基于多目標(biāo)粒子群優(yōu)化的同心圓環(huán)陣列方向圖綜合算法

王新寬，王桂寶，黃朝軍，熊召新

(陜西理工大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，陜西 漢中 723001)

0 引 言

同心圓環(huán)陣列天線(concentirc ring antenna array, CRAA)的天線單元均勻分布在以口徑中心為圓心的一系列同心圓環(huán)上，其特點是可以產(chǎn)生繞方位角旋轉(zhuǎn)對稱的方向圖，從而被應(yīng)用在無線電測向、聲吶、導(dǎo)航[1]、雷達(dá)、射電天文、衛(wèi)星通信等領(lǐng)域[2-3]。針對CRAA的方向圖優(yōu)化方案主要包括確定性算法[4-6]、智能優(yōu)化算法[7-12]及一些結(jié)合智能優(yōu)化算法的混合設(shè)計方案[13-14]，其中又以基于后兩類算法的設(shè)計最為普遍。典型工作包括：文獻(xiàn)[6]根據(jù)第1類貝塞爾函數(shù)的特性，實現(xiàn)了一種具有低旁瓣、寬帶特性和大角度掃描功能的CRAA；文獻(xiàn)[7]利用遺傳算法(genetic algorithm, GA)對CRAA進(jìn)行了優(yōu)化；文獻(xiàn)[8]提出了一種基于修正GA的降維優(yōu)化方法，把二維陣列的優(yōu)化降維成一維直線陣來降低算法的復(fù)雜度；文獻(xiàn)[9]利用一種修正實數(shù)編碼遺傳算法(modified real genetic algorithm, MGA)，通過優(yōu)化圓環(huán)半徑來抑制峰值旁瓣電平；文獻(xiàn)[10]提出了一種改進(jìn)的整數(shù)遺傳算法(improved integer genetc algorithm, IIGA)，通過對編碼、交叉、變異等策略進(jìn)行改進(jìn)，使算法能以較少的運算負(fù)擔(dān)，收斂到滿意解，且可應(yīng)用于優(yōu)化單元數(shù)達(dá)上千的陣列；文獻(xiàn)[11]把迭代傅里葉變換(iterative Fourier transform, IFT)和差分進(jìn)化算法(differential evolution, DE)結(jié)合起來，應(yīng)用于降低圓平面陣列的旁瓣電平，該算法能夠較大程度縮減DE的尋優(yōu)空間，具備較快收斂的特點；文獻(xiàn)[12]應(yīng)用粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)，對圓平面陣列的單元數(shù)及口徑尺寸進(jìn)行優(yōu)化，降低了波束寬度和旁瓣電平。除此之外，文獻(xiàn)[13]提出的混合策略(hybird strategy, HS)、文獻(xiàn)[14]基于布谷鳥搜索的算法，均可有效抑制不同口徑CRAA的旁瓣電平。

以GA為代表的智能優(yōu)化算法，因其良好的魯棒性、自學(xué)習(xí)性、內(nèi)在的并行性等特點，在CRAA及各種其它陣列[15-17]的方向圖優(yōu)化中得到了廣泛應(yīng)用。然而，此類算法僅限于優(yōu)化單元數(shù)和口徑較小的陣列。對單元數(shù)達(dá)上千的大型陣列，個體變量的增加導(dǎo)致搜索空間急劇擴大，再加上初值的隨機性，使得算法需要大量的迭代(對應(yīng)相當(dāng)大的計算負(fù)擔(dān))才可能收斂，甚至完全無法收斂。盡管文獻(xiàn)[10,13]對部分大口徑CRAA進(jìn)行了優(yōu)化，但并未給出具體的計算耗時，所得結(jié)果也非最佳結(jié)果。除此之外，絕大部分文獻(xiàn)都以降低CRAA的旁瓣電平為單一目標(biāo)，并未考慮到優(yōu)化其方向性系數(shù)(方向性系數(shù)的提升有助于增加陣列主輻射方向的靈敏度和覆蓋范圍)，通常會導(dǎo)致陣列方向性指標(biāo)的下降。

基于上述考量，以及單元密度呈錐削分布有助于抑制陣列旁瓣的思想，本文提出了一種新的密度錐削策略(new density tapering strategy, NDT)，并把它和多目標(biāo)粒子群算法[18-19](multiple objective particle swarm optimization, MOPSO)結(jié)合起來，形成一種涵蓋各種口徑CRAA，能同時優(yōu)化其旁瓣電平和方向性系數(shù)的多目標(biāo)、全局優(yōu)化方案—NDT-MOPSO。傳統(tǒng)的密度錐削策略(density tapering strategy, DT)[20-21]常需借助一些已知的連續(xù)激勵源(比如泰勒連續(xù)源)作為參考來確定單元分布，與之不同的是，在NDT中，通過引入圓環(huán)填充因子作為優(yōu)化變量來調(diào)整CRAA中不同圓環(huán)上的單元數(shù)目，只需對圓環(huán)的填充因子加以適當(dāng)約束，就可確保單元分布在總體上呈密度錐削狀態(tài)，極大增加了單元放置的靈活性。而且，圓環(huán)填充因子的引入有助于把同一圓環(huán)上單元放置的數(shù)目轉(zhuǎn)化為(0,1)的實數(shù)，使得在優(yōu)化過程中只需采取統(tǒng)一的實數(shù)編碼，極大簡化了個體變量的編碼方式，也把不同圓環(huán)上對單元個數(shù)及單元最小間距的強約束問題，轉(zhuǎn)化為只需考慮該圓環(huán)上填充因子上、下限的無約束問題，降低了算法的復(fù)雜度，有利于算法的快速收斂。具體來說，受到超低副瓣泰勒陣列(該陣列的特點是口徑中心附近單元的歸一化電流激勵值均接近于1，靠近口徑外圍的單元激勵依次減小)的啟發(fā)，NDT-MOPSO在陣列口徑上劃分出一些半徑不同的同心圓環(huán)，并確保在算法的每一次迭代中，位于口徑中心附近、約占總數(shù)一半的圓環(huán)始終處于滿陣填充狀態(tài)，而對剩余靠近口徑外圍的圓環(huán)，使圓環(huán)間距均大于半波長且以隨機方式從內(nèi)向外依次增加，并限定它們的填充因子變化范圍處于兩個隨圓環(huán)半徑的增加緩慢減小的門限之間，從而確保在優(yōu)化過程中，單元放置始終滿足密度錐削分布。把陣列口徑進(jìn)行上述劃分并確定好外圍圓環(huán)填充因子的變化范圍后，以單元最小間隔、外圍圓環(huán)之間的間距及其填充因子組成待優(yōu)化的個體向量，以低旁瓣、高方向性系數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)，利用MOPSO算法進(jìn)行優(yōu)化以尋找可行的Pareto最優(yōu)解。仿真結(jié)果表明，由于在算法前半部分采取了NDT策略，使得在優(yōu)化過程中能夠始終用一些高質(zhì)量的解來約束和指導(dǎo)MOPSO中個體粒子的進(jìn)化，最大程度避免了算法陷入隨機搜索的可能，使算法能以較小的種群規(guī)模、較少的迭代次數(shù)，收斂到可行的Pareto最優(yōu)解。

1 同心圓環(huán)陣列模型

設(shè)CRAA由一個位于口徑中心的單元和分布在L個同心圓環(huán)上的天線單元共同組成，圓環(huán)編號按照從內(nèi)向外的順序依次記作l=1,2,…,L，且把第l#圓環(huán)的半徑及其填充單元總數(shù)分別記作rl、Nl。同心圓環(huán)陣列示意圖如圖1所示。在所有單元均為等幅激勵的全向單元情況下，CRAA的方向圖函數(shù)為[7]

(1)

(1)式中：k為波數(shù)，n=1,2,…,Nl，依次表示l#圓環(huán)上，從y軸正半軸算起，沿逆時針方向的單元編號；(θ0,φ0)表示l#圓環(huán)上第n個單元的編號，φl.n代表該單元的角位置；u、v為正弦空間變量且滿足u=sinθcosφ，v=sinθsinφ，θ和φ分別對應(yīng)天頂角與方位角。若CRAA的主瓣指向(θ0,φ0)，則u0=sinθ0cosφ0，v0=sinθ0sinφ0。據(jù)此，CRAA的最大方向性系數(shù)可表示為[22]

(2)

圖1 同心圓環(huán)陣列示意圖Fig.1 Schematic diagram of CRAA

若把CRAA旁瓣區(qū)域內(nèi)所有峰值點坐標(biāo)記作集合S，該陣列的最大旁瓣電平(簡記為旁瓣電平)可表示為

(3)

根據(jù)(2)—(3)式，建立二維目標(biāo)函數(shù)向量[SLL,D0]，以下將利用MOPSO算法[19]，并結(jié)合一種新的密度錐削策略NDT，實現(xiàn)對CRAA的旁瓣電平和方向性系數(shù)的協(xié)同優(yōu)化。

2 算法步驟

如前所述算法的構(gòu)造思想，假定CRAA的口徑半徑等于R，圓環(huán)數(shù)為L，把波長記作λ，并定義口徑余量δ，表示為

δ=R-L·0.5λ, s.t.δ≥λ

(4)

據(jù)此，算法詳細(xì)步驟如下。

(5)

根據(jù)(5)式，外圍圓環(huán)的半徑rl,l0

rl0+q=(l0+q)·0.5λ+Δrq,q=1,2,…,Q

(6)

把口徑進(jìn)行上述劃分后，約占總數(shù)一半的內(nèi)部圓環(huán)均以半波長為間隔，外圍圓環(huán)的間隔均大于半波長且隨圓環(huán)半徑的增加逐漸增加。

(7)

相應(yīng)地，可得

(8)

ξ={d,τ1,τ2,…,τQ,f1,f2,…,fQ}

(9)

向量中不同變量的變化范圍需滿足

(10)

3)基于MOPSO的優(yōu)化。作為從PSO衍生出來的多目標(biāo)進(jìn)化算法，MOPSO繼承了PSO算法的特點。粒子在飛行過程中，需要不斷跟蹤并更新粒子個體以及粒子群體迄今為止的歷史最優(yōu)解來決定其下一步的飛行方向和距離[18-19]。由于PSO通常處理的是單目標(biāo)問題，故在每次迭代中，群體的歷史最優(yōu)解是單一的，算法終止后的輸出結(jié)果也是單目標(biāo)下的最優(yōu)解。與之不同的是，MOPSO算法中，歷史最優(yōu)解不再單一，而是一組Pareto最優(yōu)解，這些最優(yōu)解是互不支配的非支配解。為此，引入外部儲備集，把一定數(shù)目的非支配解放入該儲備集中，作為群體的歷史最優(yōu)解集。在算法的每次迭代中，從外部儲備集中隨機選取一個解作為歷史最優(yōu)解用以指導(dǎo)粒子的飛行，并在該次迭代結(jié)束后更新儲備集。當(dāng)算法結(jié)束后，輸出結(jié)果是一組互不支配的Pareto最優(yōu)解集，可根據(jù)不同目標(biāo)的需求選擇合適的非支配解。圖3給出了本算法的流程圖。

圖2 圓環(huán)數(shù)為21的CRAA，待優(yōu)化圓環(huán)的填充因子 變化范圍示意圖Fig.2 Schematic diagram describing the variation ranges of filling factors for the rings waiting to be optimized, for a CRAA including 21 rings

圖3 NDT-MOPSO算法流程圖Fig.3 Flow chart of the NDT-MOPSO

3 數(shù)值仿真及結(jié)果分析

設(shè)定算法的種群規(guī)模和迭代次數(shù)均為100，儲備集大小等于50。為對比說明算法的性能，建立的CRAA模型具有和文獻(xiàn)[10,13]相同的口徑與單元數(shù)。假定陣列的口徑半徑等于4.5λ，單元總數(shù)183，圓環(huán)數(shù)為8(按照從內(nèi)向外的順序依次標(biāo)記為1#-8#圓環(huán))。依據(jù)本算法，經(jīng)過優(yōu)化后，在所得CRAA內(nèi)部，由1#-4#圓環(huán)形成圓環(huán)間距為0.5λ的滿陣結(jié)構(gòu)，這些圓環(huán)上填充的單元數(shù)依次等于6、12、18和25?？鄢艨趶街行牡囊粋€填充單元，則處于外圍的5#-8#圓環(huán)需要填充的單元總數(shù)為121。根據(jù)前述算法步驟，這4個圓環(huán)的填充因子均需在由(10)式設(shè)定的范圍內(nèi)隨機給定，然而這樣無法確保單元總數(shù)等于預(yù)設(shè)值的要求。為此，只把5#-7#圓環(huán)的填充因子設(shè)置為隨機的，并把它們對應(yīng)的填充因子下限依次置為0.8、0.6和0.5。根據(jù)(8)式，與之對應(yīng)的填充因子上限分別等于1.0、0.85和0.75。這樣，在算法的每次迭代中，處于最外圍的8#圓環(huán)填充單元的數(shù)目等于預(yù)先確定的單元總數(shù)減去該陣列已經(jīng)填充的單元數(shù)，從而滿足了單元總數(shù)等于預(yù)設(shè)值的要求。最終得到的陣列具有-27.59 dB的旁瓣電平和28.83 dB的方向系數(shù)。對比文獻(xiàn)[7]的結(jié)果，旁瓣下降約2 dB，方向系數(shù)提升了0.33 dB。對比文獻(xiàn)[8]，旁瓣下降了3.85 dB。

圖4給出了算法的優(yōu)化結(jié)果。其中，圖4a描述了經(jīng)過100次迭代后，得到的Pareto前端和被支配解對應(yīng)的目標(biāo)值分布情況，箭頭所指為本例中選取的Pareto前端解。圖4b、圖4c依次給出了該陣列的3D方向圖和u切面方向圖。類似地，當(dāng)口徑半徑等于5.0λ，單元總數(shù)為201時，所得CRAA的旁瓣電平降至-30.4 dB，方向系數(shù)上升到29.44 dB。與文獻(xiàn)[9，11]的結(jié)果相比，旁瓣電平分別下降了4.95 dB和 6.19 dB。

圖4 單元數(shù)等于183的CRAA優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimization results for the CRAA with the number of elements equal to 183

當(dāng)陣列的口徑半徑等于15λ，單元總數(shù)為1 302時，優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。該陣列的旁瓣電平和方向系數(shù)分別為-36.62 dB和37.92 dB，與文獻(xiàn)[10]中基于IIGA的結(jié)果相比，旁瓣下降3.66 dB，方向系數(shù)提升0.43 dB。與采用HS[13]的結(jié)果相比，在單元總數(shù)減少76的情況下，旁瓣降低約3.36 dB，方向系數(shù)提升0.21 dB。類似地，若把陣列的口徑半徑提升至20λ，填充單元數(shù)增至2 256，基于本算法的優(yōu)化結(jié)果如圖6所示。圖6a箭頭所指的Pareto前端解，對應(yīng)的旁瓣電平為-38.58 dB，方向系數(shù)等于39.69 dB，與HS[13]的結(jié)果對比，在方向系數(shù)幾乎不變情況下，旁瓣降低約4.5 dB。對比IIGA[10]的結(jié)果，在單元數(shù)減少124，方向系數(shù)基本不變情況下，旁瓣電平降低了5.17 dB。

圖5 單元數(shù)等于1 302的CRAA優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimization results for the CRAA with the number of elements equal to 1 302

從圖6a所示的Pareto前端可進(jìn)一步看出，為獲取更高的方向系數(shù)，可選取旁瓣電平在-37 dB左右對應(yīng)的非支配解。當(dāng)陣列的口徑半徑等于25λ，填充單元數(shù)為3 465時，得到的CRAA具有-37.71 dB的旁瓣電平，以及42.05 dB的方向系數(shù)。對比IIGA[10]的結(jié)果，旁瓣下降4.07 dB，方向系數(shù)提升0.68 dB，與HS[13]的結(jié)果相比，旁瓣下降2.44 dB，方向系數(shù)提升0.71 dB。表1列出了不同算法的對比結(jié)果，并且為說明采取NDT策略初始化后帶來的優(yōu)越性，同時給出了僅采用MOPSO算法的運行結(jié)果。可以看出，與MOPSO及其它算法相比，采用NDT-MOPSO算法進(jìn)行優(yōu)化后，不同口徑CRAA的旁瓣電平下降在1.25～6.19 dB。以上所有運行結(jié)果均在處理器為Intel i5-6500，內(nèi)存4GB，Windows 7操作系統(tǒng)的PC上完成，編程語言采用MATLAB，不同算例運行時間在2.45～35.85h。

圖6 單元數(shù)等于2 256的CRAA優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Optimization results for the CRAA with the number of elements equal to 2 256

表1 口徑不同時幾類算法的對比結(jié)果

4 結(jié) 論

通過把陣列口徑劃分為一些半徑不同的同心圓環(huán)，在單元最小間距約束下，選取約占總數(shù)一半的圓環(huán)，以半波長為間隔，在靠近口徑中心處形成滿陣結(jié)構(gòu)。然后，對剩余靠近口徑外圍的圓環(huán)，使其間距隨機分布但始終滿足從內(nèi)向外依次增加且大于半波長的條件，并限定這些圓環(huán)的填充因子在兩條隨圓環(huán)半徑的增加緩慢下降的門限曲線之間。這樣，確保在優(yōu)化過程中，單元放置始終呈錐削分布，最大程度避免了算法陷入隨機搜索的可能。并且，圓環(huán)填充因子的引入也簡化了編碼方式，降低了單元放置的約束條件，有利于算法的快速收斂。仿真結(jié)果表明，與現(xiàn)有的幾類算法相比，NDT-MOPSO適用于優(yōu)化各種不同口徑的CRAA，能在相近的機時下，大幅降低CRAA的旁瓣電平，并保持較高的方向系數(shù)。需要說明的是，算法初始階段對圓環(huán)個數(shù)的選取并不是隨意的，而是經(jīng)過少數(shù)幾次數(shù)值試驗，使陣列具有較低的旁瓣電平即可。并且，也可以不預(yù)設(shè)單元數(shù)目進(jìn)行優(yōu)化，這樣有可能在同等指標(biāo)下，降低陣列的填充單元數(shù)量。