雙列圓錐滾子軸承滾道表面波紋度對軸承振動特性的影響研究

呂潤楠， 郝 旭， 于長鑫， 矯文聰， 于澤洋

(瓦房店軸承集團國家軸承工程技術(shù)研究中心有限公司，遼寧 瓦房店 116300)

雙列圓錐滾子軸承因其結(jié)構(gòu)緊湊、摩擦力矩小、承載能力強而被廣泛應(yīng)用于鐵路機車、汽車輪轂、機床主軸、飛機起落架等機械設(shè)備。滾動軸承在生產(chǎn)加工過程中，由于機床精度、夾具定位誤差以及振動等因素的影響，使得滾道表面不可避免的存在波紋度等形狀誤差[1]。而軸承表面波紋度是影響其振動特性、噪聲、疲勞壽命的主要因素，研究帶有表面波紋度軸承系統(tǒng)的振動特性具有重要的意義。

在考慮表面波紋度的軸承系統(tǒng)研究中，Aktürk等[2]將鋼球簡化為無質(zhì)量的非線性彈簧，研究了表面波紋度對球軸承振動特性的影響。Yhland[3]通過試驗得出了波紋度波數(shù)對軸承軸向和徑向振動頻率的影響規(guī)律。Wardle等[4]研究了鋼球數(shù)目和波紋度波數(shù)對軸承振動特性的影響。Harsha等[5]基于Lagrange方程研究了軸承-非平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動響應(yīng)規(guī)律，并指出滾動體數(shù)目和波紋度波數(shù)是影響系統(tǒng)動力學(xué)特性的兩個重要因素。鄧四二等[6]利用能量守恒定律，研究了角接觸球軸承零件工作表面的波紋度對軸承摩擦力矩波動性的影響。杜秋華等[7]在考慮彈流潤滑的基礎(chǔ)上建立了波紋度球軸承非線性振動模型，分析表明波紋度會使球軸承剛度發(fā)生周期性變化；充分潤滑時，油膜會使軸承剛度略微增加。侯磊等[8]針對雙轉(zhuǎn)子-中介軸承系統(tǒng)建立了考慮中介軸承波紋度雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，并討論了波紋度幅值、波數(shù)等對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的影響。邵建敏等[9]應(yīng)用計算機求解了二自由度球軸承振動方程，分析了表面波紋度球軸承的振動特性，結(jié)果表明只有特定的波紋度波數(shù)才能引起系統(tǒng)特定頻率的振動；滾動體波紋度較滾道波紋度對系統(tǒng)振動影響大。劉靜等[10]以三自由度圓錐滾子軸承為研究對象，考慮潤滑油膜影響，提出時變激勵的擋邊波紋度動力學(xué)模型，研究了波紋度對軸承振動響應(yīng)特征的影響規(guī)律，并通過試驗驗證模型的有效性。顧曉輝等[11]利用分岔圖、功率譜圖和龐加萊截面圖研究了軸承表面波紋度幅值和轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)的非線性振動的影響，并將關(guān)聯(lián)維數(shù)應(yīng)用于滾動軸承的故障診斷。張耀強等[12]對考慮軸承滾道表面波紋度的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動進行了相關(guān)分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)外圈波紋度波數(shù)與滾動體數(shù)目相等時，系統(tǒng)會產(chǎn)生強烈振動；內(nèi)圈波紋度引起振動的峰值頻率與波數(shù)有關(guān)。仿真分析方面，劉國云等[13]將滾子等效為力元，利用SIMPACK動力學(xué)軟件建立了波紋度軸承動力學(xué)計算模型，并研究了波紋度幅值和波數(shù)對振動特性的影響。

現(xiàn)有的滾動軸承表面波紋度分析模型，多是基于Lagrange方程，提出不同自由度波紋度軸承系統(tǒng)的運動方程，并用Runge-Kutta數(shù)值算法對方程進行求解。然而該方法是將滾動體等效為彈簧，忽略了滾動體的質(zhì)量，而軸承在實際運轉(zhuǎn)過程中滾動體和套圈、保持架的接觸碰撞十分復(fù)雜，從而難以準(zhǔn)確模擬軸承實際運行狀態(tài)。

本文在考慮彈流潤滑以及時變接觸剛度的基礎(chǔ)上，應(yīng)用ADAMS建立了雙列圓錐滾子軸承波紋度動力學(xué)模型，分析了波紋度狀態(tài)下雙列圓錐滾子軸承的徑向振動位移頻譜和峰峰均值曲線，研究了波紋度波數(shù)和幅值對軸承振動的影響規(guī)律，為軸承的設(shè)計與制造提供了指導(dǎo)意義。

1 波紋度軸承建模

當(dāng)滾動軸承表面存在波紋度時，滾動軸承表面由光滑曲面變?yōu)椴y曲面。假定軸承波紋曲面為正弦波形，在圖1所示的波紋度示意圖中，波紋度A可以表示為

A=Ansin(Nwθnj+β),j=1,2,…,Z

(1)

式中：n=i，o分別為內(nèi)、外套圈的角標(biāo)，下同；An為波紋度幅值；Nw為波紋度階次，即波數(shù)；θnj為第j個滾動體與滾道接觸點的角位置；β為初始相位角。若軸承外圈固定，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，則有

(2)

式中：Z為滾動體數(shù)目；ωc和ωi分別為保持架和內(nèi)圈角速度，且有

(3)

式中，Ri和Ro分別為內(nèi)、外套圈滾道半徑。

本文采用的雙列圓錐滾子軸承型號為353132B，主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。為能準(zhǔn)確描述軸承在運轉(zhuǎn)過程中滾子和套圈滾道及擋邊不同的接觸狀態(tài)，在建模時將波紋度內(nèi)圈滾道和大擋邊分別建模，裝配后的模型如圖2所示。

2 動力學(xué)模型建立

軸承內(nèi)、外套圈和滾子材料均為GCr15軸承鋼，保持架材料為玻璃纖維材料，材料參數(shù)如表2所示。計算所用的潤滑油主要參數(shù)如表3所示。

表2 材料參數(shù)Tab.2 Material parameters

表3 潤滑油主要參數(shù)Tab.3 Main parameters of lubricating oil

2.1 impact函數(shù)

滾子和內(nèi)外圈、保持架之間采用沖擊函數(shù)法即impact函數(shù)來計算接觸碰撞力，impact函數(shù)的一般表達式為

(4)

式中：x為兩碰撞物體的實際距離；x1為觸發(fā)距離； dx/dt為兩物體間距離隨時間的變化率，即速度；Kζ為接觸剛度系數(shù)；e為彈性力指數(shù)，點接觸取1.5，線接觸取10/9；Cmax為阻尼系數(shù)最大值，取10 N·s/mm；d為切入深度，取0.1 mm。

2.2 接觸剛度系數(shù)計算

工程應(yīng)用中常用的Palmgren線接觸彈性變形公式與彈性體曲率半徑無關(guān)，從而無法描述滾道表面波紋度對接觸面曲率的影響。丁長安等[14]基于一般彈性體接觸理論，給出了線接觸彈性變形δ的計算方法，即

(5)

式中：E為等效彈性模量，由兩接觸物體材料的泊松比和彈性模量共同決定；l為線接觸有效長度；Q為接觸載荷；Σρ為曲率和函數(shù)，曲率面的選取和曲率和函數(shù)的表達式仍參照丁長安等的研究。當(dāng)套圈滾道表面存在波紋度時，Σρ不再為定值，此時求解上式即可得到滾子和波紋度套圈滾道間的接觸剛度系數(shù)Kn。根據(jù)文獻[15]中給出的計算方法，滾子大端面和大擋邊間的點接觸剛度系數(shù)可由式(6)給出

(6)

式中：k為橢圓曲率；Γ和Σ分別為第一類和第二類全橢圓積分。

Dowson等[16]提出的等溫條件下彈流潤滑接觸最小油膜厚度hmin的計算公式為

(7)

式中：U=η0u；ε為黏度的壓力指數(shù)；η0為常壓下動力黏度；u為接觸表面平均速度；R為當(dāng)量曲率半徑；q為單位接觸長度上的負(fù)荷。

進一步，油膜剛度系數(shù)Kφ可表達為

(8)

綜合上述推導(dǎo)，彈流潤滑條件下滾子與擋邊間的等效接觸剛度系數(shù)Kdψ、滾子與波紋度套圈滾道間的等效接觸剛度系數(shù)Knψ的表達式為

(9)

受套圈滾道表面波紋度的影響，滾子和滾道接觸表面的曲率不再為定值，油膜剛度系數(shù)Kφ、線接觸剛度系數(shù)Kn和等效接觸剛度系數(shù)Knψ均是時變的。為能準(zhǔn)確描述滾子和波紋度套圈滾道間的接觸剛度系數(shù)，采用ADAMS提供的位置函數(shù)[17-18]來定義時刻變化的等效接觸剛度系數(shù)Knψ，并將其值賦給impact函數(shù)中的接觸剛度系數(shù)Kζ。

2.3 邊界條件

為模擬軸承運行過程中內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)、外圈“固定”的實際工況，將內(nèi)圈滾道與擋邊間添加固定副，將內(nèi)圈與大地間添加轉(zhuǎn)動副。為“固定”外圈，但不至于使其失去振動，將外圈與大地間添加扭簧，設(shè)定轉(zhuǎn)動剛度系數(shù)和轉(zhuǎn)動阻尼系數(shù)分別為為1×1010N·mm·deg-1和1×108N·mm·s·deg-1，轉(zhuǎn)速通過轉(zhuǎn)動副內(nèi)置函數(shù)[19]添加。

軸承載荷邊界為：徑向力100 kN，軸向力50 kN，內(nèi)圈和隔圈轉(zhuǎn)速900 r/min，重力方向豎直向下。設(shè)定仿真時間1 s，初始積分步長0.001。

3 模型驗證

當(dāng)軸承內(nèi)外圈轉(zhuǎn)速一定時，保持架理論轉(zhuǎn)速為

(10)

式中：nc和ni和分別為保持架和內(nèi)圈轉(zhuǎn)速；no為外圈轉(zhuǎn)速；Dpw為滾子節(jié)圓組直徑；α為接觸角； 計算得nc=390 r/min。

仿真環(huán)境下得到的無波紋度軸承保持架轉(zhuǎn)速，如圖3所示。由圖3可知，仿真環(huán)境下保持架轉(zhuǎn)速RMS值為2 341.85 deg/s，即390.31 r/min，與理論轉(zhuǎn)速誤差僅為0.08%。該誤差處于合理范圍，同時也驗證了本研究在動力學(xué)方面的合理性。

4 結(jié)果分析

由軸承幾何參數(shù)和內(nèi)圈轉(zhuǎn)速計算可得：圓錐滾子軸承軸轉(zhuǎn)頻fs為15 Hz，保持架轉(zhuǎn)頻fc為6.5 Hz，單個滾動體在內(nèi)圈滾道的通過頻率fi為8.5 Hz。

4.1 內(nèi)圈波紋度對軸承振動的影響

為研究內(nèi)圈波紋度波數(shù)對軸承振動的影響，設(shè)定內(nèi)圈波紋度幅值A(chǔ)i為4 μm，初始相位角β為0，內(nèi)圈波紋度波數(shù)Nw分別為18、20、21、22、23、34、32、40、42、43、44、45，不同內(nèi)圈波紋度波數(shù)下圓錐滾子軸承徑向振動位移頻譜，如圖4所示。由圖4可知，在選取的九種波數(shù)下，軸承徑向振動位移響應(yīng)的頻譜中均出現(xiàn)Zfc及其倍頻，這與滾子通過外滾道頻率的理論值接近；當(dāng)Nw=λZ時，軸承徑向振動位移響應(yīng)的頻譜圖出現(xiàn)pZfi(λ,p均為正整數(shù))及其倍頻成分；當(dāng)Nw≠λZ時，軸承徑向振動位移響應(yīng)的頻譜圖出現(xiàn)pZfi±qfs(q為正整數(shù))及其倍頻成分。此外，當(dāng)Nw=λZ時，軸承徑向振動位移響應(yīng)的頻譜圖在頻率λZfi處取得峰值，此時軸承振動水平較高。表4給出不同內(nèi)圈波紋度波數(shù)時，軸承徑向振動位移響應(yīng)的頻譜圖峰值處對應(yīng)的頻率。結(jié)合表4和圖4可得：若波數(shù)Nw和滾子個數(shù)Z滿足關(guān)系Nw=κZ+τ(κ為非負(fù)整數(shù)，τ為整數(shù)，且-11≤τ<11)，則振動位移頻譜圖峰值點對應(yīng)頻率ff可由式(11)給出

表4 不同內(nèi)圈波數(shù)下的峰值頻率Tab.4 Frequencies of peak values with inner race of various wave numbers

(11)

當(dāng)滾動體每次通過內(nèi)圈波紋度波峰時，系統(tǒng)也會產(chǎn)生一次振動，這即為波通過振動WPV(wave passage vibration)，波通過振動頻率fwpv可表達為

fwpv=Z(fs-fc)

(12)

于是，式(11)可改寫為

(13)

式(13)所示位移頻譜圖峰值點頻率和波數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系與張耀強等給出的內(nèi)圈波紋度軸承振動規(guī)律基本一致，即當(dāng)內(nèi)圈波紋度波數(shù)接近滾動體個數(shù)或其整數(shù)倍時，系統(tǒng)會產(chǎn)生特定的峰值頻率。

4.2 外圈波紋度對軸承振動的影響

為研究外圈波紋度波數(shù)對軸承振動的影響，設(shè)定外圈波紋度幅值A(chǔ)o為4 μm，初始相位角β為0，外圈波紋度波數(shù)Nw分別為18、21、22、23、34、32、43、44、45，不同外圈波紋度波數(shù)下圓錐滾子軸承徑向振動位移頻譜，如圖5所示。由圖5可知，當(dāng)外圈滾道表面存在波紋度時，軸承振動位移頻譜的基頻及倍頻成分和峰值點頻率主要為Zfc及其倍頻，該振動規(guī)律與劉國云等的研究基本一致；當(dāng)外圈波紋度波數(shù)為滾子數(shù)目整數(shù)倍時，軸承徑向振動位移響應(yīng)的頻譜取得峰值。

4.3 波紋度幅值對軸承振動影響

為研究滾道波紋度幅值對圓錐滾子軸承振動的影響，設(shè)定圓錐滾子軸承滾道波紋度波數(shù)Nw為22，套圈波紋度幅值A(chǔ)n分別為2 μm，4 μm，6 μm，8 μm，10 μm，不同套圈波紋度幅值下軸承徑向振動位移的峰峰均值如圖6所示(峰峰均值：等間隔步長峰峰值的平均值)。由圖6可知，當(dāng)圓錐滾子軸承表面波紋度波數(shù)一定時，軸承在徑向方向振動位移響應(yīng)的峰峰均值隨波紋度幅值的增大而增大，軸承振動越來越劇烈；相比于內(nèi)圈波紋度，外圈波紋度對軸承振動影響較大。因此，在生產(chǎn)實際中，應(yīng)合理控制套圈滾道波紋度波數(shù)并降低滾道波紋度幅值以減弱軸承在運轉(zhuǎn)過程中的振動與噪聲水平。

5 結(jié) 論

本文在考慮彈流潤滑理論以及時變接觸剛度的基礎(chǔ)上，提出一種利用位置函數(shù)代替時變剛度系數(shù)的計算方法，建立了雙列圓錐滾子軸承滾道波紋度動力學(xué)計算模型。通過分析軸承徑向振動位移響應(yīng)的頻譜圖和峰峰均值曲線可得如下結(jié)論：

(1) 滾道波紋度波數(shù)與滾子個數(shù)相等或是其整數(shù)倍時，振動位移頻譜取得峰值，此時軸承發(fā)生強烈振動。

(2) 當(dāng)內(nèi)圈滾道存在波紋度時，振動位移頻譜出現(xiàn)Zfc及其倍頻、單個滾子通過內(nèi)滾道頻率和軸轉(zhuǎn)頻的組合頻率成分(pZfi±qfs)，且峰值點頻率與波紋度波數(shù)有關(guān)。當(dāng)外圈滾道存在波紋度時，振動頻譜峰值點頻率為Zfc及其倍頻。

(3)振動位移的峰峰均值隨套圈滾道波紋度幅值的增大而增大；波紋度幅值一定時，外圈滾道波紋度對軸承振動影響較大。因此，為提高軸承工作性能并減小軸承在運轉(zhuǎn)過程中的振動與噪聲，在生產(chǎn)加工時應(yīng)合理控制滾道波紋度波數(shù)并降低滾道波紋度幅值。