一種CPP- RPP- PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)的位置反解分析

戰(zhàn)麗娜,趙 楠*,肖淑斌

（湖南水利水電職業(yè)技術(shù)學院,湖南 長沙 410131）

機構(gòu)的位置分析指的是求解機構(gòu)的輸入與輸出構(gòu)件之間的位置關(guān)系的過程。當已知機構(gòu)輸入件的位置和姿態(tài),求解機構(gòu)輸出件的位置和姿態(tài)時稱為機構(gòu)位置分析的正解；當已知機構(gòu)輸出件的位置和姿態(tài),求解機構(gòu)輸入件的位置和姿態(tài)時稱為機構(gòu)位置分析的反解[1-7]。本研究運用螺旋理論[7],對CPP-RPP-PRR解耦并聯(lián)機構(gòu)的位置反解進行了分析。

1 CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)概述

CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)主要由動平臺、靜平臺和分別固連在兩平臺之間的三個分支組成。分支一包括一個圓柱副C1和兩個移動方向相互垂直的移動副P1、P2,其中圓柱副C1在靜平臺上,其移動方向是靜平臺的豎直方向,且與移動副P1的移動方向相互垂直；分支二包括一個轉(zhuǎn)動副R1和兩個移動方向相互垂直的移動副P3、P4,其中轉(zhuǎn)動副R1在靜平臺上,其回轉(zhuǎn)軸線是靜平臺的豎直方向,且與移動副P3的移動方向相互垂直；分支三包括一個移動副P5和兩個回轉(zhuǎn)軸線相互平行的轉(zhuǎn)動副R2、R3,其中移動副P5在靜平臺上,其移動方向是靜平臺的水平方向,且分別與轉(zhuǎn)動副R2的回轉(zhuǎn)軸線和轉(zhuǎn)動副R3的回轉(zhuǎn)軸線相互垂直。因此,從總體上看,圓柱副C1的回轉(zhuǎn)軸線與轉(zhuǎn)動副R1的回轉(zhuǎn)軸線、轉(zhuǎn)動副R2的回轉(zhuǎn)軸線和轉(zhuǎn)動副R3的回轉(zhuǎn)軸線均兩兩相互平行,且都與移動副P5的移動方向相互垂直,其結(jié)構(gòu)簡圖見圖1。

圖1 CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

2 螺旋理論

對CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)進行位置反解分析,須以螺旋理論為基礎(chǔ)。螺旋又稱旋量,線矢量是旋量的特殊形式,可以表示空間矢量的方向和位置,每個螺旋都含有6 個標量。若把空間的兩點A 和B 用有向直線連接,就能決定這條空間直線AB 的方向和位置。在直角坐標系中這條有向直線AB 的矢量可用S 表示,則直線AB 的方向可由其方向余弦確定,直線AB 的位置可通過直線上任意一點的矢量確定。因此,用螺旋來表示直線AB 就為=（S；S0）,其中,S0=r×S,S·S0=0。若S·S0≠0,則表示的就為旋量[7]。

在并聯(lián)機構(gòu)中,剛體的轉(zhuǎn)動副可以用剛體的角速度的大小與一個表示旋轉(zhuǎn)軸作用線的單位線矢之積來表示,由于線矢之積與標量表示同一線矢,故轉(zhuǎn)動副可用螺旋表示為：

剛體的移動副也可看成是一個瞬時轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)動軸線與S 正交,且位于距S 無窮遠的平面內(nèi),則移動副可用螺旋表示為：

其中,0 是一個1×3 的零矢量。

而圓柱副(C)則可看作共軸的一個轉(zhuǎn)動副和一個移動副的組合。

3 CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)位置反解分析

CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)求解位置反解,即當給定機構(gòu)的尺寸參數(shù),已知動平臺的未知參數(shù)（x,y,）及姿態(tài)角c,求三個驅(qū)動的輸入：分支一的轉(zhuǎn)動角度a、分支二的移動e、分支三的轉(zhuǎn)動角度b。

由于該機構(gòu)只能完成動平臺在XY 平面的移動和繞Z 軸的轉(zhuǎn)動,所以只需考慮XY 平面的運動即可求解位置反解。

在XY 平面內(nèi),如圖2 機構(gòu)平面簡圖所示,設(shè)靜平臺的桿長分別為L、g,分支一的桿長分別為l、d,分支二的桿長分別為e、f,分支三的桿長為H,動平臺正多邊形的內(nèi)切圓半徑為R,分支一與靜平臺之間的夾角為u,分支一與分支二之間的夾角為v,分支三與靜平臺之間的夾角為w,分支二與動平臺之間的夾角為z,則L、H、R 三個桿長為定值,u、v、w、z 四個夾角也為定值,都不會隨著機構(gòu)的運動而改變,但是d、f、g、l 的長度會隨著輸入的改變而變化。設(shè)基坐標建立在分支三的圓柱面圓心A 點,動坐標建立在動平臺中心,其余各個坐標建立見圖3。

圖2 CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)平面簡圖

圖3 CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)坐標系示意圖

由圖3 可知,動坐標位姿可以通過三條路線給定,路線一為A-B-G；路線二為A-C-D-G；路線三為A-E-F-G[6]。

根據(jù)螺旋理論,對路線一進行計算,得矩陣如下

對T1進行化簡,得

根據(jù)螺旋理論,對路線二進行計算,得矩陣如下

對T2進行化簡,得

根據(jù)螺旋理論,對路線三進行計算,得矩陣如下

對T3進行化簡,得

由結(jié)果可知,分支一的輸入角度a 就是動平臺的轉(zhuǎn)動角度c 的值。再將式(7)、(13)、(20)三個矩陣的第四列分別相等,可列出六個方程如下

解出各分支的桿長l、d、e、f、g 和分支三的輸入角度b 如下

4 驗證CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)位置反解的正確性

CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)處于特殊位置,將其分別代入式(3)、(4)、(5)、(6)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)、(14)、(15)、(16)、(17)、(18)和(19)中,得

因此,機構(gòu)的位置反解正確,即式 (29)為CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)的位置反解。

將該機構(gòu)在ADAMS 軟件中進行仿真分析驗證,驗證了該機構(gòu)確實具有三個自由度,并得處分支三的運動軌跡曲線和計算一直,自由度驗證結(jié)果見圖4,分支三的運動軌跡曲線見圖5。

圖4 自由度驗證結(jié)果

圖5 分支三運動軌跡曲線

5 結(jié)論

（1）分析CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu),應(yīng)用螺旋理論,給出該機構(gòu)位置反解的整個推導(dǎo)過程。

（2）得出CPP-RPP-PRR 解耦并聯(lián)機構(gòu)的位置反解求解公式,并進行特殊位置驗證,為該機構(gòu)進一步的速度分析、加速度分析、受力分析、誤差分析、工作空間分析、動力學分析和機構(gòu)綜合等奠定了理論基礎(chǔ)。