振動(dòng)波在質(zhì)量偏心Timoshenko梁非連續(xù)處的傳播特性研究

王 劍， 袁秀峰， 胡永彪

(1. 法蘭泰克重工股份有限公司，江蘇 蘇州 215211； 2. 長安大學(xué) 工程機(jī)械系，西安 710064)

在分析船舶、艦艇低頻振動(dòng)問題時(shí)，通常將船體、艇體簡(jiǎn)化為梁模型[1-2]。由于空間限制或下潛需求，船舶或潛艇內(nèi)部設(shè)備的布置存在非均勻性，導(dǎo)致質(zhì)心往往在截面形心的下方。這種質(zhì)量偏心梁模型在縱垂面的彎曲振動(dòng)，會(huì)同時(shí)引起梁的縱向振動(dòng)[3]。由于梁的縱向振動(dòng)對(duì)應(yīng)圓柱殼周向波數(shù)n=0的模態(tài)，其在殼體低頻聲輻射中占據(jù)主導(dǎo)地位[4]。實(shí)際的簡(jiǎn)化梁模型中往往存在非連續(xù)性，比如支撐、邊界、變截面及轉(zhuǎn)角等，同時(shí)，考慮到振動(dòng)的物理本質(zhì)是波的傳播。因此，很有必要開展質(zhì)量偏心梁的彎-縱耦合振動(dòng)研究，尤其應(yīng)從振動(dòng)波的角度，通過觀測(cè)波在非連續(xù)處的反射與透射特性，來討論其彎-縱耦合效應(yīng)。

針對(duì)載荷的復(fù)雜性[5]，或者梁截面的非對(duì)稱性所引起的耦合振動(dòng)問題，趙曄等[6]針對(duì)船體的薄壁開口梁，虞愛民等[7]針對(duì)橢圓截面的實(shí)心梁，分別研究了彎曲與扭轉(zhuǎn)的耦合振動(dòng)。但是，目前關(guān)于質(zhì)量偏心梁在縱垂面彎曲振動(dòng)引起縱向振動(dòng)的討論較少。

由于可以更好地從物理角度解釋機(jī)理，大量學(xué)者研究了梁結(jié)構(gòu)中振動(dòng)波的傳播。Fahy[8]發(fā)現(xiàn)桿中的縱向波為非頻散的傳播波，Timoshenko梁中的彎曲波一組為衰減波；另一組為傳播波，且在梁的截止頻率處發(fā)生衰減波向傳播波的轉(zhuǎn)變。Ji等[9]利用截面變化改變彎曲波的波速，從而提高振動(dòng)能量收集效率。Mead[10]從波傳播的角度，研究了周期支撐梁結(jié)構(gòu)在對(duì)流壓力場(chǎng)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Cheng等[11]分析了周期梁結(jié)構(gòu)聲子晶體中彎曲波的頻散特性，尤其針對(duì)波數(shù)為復(fù)數(shù)的彎曲波進(jìn)行了詳細(xì)討論。Mace等[12]利用有限元法分析了梁模型中的波數(shù)、群速度等，作者認(rèn)為此方法最大的優(yōu)勢(shì)是可以直接使用傳統(tǒng)有限元中梁的質(zhì)量和剛度矩陣。針對(duì)周期支撐的梁結(jié)構(gòu)[13]及包含集中質(zhì)量塊的周期梁結(jié)構(gòu)[14]，學(xué)者們研究了存在裂紋時(shí)，結(jié)構(gòu)中振動(dòng)波的特性。Kalkowski等[15]用試驗(yàn)測(cè)量了變截面梁中的彎曲與縱向波數(shù)。Mace[16]及Mei等[17]分別針對(duì)Euler和Timoshenko梁，詳細(xì)分析了振動(dòng)波在彈性支撐、邊界、變截面處的傳播特性，為利用行波法研究非連續(xù)復(fù)雜梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性打下基礎(chǔ)。

可見，針對(duì)質(zhì)量偏心梁中彎-縱耦合振動(dòng)波在非連續(xù)處的傳播問題，相關(guān)研究還比較欠缺。

因此，本文在已經(jīng)推導(dǎo)了質(zhì)量偏心Timoshenko梁彎-縱耦合振動(dòng)控制方程[18]，及上述研究的基礎(chǔ)上，將通過分析彎曲傳播波、彎曲衰減波、縱向波在梁結(jié)構(gòu)非連續(xù)處的透射、反射特性，對(duì)振動(dòng)波的耦合及轉(zhuǎn)變現(xiàn)象進(jìn)行討論，進(jìn)而從波的角度提供對(duì)復(fù)雜偏心梁彎-縱耦合振動(dòng)的理解，并為其固有特性及響應(yīng)的求解創(chuàng)造條件。

1 公式推導(dǎo)

在將艦船或潛艇等效為梁模型時(shí)，由于設(shè)備往往布置在船/艇身水平剖面以下，且其對(duì)整體的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)主要影響體現(xiàn)為附加質(zhì)量。因此，如圖1所示的質(zhì)量偏心梁截面，偏心梁考慮了附加質(zhì)量引起的形心與質(zhì)心不重合。其中：D為形心；G為質(zhì)量中心；e為梁質(zhì)心和形心之間的距離。

由于梁的質(zhì)心和形心不重合，梁的轉(zhuǎn)動(dòng)將引起質(zhì)心的縱向位移。而轉(zhuǎn)動(dòng)造成質(zhì)心的橫向位移屬于二階小量，可以忽略。梁微元轉(zhuǎn)動(dòng)引起質(zhì)心的縱向位移為eθ。同時(shí)質(zhì)心的縱向運(yùn)動(dòng)誘使梁微元產(chǎn)生ρAe2dx的附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

這里直接給出考慮質(zhì)量偏心的Timoshenko梁彎-縱耦合振動(dòng)方程如下，具體推導(dǎo)過程見附錄A

(1)

式中：ρ為梁的密度；A為截面面積；I為截面慣性矩；u為縱向位移；v為橫向位移；θ為截面轉(zhuǎn)角；E為彈性模量；k為截面的剪切系數(shù)；G為剪切模量。

采用分離變量法

(2)

代入式(1)得

(3)

若使式(3)有非零解，則其系數(shù)矩陣的行列式為零，由此可得到特征方程

E2kGI·S3+Eρω2(EI+2kGI+2kGAe2)·S2+
ρω2(2EIρω2+2EAe2ρω2+kGρIω2+kGρAe2ω2-
kGEA)·S+ρ2ω4[(I+Ae2)ρω2-kGA]=0

(4)

式中：S=λ2；ω為角頻率。

由于本模型不考慮阻尼，計(jì)算出的波數(shù)λ為實(shí)數(shù)或者純虛數(shù)，即式(4)有三個(gè)不等實(shí)根[19]，其開平方根后取正值

(5)

即式(4)共可求得六個(gè)波數(shù)，分為三組，每組內(nèi)的兩個(gè)波數(shù)互為相反數(shù)，波數(shù)為正值時(shí)是負(fù)行波，為負(fù)值時(shí)是正行波。其中λ1，-λ1對(duì)應(yīng)彎曲波中的衰減波； iλ2，-iλ2對(duì)應(yīng)彎曲波中的傳播波； iλ3，-iλ3對(duì)應(yīng)縱向波，是一種傳播波。

故而振型函數(shù)可表示為

(6)

(7)

(8)

可以看出，上述三種位移均由彎曲衰減波、彎曲傳播波和縱向傳播波組成，振型系數(shù)Bj，Cj，Dj(j=1,2,3)右上角標(biāo)取“+”時(shí)，為沿x軸正方向傳播的正行波；取“-”時(shí)，為沿x軸負(fù)方向傳播的負(fù)行波。

將振型函數(shù)表達(dá)式(6)～式(8)代入式(2)，進(jìn)一步再代入控制方程式(1)，可以得到各組位移系數(shù)之間的關(guān)系

下面將考察振動(dòng)波在彈性支撐、邊界、變截面處及轉(zhuǎn)角處的傳播情況。同時(shí)，為了消除同一模型中偏心率變化對(duì)振動(dòng)波傳播特性分析的干擾，下面四個(gè)模型中均將偏心率設(shè)置為統(tǒng)一數(shù)值，即不考慮非連續(xù)處左右偏心率的變化。

1.1 彈性支撐處

(9)

記x=0左側(cè)的位移分別為V-，U-，Θ-，右側(cè)分別為V+，U+，Θ+，即

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

在x=0處給出位移連續(xù)條件

V+=V-,U+=U-,Θ+=Θ-

(16)

力學(xué)平衡條件

KVV±+Q-=Q+,M--KRΘ±=M+,N++KNU±=N-

(17)

式中：N為軸向力；M為彎矩；Q為剪力。即[20]

(18)

將位移表達(dá)式(10)～式(15)代入位移連續(xù)條件式(16)，得到

(19)

其中，

將位移表達(dá)式(10)～式(15)，內(nèi)力表達(dá)式(18)代入力平衡條件式(17)得

(20)

其中，

結(jié)合式(19)、式(20)，得到透射矩陣與反射矩陣

(21)

(22)

1.2 邊界處

如圖3所示，正行入射波c+在彈性邊界處反射，生成負(fù)行反射波c-。入射波與反射波之間的關(guān)系是

(23)

在x=0處的力平衡條件

Q-+KVV-=0，M--KRΘ-=0，N-+KNU-=0

(24)

將位移表達(dá)式(10)～式(12)，內(nèi)力表達(dá)式(18)代入力平衡條件式(24)得

(25)

其中，

因此，彈性邊界處的反射矩陣為

(26)

1.3 變截面處

圖4所示的截面突變發(fā)生在x=0處，正行入射波c+在此處產(chǎn)生正行透射波g+及負(fù)行反射波c-。

變截面處透射矩陣、反射矩陣與振動(dòng)波之間的關(guān)系見式(9)，變截面處兩端位移關(guān)系式見式(16)，力平衡條件為

Q-=Q+，M-=M+，N-=N+

(27)

將式(10)～式(15)代入位移連續(xù)條件式(16)得

(28)

其中，

將位移表達(dá)式(10)～式(15)，內(nèi)力表達(dá)式(18)代入力平衡條件式(27)得

(29)

其中，

式中：幾何及材料參數(shù)下標(biāo)1為左邊梁，下標(biāo)2為右邊梁；波數(shù)和位移系數(shù)比例上標(biāo)L為左梁，上標(biāo)R為右梁。

結(jié)合式(28)、式(29)，得到透射矩陣與反射矩陣

(30)

(31)

1.4 轉(zhuǎn)角處

如圖5所示，在橫梁和豎梁90°轉(zhuǎn)角處，正行入射波c+在此處產(chǎn)生透射波g+及負(fù)行反射波c-，選擇轉(zhuǎn)角處為x=0。

根據(jù)圖5中位移及力的分析，在變截面處位移連續(xù)條件

力平衡條件

式中：下標(biāo)1為橫梁的相關(guān)參數(shù)；下標(biāo)2為豎梁的相關(guān)參數(shù)；下標(biāo)J為連接塊的相關(guān)參數(shù)，字母J為連接塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；“··”為對(duì)時(shí)間求兩階偏導(dǎo)；h1為橫梁截面寬度；h2為豎梁截面寬度。

消去連接塊的量，得到位移連續(xù)條件式(32)，力平衡條件式(33)

(32)

(33)

橫梁上的位移由正行波c+和負(fù)行波c-組成，因此其表達(dá)式為

(34)

(35)

(36)

豎梁上的位移由正行波g+組成，因此其表達(dá)式為

(37)

(38)

(39)

式中： 上標(biāo)H為橫梁的相關(guān)參數(shù)；上標(biāo)V為豎梁的相關(guān)參數(shù)。

將位移表達(dá)式(34)～式(39)及內(nèi)力表達(dá)式(18)分別代入式(32)、式(33)，得到內(nèi)力平衡方程組

(40)

其中，

位移連續(xù)方程組

(41)

其中，

結(jié)合式(40)、式(41)，得到透射矩陣與反射矩陣

(42)

(43)

2 算 例

表1給出了一個(gè)圓形截面梁的幾何與物理參數(shù)，其中：υ為泊松比；R為梁截面半徑；剪切因子k是根據(jù)Cowper[21]對(duì)圓形截面的研究所取。

表1 計(jì)算模型的參數(shù)Tab.1 Parameters of the model

下面的算例基本采用表1中的參數(shù)，出現(xiàn)其他參數(shù)時(shí)會(huì)在相應(yīng)算例中加以說明。

2.1 驗(yàn) 證

從圖6可以看出，透射矩陣每列元素的幅值相等，反射矩陣每行的元素幅值相等，且本文推導(dǎo)結(jié)果與Mei等的研究結(jié)果完全吻合，證明了本文推導(dǎo)的正確性。

2.2 彈性支撐處

針對(duì)表1所給的模型參數(shù)，在其中部模擬簡(jiǎn)支支撐。各質(zhì)量偏心率下透射矩陣元素的幅值如圖7所示，反射矩陣元素的幅值如圖8所示。

由圖7可知，不存在質(zhì)量偏心時(shí)：①彎曲波透射矩陣的每列元素幅值相等，即入射衰減波對(duì)透射衰減波和傳播波的貢獻(xiàn)度相等，入射傳播波也具有相同特點(diǎn)；②縱向波完全透射。

存在質(zhì)量偏心時(shí)：①隨著質(zhì)量偏心率的提高，截止頻率會(huì)下降，在ee=0.9時(shí)，截止頻率下降到未偏心的1/2左右，在圖7的黑色實(shí)線，也就是與透射衰減波有關(guān)的曲線中均有所體現(xiàn)；②入射衰減波對(duì)透射衰減波貢獻(xiàn)受偏心影響不大，一直處于主導(dǎo)地位，對(duì)透射傳播波貢獻(xiàn)度隨偏心率增大而減小，對(duì)透射縱向波的貢獻(xiàn)度隨著偏心率增大而增大；③入射傳播波對(duì)透射衰減波貢獻(xiàn)受偏心影響不大，超過截止頻率后一直處于次要地位，對(duì)透射傳播波及縱向波的貢獻(xiàn)度，隨著偏心率增大而增大；④入射縱向波對(duì)透射傳播波及縱向波在低頻時(shí)貢獻(xiàn)較大，隨著頻率及偏心率的增大，其對(duì)透射的三種波型貢獻(xiàn)明顯減小。

對(duì)于反射特性，不存在質(zhì)量偏心時(shí)：①彎曲波反射矩陣的每行元素幅值相等，即入射衰減波及傳播波對(duì)反射彎曲波擁有同樣的貢獻(xiàn)度，其中，對(duì)反射衰減波的貢獻(xiàn)度均較小，對(duì)反射傳播波的貢獻(xiàn)度均較大；②縱向波無反射。

存在質(zhì)量偏心時(shí)：①反射矩陣中每一列的元素幅值相等，也就是說入射的三種波型對(duì)反射波有相同的貢獻(xiàn)；②以入射衰減波為例，它對(duì)反射衰減波貢獻(xiàn)度受偏心影響不大，但其對(duì)反射傳播波及縱向波的貢獻(xiàn)度，隨著頻率及偏心率的增大，分別減小和增大。

2.3 邊界處

針對(duì)表1所給的模型參數(shù)，在其右端模擬簡(jiǎn)支支撐，由于不存在透射，只給出反射曲線，如圖9所示。

從圖9可以看出，反射矩陣對(duì)角元素的幅值是1，非對(duì)角元素均為零，也就是說三種入射波型并不會(huì)產(chǎn)生耦合和轉(zhuǎn)變，并且質(zhì)量偏心對(duì)此并無影響。

2.4 變截面處

三組入射波從半徑為0.2 m的梁段入射至0.15 m的梁段，其他參數(shù)與表1一致，其透射矩陣第1、第2、第3列元素的幅值如圖10所示；其反射矩陣第1、第2、第3列元素的幅值如圖11所示。

通過圖11可以看出，反射矩陣并不是對(duì)角占優(yōu)矩陣，彎曲衰減波對(duì)反射彎曲傳播波的貢獻(xiàn)隨著偏心率的增大而減小，彎曲傳播波對(duì)反射彎曲傳播波及縱向波的貢獻(xiàn)，隨著偏心率的增大而增大，在偏心率ee>0.6 時(shí)尤為顯著。

2.5 轉(zhuǎn)角處

三組入射波從半徑為0.2 m的橫梁入射至0.15 m的豎梁，其他參數(shù)與表1一致，其透射矩陣第1、第2、第3列元素的幅值如圖12所示。其反射矩陣第1、第2、第3列元素的幅值如圖13所示。

從圖12可以看出，透射矩陣第1列元素的幅值在豎梁截止頻率處均有波谷，即三組入射波在豎梁截止頻率處對(duì)彎曲衰減波的貢獻(xiàn)均為極小值，在變截面處，即圖10中亦有此特點(diǎn)。隨著偏心率的增大，彎曲衰減波、傳播波對(duì)縱向波的貢獻(xiàn)均變大，而縱向波對(duì)彎曲波的貢獻(xiàn)卻變小。

從圖13可以看出，圖13(b)、圖13(c)中黑色曲線在橫梁截止頻率處均有波谷，即彎曲傳播波與縱向波在橫梁截止頻率處對(duì)彎曲衰減波的貢獻(xiàn)均為極小值，此特點(diǎn)與變截面處，即圖11中所示亦相同。隨著偏心率的增大，彎曲衰減波、傳播波對(duì)縱向波的貢獻(xiàn)均變大，而縱向波對(duì)彎曲波的貢獻(xiàn)卻變小。

3 結(jié) 論

本文針對(duì)質(zhì)量偏心梁的彎-縱耦合振動(dòng)，以彎曲衰減波、彎曲傳播波、縱向波這三組波的反射與透射為研究對(duì)象，推導(dǎo)了在彈性支撐處、邊界處、變截面處、轉(zhuǎn)角處的反射、透射矩陣，并給出算例，重點(diǎn)分析了質(zhì)量偏心下這三組波的耦合與波型轉(zhuǎn)變。得到以下結(jié)論：

(2) 隨著偏心率或頻率提高，彎曲波對(duì)縱向波貢獻(xiàn)變大。通過式(3)得到的系數(shù)B和C關(guān)系式可以看出，縱向波系數(shù)與彎曲波系數(shù)之間的比值與eω2成正比。因此，彎曲波在偏心率或頻率提高時(shí)，其對(duì)縱向波貢獻(xiàn)變大。

(3) 在邊界處，三種入射波型并不會(huì)產(chǎn)生耦合和轉(zhuǎn)變，并且質(zhì)量偏心對(duì)此無影響。

(4) 波入射位置存在截面尺寸變化時(shí)，彎曲衰減波的透射系數(shù)在新尺寸對(duì)應(yīng)的截止頻率處有極小值。這是由于彎曲衰減波在此截止頻率處轉(zhuǎn)變?yōu)榱藦澢鷤鞑ゲā?/p>

附錄A

對(duì)于正文圖1中的梁?jiǎn)卧?，根?jù)縱向力平衡關(guān)系

(A.1)

根據(jù)剪力平衡關(guān)系

(A.2)

根據(jù)彎矩平衡關(guān)系

(A.3)

式中：Q為剪切力；N為軸向力；M為彎矩；γ為剪切應(yīng)變；θ為轉(zhuǎn)動(dòng)角度；v為梁的橫向位移；u為梁的縱向位移；I為梁截面的截面慣性矩；ρ為梁的密度；A為梁的截面面積，本文研究對(duì)象是沿長度方向均勻的梁，因此上述梁的幾何參數(shù)和物理參數(shù)沿梁的長度方向均為常數(shù)。

Timoshenko梁中內(nèi)力和位移之間的關(guān)系為

(A.4)

(A.5)

(A.6)

將式(A.4)～式(A.6)代入式(A.1)和式(A.2)，經(jīng)過整理，即可得到質(zhì)量偏心Timoshenko梁的彎-縱耦合控制方程式(A.7)，即正文中的式(1)。

(A.7)