基于子域法的雙勵磁雙調制軸向式磁場調制永磁齒輪磁場分析

葛研軍 劉 放 王大明 馬雪祺 于 涵

大連交通大學機械工程學院，大連，116028

0 引言

磁場調制永磁齒輪(field modulated permanent magnetic gears，FMPMG)是一種新型傳動裝置，在風力渦輪機[1]、船舶推進系統(tǒng)[2]等應用場合都具有傳統(tǒng)機械齒輪不可替代的優(yōu)勢。FMPMG具有永磁體利用率高、電磁轉矩大及自動過載保護等優(yōu)點。FMPMG可分為徑向式FMPMG(radial FMPMG，RFMPMG)及軸向式(axial FMPMG，AFMPMG)兩種結構[3]。

RFMPMG具有結構緊湊、傳動效率高等優(yōu)點[4]，但由于該裝置有三層轉子、兩層氣隙，且調磁極塊結構復雜，因而其樣機制造困難，目前鮮有應用；而AFMPMG無需精確對中，且調磁極塊結構簡單，軸向距離小[5]，樣機制造容易，易于應用于生產實際中。

AFMPMG的主要缺點是軸向及切向磁路不封閉，存在較嚴重漏磁，導致其轉矩密度偏低(一般不大于70 kN·m/m3)。為此本文提出一種雙勵磁、雙調制的AFMPMG結構(dual-excitation modulation AFMPMG，DEM-AFMPMG)。DEM-AFMPMG在AFMPMG基礎上增加了一個調磁環(huán)，使低速永磁轉子同時受到兩個調磁環(huán)的雙向調制作用，增加的調磁環(huán)可將AFMPMG氣隙中的漏磁通轉化為有效諧波并再次作用在低速永磁轉子上，進一步提高了低速永磁體的利用率，增大其輸出轉矩及轉矩密度。經3D有限元計算，DEM-AFMPMG轉矩密度可高達130 kN·m/m3以上，約為現有AFMPMG的1.9倍。

另外，現有AFMPMG的氣隙磁通密度及電磁轉矩一般采用3D有限元方法計算,與2D有限元相比，3D有限元雖然計算精度高，但計算速度慢，需耗費大量計算機資源[6-7]。為此，本文提出一種基于子域法計算DEM-AFMPMG氣隙磁場及電磁轉矩的模型。與3D有限元法相比，本文方法計算速度快且耗時少。

1 DEM-AFMPMG結構分析

圖1所示為現有AFMPMG的機械結構,其工作原理如下：當AFMPMG調磁極塊數目為高速永磁轉子與低速永磁轉子磁極對數之和時，調磁環(huán)可對高速永磁轉子和低速永磁轉子形成的氣隙磁場進行調制[8]，使磁極對數不同的高速/低速永磁轉子形成磁場耦合，進而傳遞轉速和轉矩。

圖1 AFMPMG機械結構Fig.1 Mechanical structure of AFMPMG

由圖1可知，AFMPMG的軸向磁路較長，磁通線由高速永磁轉子穿過調磁環(huán)到達低速永磁轉子時的磁阻較大，使軸向及切向的端部磁路較難封閉，導致漏磁及磁損耗增大，永磁體利用率較低，所傳遞的轉矩及運行效率也偏低。

為減小AFMPMG漏磁及磁損耗，筆者在圖1所示AFMPMG低速轉子的右側再增加一個圖2所示的調磁環(huán)(以下稱外調磁環(huán))，此時原有調磁環(huán)仍處在高速永磁轉子與低速永磁轉子之間(以下稱內調磁環(huán))。

圖2 DEM-AFMPMG機械結構Fig.2 Mechanical structure of DEM-AFMPMG

由圖2可知，外調磁環(huán)的引入使低速永磁轉子夾在內、外兩個調磁環(huán)之間，減小了內、外調磁環(huán)調制磁通線時的磁阻，使更多磁通線穿過低速永磁轉子，提高了低速永磁體利用率；另外，外調磁環(huán)的引入還將AFMPMG軸向漏磁通調制轉化為有用諧波，并再次作用在低速永磁轉子上，較好地解決了AFMPMG漏磁大、轉矩密度及傳動效率低等問題。

2 基于子域法建立DEM-AFMPMG的2D解析模型

2.1 模型假設

為方便分析，設圖2所示DEM-AFMPMG所有轉子的內、外半徑均相等；另外，為使內、外調磁環(huán)達到相同的調制效果，令內調磁極塊、外調磁極塊結構相同且數量相等。

若設DEM-AFMPMG高速永磁轉子與低速永磁轉子的磁極對數分別為ph及pl，各轉子的內、外半徑及平均半徑均為R1、R2及Rm，內、外調磁極塊數均為N，即

(1)

將圖2所示模型在Rm處展開，可得圖3所示的DEM-AFMPMG 2D解析模型。

圖3 DEM-AFMPMG 2D解析模型Fig.3 2D analytical model of DEM-AFMPMG

2.2 子域劃分

將圖3所示的DEM-AFMPMG 模型劃分為7個區(qū)域。其中，Ⅰ為高速轉子永磁體區(qū)域；Ⅱ為高速側氣隙區(qū)域；Ⅲ為內調磁環(huán)區(qū)域；Ⅳ為低速側內氣隙區(qū)域；Ⅴ為低速轉子永磁體區(qū)域；Ⅵ為低速側外氣隙區(qū)域；Ⅶ為外調磁環(huán)區(qū)域。

圖3所示模型為恒定磁場，其磁矢位應滿足泊松方程或拉普拉斯方程，因此，圖3中的有源磁動勢可采用泊松方程求解，而無源磁動勢則采用拉普拉斯方程求解。

在區(qū)域Ⅰ和Ⅴ中應用泊松方程，有

2A=-μ0j

(2)

式中，A為磁動勢;μ0為真空磁導率；j為磁化電流密度。

在區(qū)域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ和Ⅶ中應用拉普拉斯方程，有

2A=0

(3)

軸向及切向氣隙磁通密度可分別表達為[9]

(4)

(5)

3 氣隙磁場及電磁轉矩理論計算

3.1 區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅴ氣隙磁通密度計算

區(qū)域Ⅰ中應用泊松方程，有

(6)

0≤z≤z10≤θ≤2π

式中，Mz為軸向磁化強度。

Mz可通過傅里葉變換得到：

(7)

(8)

式中，δh為高速永磁轉子初始相位角；Mn為磁極化強度,n=1,2，…；Br為永磁體剩磁；αh為高速永磁體極弧比。

由于z=0處磁場切向分量為零，加之軸向磁場分量具有連續(xù)性，因此可得邊界條件：

AⅠ(θ,z1)=AⅡ(θ,z1)

(9)

將式(7)和式(8)代入式(6)，根據邊界條件式(9)可獲得區(qū)域Ⅰ的磁動勢AⅠ，進而可通過式(4)及式(5)獲得區(qū)域Ⅰ的軸向氣隙磁通密度BⅠz(θ,z)和切向氣隙磁通密度BⅠθ(θ,z)：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

m=1，3，5…

同理，可求得區(qū)域Ⅴ磁動勢AⅤ、軸向氣隙磁通密度分量BⅤz(θ,z)和切向氣隙磁通密度分量BⅤθ(θ,z)。

3.2 區(qū)域Ⅱ、區(qū)域Ⅳ和區(qū)域Ⅵ氣隙磁通密度計算

區(qū)域Ⅱ中應用拉普拉斯方程，有

(19)

z1≤z≤z20≤θ≤2π

由于z=z2處調磁極塊與氣隙區(qū)域邊界之間的磁場具有連續(xù)性，其他位置切向磁場均為0，因此有

(20)

z=z1處的切向磁場也具有連續(xù)性，因此其邊界條件為

(21)

將式(20)及式(21)的偏微分方程解代入式(19)中可得區(qū)域Ⅱ的磁動勢AⅡ，進而根據式(4)和式(5)獲得區(qū)域Ⅱ的軸向氣隙磁通密度BⅡz(θ,z)及切向氣隙磁通密度BⅡθ(θ,z)：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

同理，可求得區(qū)域Ⅳ的磁動勢AⅣ及區(qū)域Ⅵ的磁動勢AⅥ、區(qū)域Ⅳ的軸向氣隙磁通密度BⅣz(θ,z)及切向氣隙磁通密度BⅣθ(θ,z)、區(qū)域Ⅵ的軸向氣隙磁通密度BⅥz(θ,z)及切向氣隙磁通密度BⅥθ(θ,z)。

3.3 區(qū)域Ⅲ和區(qū)域Ⅶ氣隙磁通密度計算

區(qū)域Ⅲ中應用拉普拉斯方程，有

(32)

z2≤z≤z3θi≤θ≤θi+β

與空氣隙相比，調磁極塊的磁導率為無窮大，其兩側的磁場切向分量為0，因此邊界條件為

(33)

由于調磁極塊兩側與氣隙之間的磁場也具有連續(xù)性，故有

(34)

應用分離變量法將邊界條件式(33)及式(34)分別代入式(32)中，可得區(qū)域Ⅲ的磁動勢AⅢ，進而根據式(4)和式(5)獲得區(qū)域Ⅲ的軸向氣隙磁通密度BⅢz(θ,z)及切向氣隙磁通密度BⅢθ(θ,z)：

(35)

(36)

k=1,2,3,…

(37)

(38)

(39)

(40)

同理，可求得區(qū)域Ⅶ磁動勢AⅦ、軸向氣隙磁通密度BⅦz(θ,z)和切向氣隙磁通密度BⅦθ(θ,z)。

求出DEM-AFMPMG 7個子區(qū)域的軸向及切向氣隙磁通密度后，即可基于麥克斯韋應力張量法得到DEM-AFMPMG電磁轉矩：

(41)

(42)

(43)

式中，L為DEM-AFMPMG的軸向總長度，即L=z8-z0;TA為圖3中區(qū)域Ⅱ及區(qū)域Ⅳ內調磁環(huán)所形成的電磁轉矩，其作用方式、作用機理及轉矩大小均與現有的AFMPMG相同；TD為圖3中區(qū)域Ⅵ外調磁環(huán)所形成的電磁轉矩。

因此，由式(41)可知：DEM-AFMPMG所形成的電磁轉矩由兩部分組成，其中內調磁環(huán)形成AFMPMG模式轉矩TA，而外調磁環(huán)則形成DEM-AFMPMG模式轉矩TD，即在AFMPMG基礎上，DEM-AFMPMG又增加了一個附加轉矩TD。

由式(41)還可知:T與BⅡz(θ,z)、BⅡθ(θ,z)、BⅣz(θ,z)、BⅣθ(θ,z)、BⅥz(θ,z)、BⅥθ(θ,z)均有關，說明圖2(或圖3)所示的內調磁環(huán)、外調磁環(huán)均對DEM-AFMPMG有調制作用，且外調磁環(huán)的引入，使式(41)中含有BⅥz(θ,z)與BⅥθ(θ,z)的乘積項，有效提高了DEM-AFMPMG電磁轉矩T及轉矩密度。

4 理論值與有限元值結果比較

表1所示為DEM-AFMPMG相關結構參數。表1中，永磁體材料牌號為NdFe35，充磁方向為軸向；軛鐵材料為Q235。

表1 DEM-AFMPMG結構參數

4.1 氣隙磁通密度

DEM-AFMPMG主要包括軸向和切向氣隙磁通密度，其中軸向氣隙磁通密度對電磁轉矩影響最大。

基于表1所示結構參數建立圖2所示的DEM-AFMPMG有限元模型，并分別對高速側和低速側氣隙進行3D有限元波形掃描，獲得圖4所示DEM-AFMPMG 軸向氣隙的有限元磁通密度波形。同時，基于式(22)和式(23)獲得圖4所示的DEM-AFMPMG 軸向氣隙的理論計算磁通密度波形。

(a)DEM-AFMPMG高速側氣隙

(b)DEM-AFMPMG低速側內氣隙

(c)DEM-AFMPMG低速側外氣隙圖4 DEM-AFMPMG氣隙磁通密度Fig.4 Air-gap magnetic tightness of DEM-AFMPMG

圖4中，3D有限元的永磁體掃描半徑為50～105 mm；掃描間距為1 mm；掃描角度為0～360°。由圖可知，3D有限元計算結果與本文所建模型的理論解基本一致。其中，圖4a所示的高速側氣隙磁場共有8個主波形，38個諧波形，分別與高速及低速永磁轉子磁極對數相匹配；圖4b及圖4c所示的低速側內外氣隙磁場均為38個諧波形，與低速永磁轉子磁極對數相等，說明內調磁環(huán)、外調磁環(huán)對高速及低速永磁轉子調制正確，并形成所需的傳動比傳遞轉速及轉矩。

另外，圖4中的3D有限元高速側氣隙磁通密度為-1.53～1.53 T，低速側內氣隙磁通密度、外氣隙磁通密度分別為-1.60～1.65 T和-1.72～1.74 T；而理論計算的高速側氣隙磁通密度為-1.50～1.53 T，低速側內氣隙磁通密度、外氣隙磁通密度分別為-1.60～1.64 T和-1.71～1.71 T，與3D有限元結果之間的誤差不大于5%，說明本文所建模型準確度高。

3D有限元計算時間為1 h，而本文所建模型的計算時間僅為0.2 h，且不包含3D有限元所必備的模型建立、網格劃分和求解設置等時間。因此，本文所建模型不僅準確度高，而且耗時短，可快速準確獲得DEM-AFMPMG氣隙磁通密度波形及其數值計算結果。

4.2 靜態(tài)電磁轉矩

(a)DEM-AFMPMG高速永磁轉子

圖5所示為基于3D有限元仿真及由式(41)所得的DEM-AFMPMG高速/低速永磁轉子靜態(tài)電磁轉矩曲線。其中，圖5a所示為低速永磁轉子不動、高速永磁轉子旋轉一對磁極距時的靜態(tài)轉矩，圖5b則為高速永磁轉子不動、低速永磁轉子旋轉一對磁極距時的靜態(tài)轉矩。

(b)DEM-AFMPMG低速永磁轉子圖5 DEM-AFMPMG靜態(tài)電磁轉矩Fig.5 Static electromagnetic torque of DEM-AFMPMG

由圖5可知，高速永磁轉子和低速永磁轉子的靜態(tài)電磁轉矩均為正弦曲線，且本文所建模型的理論計算曲線與3D有限元曲線基本重合。圖5中，3D有限元所得的高速及低速永磁轉子最大靜態(tài)轉矩分別為27.8 N·m及130 N·m；理論計算值則分別為27 N·m和128 N·m，與3D有限元結果之間的誤差不大于5%。另外，無論是3D有限元還是理論計算，其高速、低速的永磁轉子最大靜態(tài)轉矩比值均為4.75，符合本文所設定的傳動比。

與氣隙磁通密度的計算時間相同，圖5a和圖5b的有限元計算時間為1 h，而本文所建模型的理論計算時間則為0.2 h，同樣說明本文所建的轉矩模型不僅準確度高，而且耗時短，可快速準確地獲得DEM-AFMPMG電磁轉矩波形及其數值結果。

另外，3D有限模型所得的轉矩密度為134 kN·m/m3，而理論計算則為132 kN·m/m3，與3D有限元結果之間的誤差為1.5%。

5 結論

(1)DEM-AFMPMG在AFMPMG基礎上引入一個外調磁環(huán)，外調磁環(huán)的引入，使低速永磁轉子同時受到雙向勵磁與雙向調制作用，不僅減少了低速永磁轉子的軸向磁阻及軸向漏磁，而且還將AFMPMG的漏磁通轉化為有用諧波并再次作用在低速永磁轉子上，提高了永磁體利用率，增大了DEM-AFMPMG輸出轉矩及轉矩密度(不小于130 kN·m/m3)。

(2)子域計算法雖然是DEM-AFMPMG 3D模型的等效2D模型，但它包括了3D有限元法的軸向及切向漏磁計算，因此其計算精度與3D有限元法相當(計算誤差不大于5%)，且子域法計算速度快、耗時少(氣隙磁通密度及電磁轉矩的計算時間均較3D有限元法節(jié)省80%)。

(3)子域法所建電磁轉矩模型表明，DEM-AFMPMG電磁轉矩由內調磁環(huán)所形成的TA及外調磁環(huán)所形成的TD兩部分組成，其中，TA與AFMPMG模式相當，而TD則為引入外調磁環(huán)后的附加轉矩，即外調磁環(huán)的引入，可有效提高DEM-AFMPMG的電磁轉矩及轉矩密度；另外，與3D有限元法相比，基于子域法的計算模型可在參數優(yōu)化時直接替換尺寸參數，不需要重新建模，便于DEM-AFMPMG不同結構尺寸的分析與比較。