蕩秋千問題

俞 鵬

(清華大學(xué)附屬中學(xué))

多數(shù)人都有這樣的經(jīng)驗(yàn):蕩秋千時,無須借助外力,只需通過重心位置的變化,就可以讓秋千越擺越高.這一現(xiàn)象背后的原因是什么呢? 為了研究其中的原因,首先對模型進(jìn)行簡化,做如下假設(shè):1)忽略人的寬度,將人當(dāng)作質(zhì)量分布均勻的長條形(高度可變);2)人控制身體與秋千的擺線始終平行,且擺線始終不會彎折;3)人的高度可以任意變化(從0到最大身高h(yuǎn)),但始終保證質(zhì)量均勻分布;4)忽略繩子和秋千底板的質(zhì)量,整個系統(tǒng)只考慮人的質(zhì)量即可.

如圖1 所示,以逆時針為轉(zhuǎn)動的正方向,擺長記為L,人的質(zhì)量為m,人的重心到轉(zhuǎn)軸的距離記作r,在角度為θ時,人受到重力與繩子拉力FT的作用,將人相對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量記作I,則該瞬間有

圖1

根據(jù)平行軸定理,可以寫出

將式②對r求導(dǎo)可得

考慮實(shí)際情況,人身高不超過秋千繩長,即

將式④代入式③可知

式⑤說明,正常情況下,人站起會使得I變小,人蹲下則會使得I變大.

下面對式①做定性分析(取0＜θ＜).

若人的形態(tài)不變,即dI＝0,則有dω＜0,此時秋千正在減速上擺.為了方便后續(xù)討論,不妨設(shè)人形態(tài)不變情況下,在dt時間內(nèi)角速度變化為

若人發(fā)生形態(tài)變化,則在dt時間內(nèi)角速度變化為

情況1ω＞0,秋千正在逆時針上擺,此時式①左側(cè)小于0.

若人的形態(tài)不變,即dI＝0,則有dω＝dω0＜0,此時秋千正在減速上擺.

若人發(fā)生形態(tài)變化:如果dI＞0(人正在下蹲),則dω1＜dω0＜0,即由于人的下蹲會使得秋千上擺時減速得更快,并且ω的絕對值越大,該影響越大;如果dI＜0(人正在站起),則dω0＜dω1＜0,即由于人的站起會使得秋千上擺時減速得更慢,并且ω的絕對值越大,該影響越大.

情況2ω＜0,秋千正在順時針下擺,此時式①左側(cè)小于0.

若人的形態(tài)不變,即dI＝0,則有dω＝dω0＜0,此時秋千正在加速下擺.

若人發(fā)生形態(tài)變化:如果dI＞0(人正在下蹲),則角速度變化dω1滿足dω0＜dω1＜0,即由于人的下蹲會使得秋千下擺時加速得更慢,并且ω的絕對值越大,該影響越大;如果dI＜0(人正在站起),則角速度變化dω1滿足dω1＜dω0＜0,即由于人的站起會使得秋千下擺時加速得更快,并且ω的絕對值越大,該影響越大.

綜上所述,站起過程有利于秋千越蕩越高,而下蹲過程則會讓秋千蕩得更低.但蕩秋千時我們必須不斷交替地站起和蹲下,所以如何增加站起過程對秋千的影響同時削弱下蹲過程對秋千的影響就成了關(guān)鍵.

可見,任意時刻由人的形態(tài)變化產(chǎn)生的角速度變化都是隨ω的絕對值的增大而增大的,所以如果能在角速度較大的地方(較低處)站起,且在角速度較小的地方(較高處)蹲下,就可以讓秋千越蕩越高.

為了幫助大家更好地理解,下面來討論一種最理想的蕩秋千方式:即讓站起的動作全部發(fā)生在角速度最大的最低點(diǎn),而讓蹲下的動作全部發(fā)生在角速度最小的最高點(diǎn).此時可以假設(shè)人每次的重心變化(蹲下或站起)都非常迅速,以至于每次蹲下或站起時秋千的位置都來不及變化,這樣每次人在蹲下或站起時和對秋千的作用力以及身體各部分之間的作用力都遠(yuǎn)大于重力,也就是人和秋千之間、人身體各部分之間的內(nèi)力矩都遠(yuǎn)大于重力矩,于是可以認(rèn)為每次蹲下或站起的瞬間人相對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒.即

進(jìn)一步將式⑦寫成

對式⑧進(jìn)一步討論.

情況1人突然蹲下,ΔI＞0,則Δω與ω異號,即秋千會突然減速,為了將這種減速的效應(yīng)降到最低,我們可以在ω＝0的位置蹲下,即在最高點(diǎn)蹲下,此時Δω＝0,不會因?yàn)橄露锥鴾p速.

情況2人突然站起,ΔI＜0,且因?yàn)檗D(zhuǎn)動慣量不會變?yōu)樨?fù)數(shù),所以一定有－ΔI＜I,則＋1＜0,于是Δω與ω同號,即秋千會突然加速,為了將這種加速的效應(yīng)發(fā)揮到最大,應(yīng)選擇ω最大的時刻站起,即在最低點(diǎn)站起,此時可以獲得最大的Δω.

綜上所述,將秋千蕩高的最高效方式是:在最高點(diǎn)突然蹲下,在最低點(diǎn)突然站起.

有人提出過一個有趣的問題:秋千越蕩越高的過程中,某次人在最低點(diǎn)突然站起,有沒有可能使得秋千能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動呢? 顯然,為了讓人能夠完成這個高難度動作,就得讓人在最低點(diǎn)突然站起后具有盡量大的機(jī)械能,這就要求突然站起前人的機(jī)械能也得盡量大,而在之前的擺動中繩子最多能到達(dá)水平狀態(tài)(再高則繩會松弛),所以我們考慮最可能完成這個動作的方案:如圖2所示,假設(shè)之前一次秋千擺角剛好到達(dá)90°,且人蜷縮成一團(tuán)(質(zhì)量全部集中在距離軸心L處的秋千底板),即圖中A狀態(tài).然后人自然下擺到最低點(diǎn)B,并獲得動能Ek0＝mgL,接下來人突然站起,使得重心到軸的距離變?yōu)閞,并假設(shè)之后人可以運(yùn)動到最高點(diǎn).人站起前相對軸的轉(zhuǎn)動慣量I0＝mL2,人站起后相對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量已經(jīng)由式②得出,即

圖2

設(shè)在B點(diǎn)突然站起后的轉(zhuǎn)動動能變?yōu)镋k1,由于站起瞬間角動量守恒,所以有

不妨令r＝Lx,則式○10變形為

設(shè)到最高點(diǎn)C的轉(zhuǎn)動動能為Ek2,并設(shè)C點(diǎn)處人的質(zhì)心速度為vC2,則根據(jù)機(jī)械能守恒定律得

若要人能夠通過最高點(diǎn)C,則需要

根據(jù)式④的假設(shè)可知0.5≤x≤1.所以可以保證式兩邊的分子和分母都大于0,于是式可化為

畫出y＝f(x)的函數(shù)圖像,如圖3所示.

圖3

由圖像可知f(x)＜0的解為

也就是說,要想完成在最低點(diǎn)突然站起使得秋千能夠做完整圓周運(yùn)動的動作,人的身高h(yuǎn)需要滿足條件為

上式給出了要完成這個高難度動作對人的身高的限制條件,h的下限0.5544L比較好理解,而h的上限實(shí)際上是對應(yīng)了人站起來比秋千還高的情況.如果要考慮式④的限制,則須寫成0.5544L≤h≤L.

(完)