基于樣條函數(shù)改進(jìn)的傅里葉積分重建算法研究*

于 雪，孫興偉，董祉序，劉 寅，楊赫然,吳翔恂

(1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870；2.遼寧省復(fù)雜曲面數(shù)控制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽(yáng) 110870；3.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870)

0 引言

在過(guò)去的幾十年中，由梯度離散數(shù)據(jù)集合恢復(fù)表面輪廓高度等方法的發(fā)展受到了廣泛的關(guān)注，這種方法可以應(yīng)用于從陰影中恢復(fù)形狀[1]、生成全景圖像[2]、編輯數(shù)字圖像[3]、高動(dòng)態(tài)范圍壓縮、人臉識(shí)別、醫(yī)學(xué)成像、自適應(yīng)光學(xué)中的波前估計(jì)[4]以及梯度積分重建[5]等方面。這些應(yīng)用中的一種典型的方法就是生成所需圖像或表面的梯度，由測(cè)量或計(jì)算得到的梯度離散數(shù)據(jù)集合恢復(fù)圖像或重建表面。這主要通過(guò)二維積分來(lái)實(shí)現(xiàn)，主要的難點(diǎn)在于給定的梯度離散數(shù)據(jù)集合通常是不可積的。也就是說(shuō)，任意閉合路徑的積分都為零，且積分結(jié)果與路徑無(wú)關(guān)。因此，從它們的梯度恢復(fù)表面或圖像的典型方法是將給定的梯度投影到滿足可積分條件的空間上。

基于離散傅里葉變換的積分重建技術(shù)主要是借助離散傅里葉變換于頻域中進(jìn)行波前重建[6]。但是，傅里葉梯度積分算法在頻域中運(yùn)行，可能會(huì)使梯度數(shù)據(jù)中一些像素存在丟失的情況。離散傅里葉梯度積分法可以提高重建精度，但對(duì)于非周期性的梯度數(shù)據(jù)，不能直接用來(lái)對(duì)表面或圖像形貌重建[7]。針對(duì)這種情況，學(xué)者們提出可以使用迭代來(lái)進(jìn)行離散傅里葉變換以解決梯度數(shù)據(jù)非周期性的問(wèn)題[8]。

針對(duì)傳統(tǒng)southwell模型及差分采樣模型等精度不足等問(wèn)題，本文提出一種基于樣條函數(shù)改進(jìn)的傅里葉梯度積分法。通過(guò)增加相鄰四點(diǎn)的約束，對(duì)擴(kuò)展后的梯度數(shù)據(jù)進(jìn)行樣條函數(shù)擬合。通過(guò)K階多項(xiàng)式系數(shù)表示梯度數(shù)據(jù)，進(jìn)而代入到southwell模型中，以此來(lái)改進(jìn)該模型進(jìn)行傅里葉積分重建時(shí)帶來(lái)的精度不足等問(wèn)題。

1 樣條函數(shù)改進(jìn)傅里葉積分理論模型

1.1 傅里葉積分法

傅里葉梯度積分算法運(yùn)用二維離散傅里葉變換的相關(guān)理論，將梯度轉(zhuǎn)換到頻域中進(jìn)行計(jì)算，再通過(guò)傅里葉逆變換得到重建面形。

為了計(jì)算f(x,y)曲面高度分布，利用積分算法構(gòu)建一代價(jià)方程，使整體重建區(qū)域內(nèi)重建后的梯度數(shù)據(jù)和已知待測(cè)梯度之間的誤差趨于最小，如式(1)所示：

(1)

其中：W為重建后的梯度數(shù)據(jù)和已知待測(cè)梯度之間的誤差；zx、zy分別為重建面型沿兩個(gè)垂直方向上的偏導(dǎo)數(shù)；g、f為對(duì)應(yīng)方向上的測(cè)量梯度值。

公式(1)表明，待測(cè)表面重建后結(jié)果最優(yōu)時(shí)，重建表面的梯度數(shù)據(jù)與已知待測(cè)梯度誤差最小。

(2)

由式(2)可知，高度差可表示為：

(3)

(4)

對(duì)表面展開(kāi)系數(shù)進(jìn)行二維離散傅里葉逆變換，即可得到曲面高度分布。

1.2 樣條函數(shù)改進(jìn)southwell模型

常見(jiàn)差分采樣模型southwell 的梯度矩陣與高度矩陣大小一致，某點(diǎn)高度差可表示為：

(5)

其中：ΔZx、ΔZy為某點(diǎn)沿x、y方向高度差；fm,n、gm,n和Zm,n均為該數(shù)據(jù)矩陣在(m,n)點(diǎn)的數(shù)據(jù)；hx為x方向的相鄰采樣點(diǎn)距離；hy為y方向的相鄰采樣點(diǎn)距離。

將表面梯度按x與y方向分別進(jìn)行樣條函數(shù)曲線擬合，則表面高度差可表示為：

(6)

其中：cm,n,k為梯度數(shù)據(jù)的樣條擬合曲線的k階分段多項(xiàng)式系數(shù)；Δgm,n為x方向梯度差，Δfm,n為y方向梯度差。為使擬合梯度滿足重建精度要求，并節(jié)省計(jì)算資源，本文取3階樣條函數(shù)(K=3)進(jìn)行擬合。

1.3 梯度數(shù)據(jù)的周期性擴(kuò)展

對(duì)于傅里葉梯度積分重建算法，積分面型需滿足周期性條件。因此對(duì)所測(cè)梯度數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)展，以滿足后續(xù)差分?jǐn)?shù)據(jù)的周期性條件,如式(7)所示：

(7)

其中：fliplr(·)表示矩陣的列在左右方向上翻轉(zhuǎn)，flipud(·)表示矩陣的行在上下方向上翻轉(zhuǎn)。

由此，積分重建算法步驟可分為以下幾部分：

(1) 式(7)中的符號(hào)Z表示擴(kuò)展的g、f梯度數(shù)據(jù)。將梯度數(shù)據(jù)g、f分別按式(7)進(jìn)行擴(kuò)展以滿足傅里葉積分重建的周期性條件。

(2) 擴(kuò)展后的g、f分別按行按列以相鄰四個(gè)梯度數(shù)據(jù)為一組進(jìn)行曲線擬合，求得k階分段多項(xiàng)式系數(shù)cm,n,k。

(3) 根據(jù)式(6)計(jì)算表面差分分布ΔZx、ΔZy。將得到的差分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行快速二維離散傅里葉變換。將離散后的差分?jǐn)?shù)據(jù)代入式(4)求得曲面頻域中的表面展開(kāi)系數(shù)。

2 曲面重建與精度分析

使用基于傳統(tǒng)southwell模型以及差分采樣模型的梯度積分法進(jìn)行高度重建，其結(jié)果與本文基于改進(jìn)southwell模型重建的高度進(jìn)行比較，采用均方根誤差進(jìn)行精度分析。

給定一理想曲面為：

(8)

重建后，理想曲面高度與使用傳統(tǒng)southwell模型、差分采樣模型與改進(jìn)southwell模型重建高度的分布如圖1所示。

圖1 重建高度分布圖

三種模型重建高度與理想曲面高度數(shù)據(jù)對(duì)比，其誤差分布如圖2所示。

圖2 重建表面的誤差分布

采用傳統(tǒng)傅里葉梯度積分法進(jìn)行高度重建，使用模型為southwell模型，重建后其均方根誤差為0.106 0 mm。使用差分采樣模型對(duì)曲面進(jìn)行重建，均方根誤差為0.071 7 mm。使用本文提出的一種基于樣條函數(shù)展開(kāi)的傅里葉梯度積分法對(duì)southwell模型進(jìn)行改進(jìn)，增加相鄰高度點(diǎn)的約束，重建后均方根誤差為0.009 2 mm。由此看出，改進(jìn)的基于樣條函數(shù)的傅里葉梯度積分法具有較高重建精度。

3 結(jié)論

本文提出了一種基于樣條函數(shù)改進(jìn)的傅里葉梯度積分法。通過(guò)對(duì)曲面梯度數(shù)據(jù)的求取，對(duì)其進(jìn)行周期性的擴(kuò)展，針對(duì)傳統(tǒng)southwell模型精度不足的缺點(diǎn)，以樣條函數(shù)對(duì)擴(kuò)展后梯度數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，再以傳統(tǒng)southwell模型代入，求得新的高度差分布。由高度差與曲面展開(kāi)系數(shù)在頻域中建立聯(lián)系，得到頻域中的曲面展開(kāi)系數(shù)。最后對(duì)曲面展開(kāi)系數(shù)進(jìn)行二維離散傅里葉逆變換，保留其實(shí)部，從而得到表面高度。與傅里葉積分法使用的傳統(tǒng)southwell模型及差分采樣模型相比，改進(jìn)的算法具有相鄰四點(diǎn)的約束且具有更高的精度。在已知圖像及物體表面梯度后，能更好地重建物體。