凸無限規(guī)劃的松弛Lagrange全對偶及最優(yōu)性條件*

鄭晴慧，胡星星，王仙云

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 吉首 416000)

1 問題的提出

(1)

特別地，有學(xué)者利用閉性條件或次微分類條件，建立了問題(1)與其Lagrange對偶問題

(2)

例如,Bot等[1]在函數(shù)下半連續(xù)的前提下，利用閉性條件和次微分性質(zhì)，等價刻畫了凸優(yōu)化問題的Lagrange強對偶和全對偶;Fang等[3]在函數(shù)不一定連續(xù)的假設(shè)下，引入弱性約束規(guī)范條件，建立了原問題與其對偶問題之間的最優(yōu)性條件和Lagrange全對偶.近來,Dinh等[5]利用上圖類條件，等價刻畫了問題(1)與其松弛型Lagrange對偶問題

(3)

受文獻(xiàn)[5-6]的啟發(fā)，筆者擬利用函數(shù)的次微分性質(zhì)，引入新的弱性約束規(guī)范條件，來刻畫凸優(yōu)化問題(1)與其松弛型Lagrange對偶問題(3)之間的全對偶及最優(yōu)性條件.

2 基礎(chǔ)知識

設(shè)X是凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，X*為X的共軛空間，賦予弱*拓?fù)鋡*(X*，X).x*，x表示泛函x*∈X*在x∈X處的值，即x*，x=x*(x).設(shè)Z是X的非空凸子集，clZ，riZ和coneZ分別表示Z的閉包、相對內(nèi)部和凸錐包.NZ(z0)表示Z在z0點的法錐，

NZ(z0)∶={x*∈X*:≤0，?z∈Z}.

令δZ表示Z的示性函數(shù)，

domf∶={x∈X:f(x)<+∞}，

epif∶={(x，r)∈X×R:f(x)≤r}，

顯然，f*是真凸下半連續(xù)函數(shù)，epif*是弱*閉集.

定義函數(shù)f在x∈domf的次微分為

?f(x)∶={x*∈X*:f(y)-f(x)≥x*，y-x，?y∈X}.

特別地，由錐的定義有

NZ(x0)=?δZ(x0) ?x0∈Z.

由共軛函數(shù)的定義可知以下Young-Fenchel不等式成立:

f(x)+f*(x*)≥x*，x?(x，x*)∈X×X*.

由文獻(xiàn)[7]中的定理2.4.2(ⅱ)可知，對于?x∈domf，以下關(guān)系成立:

x*∈?f(x)?f(x)+f(x*)=x*，x?(x，x*)∈X×X*.

進一步，由文獻(xiàn)[7]中的定理2.5.7可知

(4)

?f(a)+?h(a)??(f+h)(a) ?a∈domf∩domh.

(5)

?f(a)+?h(a)=?(f+h)(a) ?a∈domf∩domh.

(6)

3 最優(yōu)性條件

設(shè)A表示系統(tǒng){x∈C;ft(x)≤0，t∈T}的可行解集，即A∶={x∈C:ft(x)≤0，t∈T}.若無特殊說明,本研究均假設(shè)A∩domf≠?.設(shè)x∈domf，為了簡便起見，記

命題1設(shè)x∈domf∩A，則

Λ1(x)?Λ2(x)??(f+δA)(x).

(7)

(8)

于是由(8)式可知

p，y-x≤(f+δA)(y)-(f+δA)(x) ?y∈X，

從而p∈?(f+δA)(x)，故Λ2(x)??(f+δA)(x).證畢.

為了刻畫凸優(yōu)化問題(1)的最優(yōu)性條件，先引入以下約束規(guī)范條件：

定義1設(shè)x0∈domf∩A.

(ⅰ)稱系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}在x0處滿足松弛(BCQ)f條件，如果

?(f+δA)(x)=Λ1(x).

(9)

稱系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}滿足松弛(BCQ)f條件，如果(9)式對于?x∈domf∩A都成立.

(ⅱ)稱系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}在x0處滿足松弛(WBCQ)f條件，如果

?(f+δA)(x)=Λ2(x).

(10)

稱系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}滿足松弛(WBCQ)f條件，如果(10)式對于?x∈domf∩A都成立.

(2)由命題1可知，系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}滿足松弛(BCQ)f條件，當(dāng)且僅當(dāng)對于?x∈domf∩A，有

?(f+δA)(x)?Λ1(x)，

系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}滿足松弛(WBCQ)f條件，當(dāng)且僅當(dāng)對于?x∈domf∩A，有

?(f+δA)(x)?Λ2(x).

(11)

(3)由(7)式可知，松弛(BCQ)f可以推導(dǎo)出松弛(WBCQ)f.

定義2設(shè)x0∈domf∩A.稱系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}在x0處滿足(KKT)f條件，如果

稱該系統(tǒng)滿足(KKT)f條件，如果對于?x∈domf∩A，系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}在x處滿足(KKT)f條件.

注2由文獻(xiàn)[7]中的定理2.5.7可知，系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}在x0處滿足(KKT)f條件，當(dāng)且僅當(dāng)

0∈?(f+δA)(x0)?0∈Λ1(x0).

進一步由命題1可知，系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}在x0處滿足(KKT)f條件，當(dāng)且僅當(dāng)

0∈?(f+δA)(x0)?0∈Λ1(x0).

(12)

定理1系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}滿足松弛(BCQ)f條件，當(dāng)且僅當(dāng)對于?p∈X*，該系統(tǒng)滿足(KKT)f+p條件.

證明設(shè)x0∈domf∩A.由定義2可知，對于?p∈X*，系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}在x0處滿足(KKT)f+p條件，當(dāng)且僅當(dāng)

即

-p∈?(f+δA)(x0)?-p∈Λ1(x0) ?p∈X*.

(13)

(13)式成立當(dāng)且僅當(dāng)?(f+δA)(x0)=Λ1(x0).證畢.

由定理1可得以下推論:

推論1若系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}滿足松弛(BCQ)f條件，則該系統(tǒng)滿足(KKT)f條件.

注3在{f;ft，t∈T}是下半連續(xù)函數(shù)、C是閉凸集的假設(shè)下,Dinh等[6]利用(CC)條件

證明了推論1.由文獻(xiàn)[1]中的注11可知，在上述假設(shè)下,(CC)條件嚴(yán)格強于松弛(BCQ)f條件，因此定理1改進了文獻(xiàn)[6]的相關(guān)結(jié)論.

定理2設(shè)x0∈domf∩A，則下列命題等價：

(ⅰ)

(14)

(ⅱ)對于任意的真凸函數(shù)f，若f在x0∈domf∩A點連續(xù)，則系統(tǒng){δC;ft:t∈H}在x0點滿足(KKT)f條件.

(ⅲ)對于?p∈X*，系統(tǒng){δC;ft:t∈H}在x0點滿足(KKT)p條件.

證明(ⅰ)?(ⅱ).假設(shè)(i)成立.設(shè)f為真凸函數(shù)且f在x0點連續(xù)，又設(shè)0∈?(f+δA)(x0).由(6)式可得0∈?f(x0)+NA(x0)，于是由(14)式可得

即0∈Λ1(x0).因此(12)式成立，從而系統(tǒng){δC;ft:t∈H}在x0點滿足(KKT)f條件.

(ⅱ)?(ⅲ).顯然成立.

(ⅲ)?(ⅰ).假設(shè)(ⅲ)成立.由定理1可知，(ⅰ)成立(f=0的情形).

證畢.

4 全對偶

設(shè)p∈X*，接下來主要研究凸優(yōu)化問題

(15)

及其Lagrange對偶問題

(16)

之間的全對偶.

令v1，v3，v15，v16分別表示問題(1)、問題(3)、問題(15)和問題(16)的最優(yōu)值，S1，S3，S15，S16分別表示問題(1)、問題(3)、問題(15)和問題(16)的最優(yōu)解集.

定義3(ⅰ)設(shè)S1非空，稱問題(1)和問題(3)之間的松弛Lagrange全對偶成立，如果v1=v3且問題(3)有最優(yōu)解.

(ⅱ)稱問題(1)和問題(3)之間的松弛Lagrange穩(wěn)定全對偶成立，如果對于?p∈X*，問題(15)與問題(16)之間的松弛Lagrange全對偶成立.

定理3下列命題等價：

(ⅰ)系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}滿足松弛(WBCQ)f條件.

(ⅱ)問題(1)與問題(3)之間的松弛Lagrange穩(wěn)定全對偶成立.

證明(ⅰ)?(ⅱ).設(shè)x0∈domf∩A且x0∈S16.由(4)式可知

0∈?(f+p+δA)(x0)，

即

-p∈?(f+δA)(x0)，

由次微分的定義可知

即

注意到

(ⅱ)?(ⅰ).設(shè)x0∈domf∩A，由命題1可知，要證(10)式成立，只需證(11)式成立.為此，設(shè)-q∈?(f+δA)(x0)，則x0∈S16，即

證畢.

由定理3可得以下結(jié)論：

推論2若系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}滿足松弛(WBCQ)f條件，則問題(1)與其松弛型對偶問題(3)之間的Lagrange全對偶成立.

注5在{f;ft，t∈T}是下半連續(xù)函數(shù)、C是閉集的假設(shè)下,Dinh等[5]證明了推論2，而本研究是在沒有下半連續(xù)和閉集的假設(shè)下證明了推論2，因此定理3改進了文獻(xiàn)[5]中的相關(guān)結(jié)論.

定理4設(shè)x0∈domf∩A，則以下命題等價：

(ⅰ)

(17)

(ⅱ)對于任意的真凸函數(shù)f，若f在x0點連續(xù)且x0∈S1，則

(18)

(ⅲ)對于?p∈X*，若x0∈Sp，則

證明(ⅰ)?(ⅱ).假設(shè)(ⅰ)成立.設(shè)函數(shù)f在x0點連續(xù)且x0∈S1，則由引理1可得

?(f+δA)(x0)=?f(x0)+NA(x0).

于是由(17)，(5)式可得

故由注1(ⅱ)可知,系統(tǒng){f，δC;ft:t∈H}滿足松弛(WBCQ)f條件，從而由推論2可知(18)式成立.

(ⅱ)?(ⅲ).顯然成立.

(ⅲ)?(ⅰ).假設(shè)(ⅲ)成立.由定理3可知(17)式成立(f=0的情形).

證畢.