基于U模型的模糊免疫自抗擾控制方法研究

韓明秀，王海紅

(青島科技大學 信息科學技術學院, 山東 青島 266061)

0 引言

非線性系統(tǒng)控制是自然界和工程領域中最為一般的控制問題，非線性系統(tǒng)往往具有復雜的特性，很難建立精確數(shù)學模型。為獲得良好的控制效果，提出了分段線性化法、點線性化法和反推法等方法，雖然這些方法可以解決部分非線性問題，但在對非線性對象進行線性化的過程中，會出現(xiàn)缺失項等問題。根據非線性模型的結構特點，NARMAX[1]、Hammerstein[2]等近似模型被應用在非線性系統(tǒng)控制中，這些模型可以很好地描述非線性系統(tǒng)的結構，但隨著階數(shù)增加，參數(shù)變多，從而模型結構辨識困難，控制系統(tǒng)計算復雜[3]。

U模型是朱全民教授提出的一種非線性系統(tǒng)近似模型設計方法[4]。該方法通過設計控制器所得的系統(tǒng)偽輸入來構造非線性方程，用牛頓迭代法求解方程得到非線性系統(tǒng)的真實輸入[5]，從而完成控制系統(tǒng)設計。U模型在非線性控制系統(tǒng)設計中的如下特點使其得以廣泛應用：

1)在方法上，通過U模型方法，應用在線性系統(tǒng)的方法可以直接應用于非線性控制系統(tǒng)設計，這顯著降低了設計復雜度并有效地提供了直接的計算算法。

2)在設計中，它首先獲得期望的受控對象輸出，然后在方程根求解中從U模型中計算出控制器輸出。

3)對于非線性控制系統(tǒng)設計，它在更通用和更有效的框架內提供了新的見解和解決方案。

自U模型提出以來，基于U模型的控制系統(tǒng)設計方法被廣泛研究，包括基于U模型的極點配置方法[6]，將線性極點配置方法通過U模型設計方法應用到非線性控制系統(tǒng)設計中，使得非線性模型的動態(tài)行為可以通過零極點位置進行確定；U模型神經網絡方法[7-8]，利用U模型時變參數(shù)辨識的信息構建神經網絡控制器，對數(shù)據易得的非線性系統(tǒng)進行控制；U模型自適應控制方法[9-11]，用于控制一類未知參數(shù)的隨機非線性離散時間對象，將未知系統(tǒng)基于U模型框架對U模型表達式中的時變系數(shù)進行辨識，并按極點配置的方法設計極點配置控制器，實時更新參數(shù)進行控制器參數(shù)的適應性修正實現(xiàn)自適應控制。U模型方法將非線性對象轉化為關于控制輸入的多項式形式，從而將線性系統(tǒng)的控制方法應用在解決非線性系統(tǒng)控制問題中，可以有效提高處理非線性系統(tǒng)的能力并簡化非線性控制系統(tǒng)設計過程[12]。

實際控制過程中，擾動、噪聲等不確定性因素不可避免，這些不確定性影響實際工程系統(tǒng)設計過程，因此，這也成為控制設計需要考慮的關鍵問題。針對這一問題，眾多學者提出了許多相關的解決方案[13-14]，其中，自抗擾控制(ADRC，active disturbance rejection control)方法將系統(tǒng)所有未知因素歸結為總擾動，設計有兩個獨立的控制回路：滿足所需跟蹤性能的非線性狀態(tài)反饋(NLSEF, nonlinear state error feedback)控制器和估計系統(tǒng)干擾和不確定性的擴張狀態(tài)觀測器(ESO, extended state observer)，能夠解決系統(tǒng)在未知擾動存在下的跟蹤控制問題[15]，便于控制設計。

U模型作為非線性控制系統(tǒng)設計中一種有效近似模型設計方法，被應用在ADRC中，用U模型描述ADRC方法的受控對象，設計基于U模型的自抗擾(UADRC, U model based active disturbance rejection control)控制系統(tǒng)，通過設計包含被控對象逆模型的控制律,將受控對象轉換為一個單元，最小化系統(tǒng)輸入輸出之間的滯后，簡化了非線性系統(tǒng)ADRC方法的設計過程。在UADRC方法中如果ESO運行良好，受控對象也可以動態(tài)轉換為一個單元，并且可以減少穩(wěn)定高階積分器的難度。相反，如果ESO性能不完美，則需要更強大的控制器來減少不準確的總干擾估計和不完美的變換或近似的影響，那么也可以獲得更好的性能。除此之外，在基于U模型的ADRC設計過程中，控制器通常不能兼顧跟蹤誤差和系統(tǒng)響應速度[16]，因此，為解決上述問題，在ESO設計環(huán)節(jié)，基于U模型方法所描述系統(tǒng)進行擾動觀測設計。在NLSEF環(huán)節(jié)，引入模糊免疫(FI, fuzzy immune)控制機制，將免疫機理與模糊算法相結合，設計基于U模型的模糊免疫自抗擾控制(FI-UADRC，fuzzy immune active disturbance rejection control based on U model)系統(tǒng)，通過抑制機理和反饋機理實現(xiàn)非線性智能反饋，解決穩(wěn)定性和快速性之間的矛盾[17]。

綜上所述，本文基于UADRC的抗擾性能和FI的自適應性，給出一種FI-UADRC控制系統(tǒng)設計方法，將實現(xiàn)過程安排如下：

1)將非線性多項式模型轉換為U模型表達式(不是線性近似)，以降低計算難度。

2)利用系統(tǒng)控制輸入與受控對象U模型輸出來構建擴張狀態(tài)觀測器估計擾動，進行補償控制。

3)在非線性反饋環(huán)節(jié)設計中引入模糊免疫機制，在跟蹤控制過程中對擾動進行抑制的同時實現(xiàn)參數(shù)自整定。

4)最后通過仿真實驗驗證FI-UADRC方法的有效性和優(yōu)越性。

本文的其余部分分為以下幾節(jié)。

在第1節(jié)中，給出了U模型定義并對U模型方法進行非線性模型轉換的過程進行詳細描述。在第2節(jié)中，逐步實現(xiàn)了基于 U模型的模糊免疫控制系統(tǒng)設計過程，包括擴張狀態(tài)觀測器設計和模糊免疫控制器設計，在第3節(jié)中，對第2節(jié)相關參數(shù)設置進行分析，并對基于U模型的模糊免疫自抗擾控制系統(tǒng)設計方法實現(xiàn)步驟進行概括，為應用提供保障。在第4節(jié)中，引入相關引理進行一系列證明，證明所提出方法的理論可行性。在第5節(jié)中，選擇已知系統(tǒng)的Hammerstein模型、CSTR動態(tài)過程進行仿真實驗，以展示U模型框架內模糊免疫自抗擾控制方法的可行性。在第6節(jié)中，分析實驗結果對研究方法進行總結。

1 非線性系統(tǒng)模型轉換

FI-UADRC控制系統(tǒng)包括非線性系統(tǒng)U模型和基于U模型的控制器。本章介紹U模型的實現(xiàn)。

對于SISO(單輸入-單輸出)非線性系統(tǒng)，基于U模型的控制原理如圖1所示。

圖1 U模型控制原理圖

f(t)(RM+1→R)為系統(tǒng)擾動項，滿足Lipschitz條件且|f(t)|≤ξ,ξ∈N，基于U模型的非線性系統(tǒng)描述為：

(1)

其中:y(t)∈R和u(t-1)∈R為在離散時刻t∈(1,2，…)系統(tǒng)的輸出、輸入信號；j代表系統(tǒng)階數(shù)，M代表u(t-1)的最高階，參數(shù)αj(t)∈RM+1為過去時刻輸入和輸出的函數(shù)(u(t-2),…,u(t-n),y(t-1),…y(t-n))。

U(t)為通過設計Gc所得的系統(tǒng)的偽輸入，是包含了非線性系統(tǒng)真實輸入的非線性方程，可以通過求解U(t)=y(t)獲得，通常采用牛頓迭代算法，算法描述如下：

uk + 1(t-1)=uk(t-1)-

(2)

其中:k是迭代的次數(shù)，k>0，uk+1(t)是從uk(t)迭代獲得的?？梢钥闯?，在非線性系統(tǒng)U模型的轉換過程中，系統(tǒng)控制輸入取自牛頓迭代公式的解，基于U模型的控制系統(tǒng)設計不要求在設計中對非線性對象模型進行線性化，只是使用線性設計方法直接設計基于非線性對象U模型的控制系統(tǒng)[18]，因此，非線性系統(tǒng)U模型的變換不會丟失原被控對象的任何信息，保證了模型的高精度。

綜上所述，U 模型與牛頓迭代公式越匹配，控制效果越好，當轉換后的系統(tǒng)模型完美匹配時，Gu=1，系統(tǒng)輸出可以趕上系統(tǒng)輸入。在實際控制系統(tǒng)設計過程中，完美匹配是很難做到的，主要原因是：迭代算法的度數(shù)是有限的，模型不能完全匹配。因此需要設計控制器進行控制。

設計控制器時，可以先用線性控制方法設計U(t)，然后用牛頓迭代算法求解，最后輸入到實際對象中得到實際輸出，下面將基于U模型設計方法展開Gc的實現(xiàn)過程。

2 FI-UADRC控制系統(tǒng)設計

基于U模型的模糊免疫自抗擾控制器的設計過程主要分為兩部分：ESO環(huán)節(jié)和NLSEF環(huán)節(jié)。

本章將基于系統(tǒng)，在ESO環(huán)節(jié)觀測擾動f(t)，實現(xiàn)擾動抑制補償控制；用FI控制方法設計NLSEF環(huán)節(jié)得到U(t)，經反饋補償獲得U1(t)，通過式求解U1(t)=y(t)獲得控制率跟蹤期望輸出r(t)，實現(xiàn)如下控制目標：

e(t)→0

(3)

且|e(∞)|≤ζ,ζ∈N。詳細實現(xiàn)如下所述。

2.1 ESO(擴張狀態(tài)觀測器)設計

擾動因素在非線性系統(tǒng)控制過程中不可避免，為實現(xiàn)控制目標，針對抵抗擾動這一控制需求，設計有ESO環(huán)節(jié)對總擾動進行估計補償，從而保證控制系統(tǒng)對未知干擾具有足夠的魯棒性[19]。

針對系統(tǒng)中擾動項f(t)，設計系統(tǒng)偽輸入U1(t)，使得：

(4)

基于U模型的自抗擾控制思想中，受擾動影響的系統(tǒng)輸出y可以描述為：

(5)

采用如下所示的ESO環(huán)節(jié)對擾動進行觀測[20]：

(6)

其中:z1,z2為ESO觀測輸出，分別描述系統(tǒng)輸出y和總擾動f的觀測量，ε1為系統(tǒng)輸出的觀測誤差，β1,β2為ESO的可調參數(shù)，和仿真步長h有關[20]。為消除影響，將U1設計為：

U1=U-z2

(7)

將式(7)代入式(3)則有：

(8)

擾動補償過程如圖2所示。

圖2 擾動補償過程示意圖

綜上所述，理想情況下當ε=0時，f對系統(tǒng)的影響能夠通過式(6)進行完全補償。ε=f-z2為擾動觀測誤差，同樣，當ε1=0時系統(tǒng)誤差通過期望輸出r(t)和系統(tǒng)輸出的觀測值z1描述如下所示：

e(t)=r(t)-z1

(9)

在自抗擾方法的實際應用過程中法發(fā)現(xiàn)，ε1，ε可以通過選擇合適的觀測器帶寬w0來盡可能減小，規(guī)避因ESO設計不當對控制效果產生的不良影響[21]。

2.2 FI控制器設計

在基于U模型的自抗擾方法中，非線性反饋控制環(huán)節(jié)參數(shù)整定過程自適應性較差，不能兼顧動態(tài)性能和靜態(tài)性能、期望值跟蹤和擾動抑制之間的協(xié)調關系[16]，為此引入模糊免疫機制[17]。免疫控制是利用免疫系統(tǒng)對抗原的適應性調節(jié)功能，達到良好的控制效果。因此，控制系統(tǒng)具有很強的魯棒性。

免疫系統(tǒng)對于入侵抗原的響應迅速而穩(wěn)定。一方面抗體要快速消除外來入侵，另一方面抗體濃度不能太高，所以必須控制抗體濃度。免疫系統(tǒng)可以產生抗體來抵抗入侵的抗原，抗體是問題的關鍵。生物的免疫系統(tǒng)由淋巴細胞和抗體分子組成，淋巴細胞主要由T細胞和B細胞組成，T細胞分為TH(輔助細胞)和TS(抑制細胞)。當抗原進入體內并被周圍細胞消化后，T細胞會收到信息然后刺激B細胞產生抗體來消除抗原?？乖龆?，TH細胞增多，TS細胞減少，從而產生較多的B細胞。相反，TH細胞變少，TS細胞增多，B細胞減少。很快，免疫反饋系統(tǒng)在抑制機理和反饋機理的共同作用下會趨于平衡[22]。第j代的抗原數(shù)量可以等效于控制系統(tǒng)第t個采樣時刻的給定值與輸出值的偏差e(t)，第j代抗原刺激產生的TH細胞數(shù)量為TH(j)，TS細胞對B細胞的抑制作用為TS(j)，則第j代B細胞所受刺激為：

S(j)=TH(j)-TS(j)

(10)

其中：TH(j)=k1e(t),TS(j)=k2g(Δs(j))e(t)，第j代B細胞濃度S(j)相當于第t個采樣時刻的模糊免疫控制器輸出U(t)，則有：

U(t)=(k1-k2g(U(t),ΔU(t))e(t)=

K(1-ρg(U(t),ΔU(t))e(t)

(11)

設參數(shù)K(1-ρg(U(t),ΔU(t))=K*，通過一般系統(tǒng)階躍響應特性對參數(shù)變化進行分析：在系統(tǒng)響應上升到達穩(wěn)態(tài)值之前，為了加快系統(tǒng)的響應速度，參數(shù)K*的初始值應該比較大。同時，為盡量避免超調，當誤差值e(t)逐漸減小時，參數(shù)K*也應隨之減小。在響應從穩(wěn)態(tài)值上升到達峰值之前的階段，為了增加控制器的抑制作用，減小系統(tǒng)的超調量，應逐漸減小參數(shù)K*。從峰值回落到穩(wěn)態(tài)值的階段，為了使系統(tǒng)的實際輸出快速回到期望點，避免大慣量，應逐漸減小參數(shù)K*。在從峰值回落到期望值的慣性調節(jié)階段，為了減小誤差e(t)，參數(shù)K*應該增加，這與響應從穩(wěn)態(tài)值上升到達峰值之前的階段相同。綜上所述，K*隨誤差e(t)的變化規(guī)律為：當e(t)→±∞時，K*取最大值。e(t)=0時，K*取最小值；K影響K*的變化區(qū)間，K*的變化率可以通過改變ρ來調整。

由以上分析可以看出，免疫機制將控制目標轉化為參數(shù)K,ρ的調節(jié)，K影響系統(tǒng)響應速度，間接影響穩(wěn)態(tài)誤差，ρ影響系統(tǒng)的穩(wěn)定度。由此可以看出，模糊免疫控制的優(yōu)勢是可以通過調整參數(shù)K,ρ來解決響應速度和超調之間的沖突，犧牲了系統(tǒng)復雜度，但提升了控制器自適應能力[23]。

3 FI-UADRC參數(shù)設置

基于上述分析，為實現(xiàn)擾動抑制和跟蹤控制兩個控制目標，將模糊免疫與基于U模型的自抗擾控制方法相結合，采用U模型的控制方法對非線性系統(tǒng)進行處理所得的FI-UADRC控制系統(tǒng)框架如圖3所示。

圖3 FI-UADRC控制系統(tǒng)框架圖

基于U模型的模糊免疫自抗擾控制系統(tǒng)控制方程有：

(j=1,2,…,n-1)

(12)

系統(tǒng)可調節(jié)參數(shù)有模糊免疫控制環(huán)節(jié)的K,ρ,g(*)和ESO環(huán)節(jié)的β1,β2。有仿真研究表明β1,β2分別和仿真步長h以及1/5h2成反比[24]。利用模糊規(guī)則可以逼近任意非線性函數(shù)，本文設計一個二維的模糊調節(jié)器來逼近非線性函數(shù)g(*)，U(t),ΔU(t)的取值范圍[25]可得：

(13)

設計U(t),ΔU(t)={1，-1}，模糊子集為“正”(P)和“負”(N)，則模糊比例因子[25]為：

設計g(*)的模糊集域為{1,0,-1}，模糊集為“正”(P)，“零”(Z)和“負”(N)。模糊推理采用Zadeh的模糊邏輯AND操作，并采用常用的mom反模糊化方法得到g(*)[26]，則有：

-1≤g(*)≤1,K>0,ρ>0

(14)

根據模糊語言規(guī)則，當U(t)和ΔU(t)正向增加時，為了減小超調，應使g(*)減小從而增大K*。當U(t)和ΔU(t)都處在中間值時，為了防止偏差ΔU(t)急劇變化，加快系統(tǒng)響應，應使g(*)增大從而減小K*。當偏差ΔU(t)減小時，應適當增大g(*)，保持系統(tǒng)穩(wěn)定。綜上，模糊規(guī)則設置如下：

采用三角形隸屬度函數(shù)且所有隸屬度函數(shù)都定義在整個(-∞,+∞)區(qū)間，如圖4～5所示。

圖4 U(t),ΔU(t)隸屬度函數(shù)

圖5 g(*)隸屬度函數(shù)

綜上所述，F(xiàn)I-UADRC控制系統(tǒng)實現(xiàn)過程為：

Step1：根據第4節(jié)中所給方法選擇g(*)模糊集，定義圖4、5輸入輸出隸屬度函數(shù)，建立表1所示的模糊控制表，根據模糊規(guī)則進行模糊推理得出g(*)；

表1 g(*)模糊規(guī)則表

Step2：將Step1所得g(*)代入式(11)求得控制器輸出U(t)，同式(6)代入式(7)，求得擾動補償后的控制器輸出U1(t)；

Step3：由式(6)所得z1,z2作為擴張觀測反饋量，對擾動f進行補償，實現(xiàn)式(4)；

Step4：根據U(t),ΔU(t)按表3規(guī)則，修正式(2)參數(shù)g(*)，更新U1(t)；

Step5：將所得U1(t)代入式(4)；

Step6：由牛頓迭代法求解式(4)得u(t-1)。

下面將基于以上設計思路，選用非線性系統(tǒng)模型做U模型轉換，進行系統(tǒng)分析和仿真實驗。

4 系統(tǒng)分析

從圖2可以看出，當Gu=1時系統(tǒng)為線性，閉環(huán)系統(tǒng)輸出取決于r(t),ε(t),ε1(t)。對于觀測的系統(tǒng)輸出誤差ε1和總干擾誤差ε有以下引理：

引理1：存在觀測帶寬w0，使得當f變化率有界時，ε1,ε在有限時間內是有界的[27]。估計誤差的界限與觀測帶寬成反比。

引理2：對于一個工程系統(tǒng)來說，它的力量總是有限的，因此，可以合理地假設總擾動的變化率是有界的。

基于引理1、2及文獻[16]，|ε(t)|≤σ,|ε1(t)|≤σ，σ>0，從而ε(t),ε1(t)是圖2所示閉環(huán)系統(tǒng)的有界輸入信號。設ε(t)=σsinωt,ε1(t)=σsinω1t,r(t)=A·1(t)(A和1(t)分別表示信號幅度和單位階躍信號)，則有：

(15)

穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為：

(16)

從而有：

(17)

由式(17)可以看出，穩(wěn)態(tài)誤差同觀測誤差成正比，同時，分別與ρ,K成正比和反比。為實現(xiàn)式控制目標，適當增大ρ可以減小系統(tǒng)超調量，通過提高ESO估計能力也可以減小誤差，本文取w0=1/2h[28]來減小觀測誤差的影響。

5 仿真驗證

為了驗證FI-UADRC控制系統(tǒng)的有效性和優(yōu)越性，做如下仿真實驗進行說明。

仿真1：為驗證U模型方法可以簡化控制器設計中的計算過程，采用文獻[6]中4.1所示Hammerstein模型進行仿真。

(18)

首先將式轉換為U模型形式：

y(t)=α0(t)+α1(t)u(t-1)+

α2(t)u2(t-1)+α3(t)u3(t-1)

(19)

α0(t)=0.5y(t-1)+1+0.3x(t-2),α1(t)=1,α3(t)=0.2。

將式(12)與(19)聯(lián)立，通過式(2)進行迭代可得非線性系統(tǒng)真實控制輸入u(t-1)。

仿真步長為1，K=0.3，ρ=0.3。假設擾動項g(t)=0.1 sin(0.03πt),仿真結果如圖6、7所示。

圖6 系統(tǒng)輸出y(t)與期望輸出r(t)

圖7 系統(tǒng)控制輸入u(t-1)

由仿真1過程可以看出，U模型表達形式可以從已知模型轉換而來，充分利用了基于模型的控制系統(tǒng)設計方法的已有研究成果。U模型方法所描述的系統(tǒng)是包含系統(tǒng)真實控制輸入的多項式結構，基于這種多項式結構，采用牛頓迭代方法求解非線性數(shù)學方程就能求取系統(tǒng)控制輸入，求解過程簡單。且所得的控制輸入平滑，系統(tǒng)輸出能較好跟蹤期望輸出，保證了良好跟蹤控制效果。

仿真2：為體現(xiàn)FI-UADRC控制方法的優(yōu)越性，采用FI-UADRC，UADRC兩種方法對CSTR動態(tài)過程進行仿真實驗。其中y描述反應釜輸出，u表示反應物流量，描述為反應釜控制輸入。在控制器和被控系統(tǒng)之間加入零階保持器，CSTR動態(tài)過程取采樣周期Ts=0.05，采用U模型方法可以描述為[29]：

y(t)=0.8606y(t-1)-0.0401y2(t-1)+

0.0020y3(t-1)+[0.0464-0.045y(t-1)+

0.0034y2(t-1)]u(t-1)+

[-0.0012+0.0013y(t-1)]u2(t-1)

(20)

K=0.2，ρ=0.3，h=0.1，設擾動具有g(t)=5sin(0.5t)形式,UADRC參數(shù)設置同文獻[16]，控制效果對比如圖8～9所示。

圖8 CSTR系統(tǒng)輸出y(t)和期望輸出r(t)

從圖8可以看出，F(xiàn)I-UADRC控制系統(tǒng)在持續(xù)擾動下仍能較好地跟蹤期望輸出軌跡，相較于UADRC，調節(jié)時間短，跟蹤誤差小，具體數(shù)據如表2所示。

表2 FI-UADRC與UADRC動態(tài)性能對比數(shù)據

如圖9所示，兩種方法的系統(tǒng)誤差均收斂到0，但在期望值發(fā)生大的跳變時，兩種方法的系統(tǒng)誤差均出現(xiàn)一定波動，而基于U模型的模糊免疫自抗擾控制系統(tǒng)相對于改進前的U模型自抗擾方法對于系統(tǒng)本身的劇烈變化反應迅速，在較短時間內回復穩(wěn)態(tài)值。由仿真2實驗結果可以看出，基于免疫控制的自適應調節(jié)功能，基于U模型的模糊免疫自抗擾控制系統(tǒng)具有更強的魯棒性。

圖9 FI-ADRC控制CSTR過程系統(tǒng)誤差e(t)

綜合上述仿真實驗分析，基于U模型的模糊免疫自抗擾控制方法求取系統(tǒng)控制輸入過程簡單，并且能夠較為準確的跟蹤理想輸出，且在擾動存在的情況下，能夠有效抵抗擾動對非線性系統(tǒng)的不良影響，使控制輸入較為平滑。

6 結束語

本文針對一類非線性系統(tǒng)擾動抑制問題，引入U模型方法進行被控對象建模，有效降低了非線性系統(tǒng)控制律求解的計算難度。結合模糊免疫控制算法和U模型自抗擾控制方法提出基于U模型的模糊免疫自抗擾控制系統(tǒng)設計方法，設計擴張狀態(tài)觀測器，對系統(tǒng)不確定性以及外部擾動進行觀測補償，實現(xiàn)擾動抑制，改進U模型自抗擾控制方法的非線性反饋環(huán)節(jié)，實現(xiàn)系統(tǒng)擾動下的精確跟蹤控制。通過仿真對比驗證，可以看出基于U模型的模糊免疫自抗擾控制方法抗擾性能優(yōu)于U模型自抗擾控制方法，跟蹤誤差更小，反應速度更快，有效抑制擾動影響的同時實現(xiàn)了跟蹤控制。