的軌跡跟蹤控制，本文基于滑?？刂圃?，依據(jù)系統(tǒng)跟蹤誤差設(shè)計(jì)滑模面，求得控制規(guī)律.進(jìn)而引入二階指令濾波器，濾除系統(tǒng)存在的量測(cè)噪聲干擾，將反步法和滑?？刂品椒ǖ膬?yōu)勢(shì)相結(jié)合，提出了反步滑?？刂撇呗裕朔嘶？刂破鳟a(chǎn)生的抖振問(wèn)題[2]，有效地抑制了系統(tǒng)受到的干擾，以增強(qiáng)系統(tǒng)的可靠性.基于指令濾波的板球系統(tǒng)X軸反步滑?？刂品桨溉鐖D2所示.Y軸設(shè)計(jì)方案參考X軸.
2 控制器設(shè)計(jì)及閉環(huán)穩(wěn)定性分析
2.1 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
滑模控制的主要思想是基于“滑動(dòng)模態(tài)”運(yùn)動(dòng)，利用控制的不連續(xù)性使得系統(tǒng)在一定的條件下沿著預(yù)定的軌跡運(yùn)動(dòng)，對(duì)于由板球系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不確定性、參數(shù)不確定性以及外界未知干擾等因素引起的擾動(dòng)具有良好的魯棒性，進(jìn)而滿足板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制性能要求.本文設(shè)計(jì)的滑?？刂埔?guī)律包括等效控制律和切換控制律兩部分.因板球系統(tǒng)X,Y軸對(duì)稱分布，Y軸方向的子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)參考X軸.
根據(jù)式(1) X軸子系統(tǒng)選取誤差方程：
(2)
其中，y0x為板球系統(tǒng)X軸方向輸入信號(hào).定義滑模切換函數(shù)：
s=b1e1+b2e2+b3e3+e4,
(3)
其中，常數(shù)bi>0(i=1,2,3).結(jié)合式(2)，對(duì)式(3)求導(dǎo)后可得：
(4)
(5)
當(dāng)板球系統(tǒng)受到未知擾動(dòng)wx時(shí)，滑?？刂坡稍诘刃Э刂频幕A(chǔ)上還要考慮切換控制uwx來(lái)調(diào)節(jié)滑模運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，提高系統(tǒng)克服未知擾動(dòng)的能力.本文選擇指數(shù)趨近律作為切換控制的主要組成部分[13]:
(6)
uwx=ηsgn(s)+λs,
(7)
結(jié)合式(5)和(7)可得總滑?？刂埔?guī)律為：
u1x=ueq+uwx.
(8)
2.2 帶指令濾波的誤差反步控制器設(shè)計(jì)
為了緩解外界未知擾動(dòng)對(duì)小球反饋狀態(tài)變量位置、速度的影響，本文針對(duì)誤差反步控制律的狀態(tài)量引入二階指令濾波器，通過(guò)對(duì)小球位置和速度進(jìn)行濾波處理，提高系統(tǒng)軌跡跟蹤精度，抑制滑?？刂破鞯亩墩瘳F(xiàn)象，進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.以板球系統(tǒng)X軸方向?yàn)槔O(shè)計(jì)帶指令濾波的誤差反步控制器，Y軸方向設(shè)計(jì)參考X軸.引入二階指令濾波器如下[14-15]：
(9)
其中，ξ為阻尼比，ωn為無(wú)阻尼自然頻率.
結(jié)合式(1)中X軸方向子系統(tǒng)和式(9)，構(gòu)建帶有二階指令濾波的復(fù)合系統(tǒng)為：
(10)
結(jié)合式(10)，定義系統(tǒng)偏差：
(11)
其中，e01=e1為小球位置誤差;e02、e03、e04分別表示廣義上的小球速度誤差、平板轉(zhuǎn)角誤差和角速度誤差；α1、α2、α3為虛擬函數(shù)，在后面進(jìn)行定義.
結(jié)合式(10)，對(duì)式(11)中e01進(jìn)行求導(dǎo)：
(12)
(13)
定義虛擬函數(shù)α1：
α1=-c1e01(c1>0的常數(shù)),
(14)
代入式(13)得：
(15)
(16)
通過(guò)式(16)定義虛擬函數(shù)α2：
(17)
代入式(16)得：
(18)
(19)
通過(guò)式(19)定義虛擬函數(shù)α3：
(20)
代入式(19)得：
(21)
(22)
選取控制規(guī)律u0x：
(23)
結(jié)合式(10)、(11)、(12)、(14)、(17)、(20)，化簡(jiǎn)式(23)，可得帶指令濾波的誤差反步控制器為：
(24)
其中，f1=c1+c2+c3+c4，f2=c1c2+c1c3+c1c4，f3=c2c3+c2c4+c3c4，
結(jié)合式(8)和式(24)可得反步滑?？刂埔?guī)律為ux=u0x+u1x.
(25)
2.3 穩(wěn)定性分析
板球系統(tǒng)式(1)穩(wěn)定性與輸入和擾動(dòng)無(wú)關(guān)[17]，在X軸方向子系統(tǒng)中可令ux=0,wx=0，選取Lyapunov方程V5(x)=xTp1x(p1為實(shí)對(duì)稱矩陣)，求導(dǎo)得：
(26)
則式(1)中的X軸子系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.
(27)
此時(shí)，滑模控制系統(tǒng)能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).
結(jié)合式(15)、(18)、(19)、(22)、(26)和式(27)，可知：
(28)
那么，板球系統(tǒng)X軸方向閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，同理可證Y軸方向閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則基于指令濾波的反步滑?？刂葡到y(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.
3 仿真結(jié)果分析
(27)
圖3～5分別為反步滑?？刂频能壽E跟蹤曲線、X,Y軸跟蹤誤差響應(yīng)曲線和控制器輸出曲線.作為對(duì)比，圖6～8給出了增量PID滑?？刂葡碌能壽E跟蹤曲線、X,Y軸跟蹤誤差響應(yīng)曲線和控制器輸出曲線.
對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，反步滑?？刂芚,Y軸跟蹤誤差絕對(duì)值的平均值分別為0.27 mm和0.233 mm；增量PID滑模控制X,Y軸跟蹤誤差絕對(duì)值的平均值分別為1.6 mm和2.13 mm.帶指令濾波的反步滑?？刂颇軌蛟陬A(yù)設(shè)的調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)2 s左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而增量PID滑?？刂拼蠹s20 s左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，全程帶有抖振現(xiàn)象.當(dāng)系統(tǒng)受到同樣的外界未知干擾時(shí)，本文所提出的控制方案能夠迅速克服擾動(dòng)，保持較高的軌跡跟蹤精度，魯棒性強(qiáng).
4 結(jié) 論
本文針對(duì)系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，研究了帶有二階指令濾波器的反步滑?？刂品桨?在滑?？刂七^(guò)程中，結(jié)合等效控制律和切換控制律設(shè)計(jì)控制器，使得系統(tǒng)能夠按照“滑動(dòng)模態(tài)”進(jìn)行軌跡跟蹤運(yùn)動(dòng).同時(shí)，采用反步法抑制系統(tǒng)的抖動(dòng)，確保系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定.仿真結(jié)果驗(yàn)證，該控制算法有效地克服了滑?？刂频亩墩駟?wèn)題，使小球在預(yù)設(shè)時(shí)間內(nèi)快速達(dá)到穩(wěn)定跟蹤狀態(tài)，提高了系統(tǒng)控制性能.
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板球系統(tǒng)通過(guò)電機(jī)控制驅(qū)動(dòng)軸，進(jìn)而控制平板上的小球運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)小球的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、軌跡跟蹤運(yùn)動(dòng)以及繞障運(yùn)動(dòng)，其快速高精準(zhǔn)軌跡跟蹤控制已成為當(dāng)前研究的重難點(diǎn).板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制目標(biāo)是：在預(yù)定的控制動(dòng)態(tài)品質(zhì)下，讓小球在復(fù)雜多變的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景中，能夠按照參考軌跡完成高精準(zhǔn)跟蹤控制.本文針對(duì)板球系統(tǒng)受到的未知擾動(dòng)影響軌跡跟蹤性能這一問(wèn)題，選取合適的滑模控制規(guī)律保證系統(tǒng)的快速跟蹤性能和穩(wěn)定性能，對(duì)滑模控制中出現(xiàn)的抖振現(xiàn)象以及小球位置信息提取過(guò)程中受到的干擾問(wèn)題，將帶有指令濾波功能的反步控制算法與滑模控制算法相結(jié)合，設(shè)計(jì)帶有指令濾波的反步滑?？刂破?，實(shí)現(xiàn)板球系統(tǒng)的高精準(zhǔn)軌跡跟蹤控制.仿真實(shí)驗(yàn)表明，該控制方案在抑制系統(tǒng)擾動(dòng)和消除抖振現(xiàn)象的同時(shí)，能夠使小球快速、精準(zhǔn)地跟蹤預(yù)定曲線，使小球的軌跡跟蹤誤差不斷收斂于零.
1 板球系統(tǒng)建模和控制方案問(wèn)題描述
1.1 板球系統(tǒng)建模描述
板球系統(tǒng)有兩個(gè)對(duì)稱的X,Y軸子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)有4個(gè)自由度，分別是小球的位移和速度、平板的轉(zhuǎn)角和角速度，板球系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖1所示.
本文在不影響系統(tǒng)性能的建模過(guò)程中，小球的滑動(dòng)摩擦力和滾動(dòng)摩擦力記為零，假設(shè)小球在平板上只有滾動(dòng)且不會(huì)脫離平板，且平板的轉(zhuǎn)角緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)(一般不超過(guò)±5°).在平衡點(diǎn)xe=0處，分別在X,Y軸方向上對(duì)板球系統(tǒng)解耦、線性化后，利用拉格朗日方程建立板球系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)計(jì)算、簡(jiǎn)化后可得板球系統(tǒng)X,Y軸方向的狀態(tài)方程為[12]：
(1)
其中，x1,x2,x3,x4和x5,x6,x7,x8分別為板球系統(tǒng)X,Y軸子系統(tǒng)小球的位移和速度、平板的轉(zhuǎn)角和角速度.g表示重力加速度，系數(shù)k=m/(m+Jb/R2)，m表示小球質(zhì)量，R表示小球半徑，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jb=2mR2/5，ux,uy分別表示板球系統(tǒng)X,Y軸的控制輸入.wx,wy分別表示板球系統(tǒng)X,Y軸受到的未知擾動(dòng).y1,y2分別表示板球系統(tǒng)X,Y軸小球的位置輸出.
1.2 基于指令濾波的反步滑?？刂品桨?/h3>
由于小球在平板上的運(yùn)動(dòng)不受約束，當(dāng)小球以較大的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，攝像頭采集小球的位置信息存在滯后現(xiàn)象，且小球X、Y兩軸耦合性強(qiáng).其次，小球自身的滾動(dòng)摩擦、與平板之間的滑動(dòng)摩擦以及外界不確定擾動(dòng)等因素，都會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.為實(shí)現(xiàn)高精準(zhǔn)的軌跡跟蹤控制，本文基于滑?？刂圃?，依據(jù)系統(tǒng)跟蹤誤差設(shè)計(jì)滑模面，求得控制規(guī)律.進(jìn)而引入二階指令濾波器，濾除系統(tǒng)存在的量測(cè)噪聲干擾，將反步法和滑?？刂品椒ǖ膬?yōu)勢(shì)相結(jié)合，提出了反步滑?？刂撇呗裕朔嘶？刂破鳟a(chǎn)生的抖振問(wèn)題[2]，有效地抑制了系統(tǒng)受到的干擾，以增強(qiáng)系統(tǒng)的可靠性.基于指令濾波的板球系統(tǒng)X軸反步滑?？刂品桨溉鐖D2所示.Y軸設(shè)計(jì)方案參考X軸.
2 控制器設(shè)計(jì)及閉環(huán)穩(wěn)定性分析
2.1 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
滑模控制的主要思想是基于“滑動(dòng)模態(tài)”運(yùn)動(dòng)，利用控制的不連續(xù)性使得系統(tǒng)在一定的條件下沿著預(yù)定的軌跡運(yùn)動(dòng)，對(duì)于由板球系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不確定性、參數(shù)不確定性以及外界未知干擾等因素引起的擾動(dòng)具有良好的魯棒性，進(jìn)而滿足板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制性能要求.本文設(shè)計(jì)的滑?？刂埔?guī)律包括等效控制律和切換控制律兩部分.因板球系統(tǒng)X,Y軸對(duì)稱分布，Y軸方向的子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)參考X軸.
根據(jù)式(1) X軸子系統(tǒng)選取誤差方程：
(2)
其中，y0x為板球系統(tǒng)X軸方向輸入信號(hào).定義滑模切換函數(shù)：
s=b1e1+b2e2+b3e3+e4,
(3)
其中，常數(shù)bi>0(i=1,2,3).結(jié)合式(2)，對(duì)式(3)求導(dǎo)后可得：
(4)
(5)
當(dāng)板球系統(tǒng)受到未知擾動(dòng)wx時(shí)，滑?？刂坡稍诘刃Э刂频幕A(chǔ)上還要考慮切換控制uwx來(lái)調(diào)節(jié)滑模運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，提高系統(tǒng)克服未知擾動(dòng)的能力.本文選擇指數(shù)趨近律作為切換控制的主要組成部分[13]:
(6)
uwx=ηsgn(s)+λs,
(7)
結(jié)合式(5)和(7)可得總滑?？刂埔?guī)律為：
u1x=ueq+uwx.
(8)
2.2 帶指令濾波的誤差反步控制器設(shè)計(jì)
為了緩解外界未知擾動(dòng)對(duì)小球反饋狀態(tài)變量位置、速度的影響，本文針對(duì)誤差反步控制律的狀態(tài)量引入二階指令濾波器，通過(guò)對(duì)小球位置和速度進(jìn)行濾波處理，提高系統(tǒng)軌跡跟蹤精度，抑制滑?？刂破鞯亩墩瘳F(xiàn)象，進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.以板球系統(tǒng)X軸方向?yàn)槔O(shè)計(jì)帶指令濾波的誤差反步控制器，Y軸方向設(shè)計(jì)參考X軸.引入二階指令濾波器如下[14-15]：
(9)
其中，ξ為阻尼比，ωn為無(wú)阻尼自然頻率.
結(jié)合式(1)中X軸方向子系統(tǒng)和式(9)，構(gòu)建帶有二階指令濾波的復(fù)合系統(tǒng)為：
(10)
結(jié)合式(10)，定義系統(tǒng)偏差：
(11)
其中，e01=e1為小球位置誤差;e02、e03、e04分別表示廣義上的小球速度誤差、平板轉(zhuǎn)角誤差和角速度誤差；α1、α2、α3為虛擬函數(shù)，在后面進(jìn)行定義.
結(jié)合式(10)，對(duì)式(11)中e01進(jìn)行求導(dǎo)：
(12)
(13)
定義虛擬函數(shù)α1：
α1=-c1e01(c1>0的常數(shù)),
(14)
代入式(13)得：
(15)
(16)
通過(guò)式(16)定義虛擬函數(shù)α2：
(17)
代入式(16)得：
(18)
(19)
通過(guò)式(19)定義虛擬函數(shù)α3：
(20)
代入式(19)得：
(21)
(22)
選取控制規(guī)律u0x：
(23)
結(jié)合式(10)、(11)、(12)、(14)、(17)、(20)，化簡(jiǎn)式(23)，可得帶指令濾波的誤差反步控制器為：
(24)
其中，f1=c1+c2+c3+c4，f2=c1c2+c1c3+c1c4，f3=c2c3+c2c4+c3c4，
結(jié)合式(8)和式(24)可得反步滑?？刂埔?guī)律為ux=u0x+u1x.
(25)
2.3 穩(wěn)定性分析
板球系統(tǒng)式(1)穩(wěn)定性與輸入和擾動(dòng)無(wú)關(guān)[17]，在X軸方向子系統(tǒng)中可令ux=0,wx=0，選取Lyapunov方程V5(x)=xTp1x(p1為實(shí)對(duì)稱矩陣)，求導(dǎo)得：
(26)
則式(1)中的X軸子系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.
(27)
此時(shí)，滑模控制系統(tǒng)能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).
結(jié)合式(15)、(18)、(19)、(22)、(26)和式(27)，可知：
(28)
那么，板球系統(tǒng)X軸方向閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，同理可證Y軸方向閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則基于指令濾波的反步滑?？刂葡到y(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.
3 仿真結(jié)果分析
(27)
圖3～5分別為反步滑?？刂频能壽E跟蹤曲線、X,Y軸跟蹤誤差響應(yīng)曲線和控制器輸出曲線.作為對(duì)比，圖6～8給出了增量PID滑?？刂葡碌能壽E跟蹤曲線、X,Y軸跟蹤誤差響應(yīng)曲線和控制器輸出曲線.
對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，反步滑?？刂芚,Y軸跟蹤誤差絕對(duì)值的平均值分別為0.27 mm和0.233 mm；增量PID滑模控制X,Y軸跟蹤誤差絕對(duì)值的平均值分別為1.6 mm和2.13 mm.帶指令濾波的反步滑?？刂颇軌蛟陬A(yù)設(shè)的調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)2 s左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而增量PID滑?？刂拼蠹s20 s左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，全程帶有抖振現(xiàn)象.當(dāng)系統(tǒng)受到同樣的外界未知干擾時(shí)，本文所提出的控制方案能夠迅速克服擾動(dòng)，保持較高的軌跡跟蹤精度，魯棒性強(qiáng).
4 結(jié) 論
本文針對(duì)系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，研究了帶有二階指令濾波器的反步滑?？刂品桨?在滑?？刂七^(guò)程中，結(jié)合等效控制律和切換控制律設(shè)計(jì)控制器，使得系統(tǒng)能夠按照“滑動(dòng)模態(tài)”進(jìn)行軌跡跟蹤運(yùn)動(dòng).同時(shí)，采用反步法抑制系統(tǒng)的抖動(dòng)，確保系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定.仿真結(jié)果驗(yàn)證，該控制算法有效地克服了滑?？刂频亩墩駟?wèn)題，使小球在預(yù)設(shè)時(shí)間內(nèi)快速達(dá)到穩(wěn)定跟蹤狀態(tài)，提高了系統(tǒng)控制性能.
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