在操作猜想中建構數(shù)學概念
——《平行四邊形的認識》教學設計（二）

文|蘇中巧

一、借助直尺，勾勒平行四邊形樣態(tài)

（一）認識直尺。

師：（課件出示）這是一把直尺，你能在這把直尺中找到哪些數(shù)學元素？

生：我看到了一些數(shù)字。

生：我發(fā)現(xiàn)尺子的對邊是互相平行的。

生：我發(fā)現(xiàn)尺子的鄰邊是互相垂直的。

師：大家對直尺都非常熟悉，平常我們都用直尺來干什么？

生：用直尺測量長度。

生：用直尺畫圖。

生：用直尺玩游戲。

師：看來，（課件出示圖1）用一把直尺可以開展很多數(shù)學學習活動。如果是兩把直尺合作，又可以開展哪些數(shù)學活動呢？（讓學生觀看課件并想象）

圖1 圖2

【設計意圖：平行四邊形的命名和定義是相伴而生的，即用“平行和四邊形”的前概念來定義“平行四邊形”的概念。學生每天都和直尺在一起，是他們非常熟悉的學習工具。由此，選用直尺作為本課的研究素材，學生能充分認識到直尺對邊互相平行的特性，促使深度建構“平行四邊形”的概念?！?/p>

（二）揭示課題。

師：（出示課件圖2）如果將兩把尺子拼在一起，你覺得重疊部分是什么圖形？

生：平行四邊形。（板書課題）

【設計意圖：將兩把不透明的直尺重疊，學生看不到重疊部分的形狀，只能通過想象在頭腦中浮現(xiàn)重疊部分的形狀。這樣的操作，倒逼學生根據(jù)直尺對邊平行的特征，在頭腦中勾畫出圖形的形狀，對接以往認識的“平行四邊形”形狀，勾勒出“平行四邊形”的樣態(tài)，為新課的學習做好鋪墊?！?/p>

二、玩轉直尺，建構平行四邊形概念

（一）用直尺，玩一玩。

1.出示任務要求。

（1）同桌合作，將兩把直尺重疊（一把直尺有顏色，另一把直尺透明），觀察重疊部分的形狀。

（2）反復變化三次，記住這些圖形的樣子。

（3）思考：重疊部分還是平行四邊形嗎？為什么？

2.學生同桌合作。

3.教師收集學生作品。

（1）第一次展示：一般的平行四邊形。（拍攝學生作品并展示圖3、圖4）

圖3

圖4

師：這些圖片都是平行四邊形嗎？你是怎么看出來的？

生1：是平行四邊形，因為直尺的對邊是互相平行的，所以這些四邊形的對邊也都是平行的。

師：我們再來觀察一下其他組的作品，你覺得是不是都是平行四邊形？

生2：是的。

師：請你用一句話來說，什么樣的圖形叫作平行四邊形？

生3：兩邊都平行的圖形是平行四邊形。

生4：不對，梯形也是兩邊互相平行的四邊形。我覺得，應該改成“兩組”，有兩組邊互相平行的圖形是平行四邊形。

生5：不對，有些六邊形也有兩組邊平行……應該是兩組邊平行的四邊形叫作平行四邊形。

生6：我覺得，是不是可以把“兩組邊平行”改成“兩組對邊平行”，這樣聽起來就能想出四邊形的樣子。

（根據(jù)學生的回答，教師板書：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形）

【設計意圖：對平行四邊形的概念教學，我們經常會讓學生觀察各種形態(tài)的平行四邊形，然后通過比較、抽象、歸納，得出平行四邊形的概念。這樣的教學方法，在心理學中稱為“概念形成”（由具體實例概括出概念）。而本課采用的教學方法是，由兩組平行線交疊生成平行四邊形，這樣通過增添已知概念的屬性來定義新概念是典型的“概念同化”（由已有概念引出新概念）。這樣的教學方式，能幫助學生積累歸納數(shù)學概念的能力，幫助學生理解平行四邊形的本質屬性?！?/p>

（2）第二次展示：特殊的平行四邊形。（長方形）

師：剛才有幾位同學拼成的四邊形是這樣的，（課件出示）你覺得還是平行四邊形嗎？

生：不是，這個圖形是長方形。

生：既是長方形，也是平行四邊形。

（學生開始爭論）

師：請大家討論一下，長方形到底是不是平行四邊形。為什么？

生:我們覺得長方形應該是平行四邊形，因為長方形也是“兩組對邊平行的四邊形”。

生：我知道了，長方形應該是“特殊”的平行四邊形。

師：特殊在哪里呢？

生：特殊在長方形的四個角都是直角。

生：特殊在長方形不僅對邊平行，且鄰邊互相垂直。

師：（教師借助教具演示：圖5）從平行四邊形變化出長方形，整理平行四邊形、長方形、正方形之間的關系（課件演示：圖6）。

圖5

圖6

師：現(xiàn)在，你能用一句話來歸納“什么樣的圖形叫作長方形嗎”？

生：有兩組對邊平行，有四個角是直角的四邊形叫作長方形。

生：剛才，我們用“四邊形”歸納“平行四邊形”，我覺得可以用“平行四邊形”來歸納“長方形”。所以，我覺得可以這樣歸納：有四個角是直角的平行四邊形叫作長方形。

生：我有補充，根據(jù)鄰邊垂直和平行的關系，我發(fā)現(xiàn)只要有一個角是直角，其他的三個角肯定都是直角。數(shù)學是追求簡潔的一門學科，所以我覺得可以這樣歸納：有一個角是直角的平行四邊形叫作長方形。

【設計意圖：人教版教材的編排順序是先學習長方形，再學習平行四邊形。這種“先入為主”的編排，對學生理解“長方形也是平行四邊形”有一定的負遷移作用，這也成了本課教學的難點之一。如何突破呢？筆者在教學中，先借助平行四邊形的概念，讓學生在辨析中逐漸明白“特殊”的含義；然后，通過“概念同化”的教學方式，讓學生歸納“長方形”的概念；最后，通過教具演示，變換平行四邊形的各種形態(tài)，溝通平行四邊形和長方形的“從屬”關系，以此達到教學目的?！?/p>

（3）判一判：下面哪些圖形（圖7）是平行四邊形。

圖7 圖8

學生完成《作業(yè)單》之后，反饋。

生：（3）號和（5）號分別是長方形和正方形，也是平行四邊形。

生：（2）號只有一組對邊平行，不是平行四邊形，應該是梯形。

生：（1）號上下邊互相平行，我用一副三角尺驗證了左右邊，發(fā)現(xiàn)也是互相平行的。所以，（1）號是平行四邊形。

生：我用一副三角尺分別驗證了（4）號的上下和左右對邊，發(fā)現(xiàn)也都是互相平行的。所以，（4）號是平行四邊形。

教師通過課件動態(tài)演示對邊是否真的平行（圖8）。

師：做了這些題目，你還有什么問題要提？

生：我發(fā)現(xiàn)，正方形的四條邊是相等的，長方形是對邊相等的。那么，一般的平行四邊形的對邊是不是也相等呢？

師：同學們能不能研究一下呢？（學生同桌合作操作、討論）

生：我通過測量，發(fā)現(xiàn)對邊是相等的。

生：我覺得不用測量，剛才老師把長方形拉成了平行四邊形，邊的長度沒有變化，所以，平行四邊形的對邊相等。

生：我用學具試了很多次，發(fā)現(xiàn)：如果上下、左右邊平行，那么，上下、左右邊肯定相等；反之，如果上下、左右邊相等，那么，上下、左右邊肯定平行。兩組邊是相互關聯(lián)的。

師：（板書：對邊相等）請每位同學都拿出學具，邊操作邊思考“為什么只要兩組對邊平行，就會有兩組對邊相等”。

【設計意圖：“因為是平行四邊形，所以對邊相等?！边@是一條重要的性質。如何讓學生深度理解這樣的性質呢？筆者認為，除了讓學生通過測量發(fā)現(xiàn)之外，更重要的是，讓學生能明白“為什么只要兩組對邊平行，就會有兩組對邊相等”的道理。理清了平行和相等的關系，學生才能深入理解“性質”?！?/p>

（二）用直尺，畫一畫。

1.根據(jù)“對邊平行”或“對邊相等”的性質畫平行四邊形。

師：請你用一把直尺，在點子圖中畫出一個平行四邊形。出示如下要求：

（1）學生操作。

（2）收集作品（課件展示），師生一起判斷。

（3）反饋交流。

師：你是依據(jù)什么來畫平行四邊形的？

生：我是根據(jù)“對邊平行”來畫平行四邊形的。先畫出一個角，再畫出分別平行的對邊。

師：上下平行比較好畫，你覺得畫左右平行的時候要注意什么？

生：角度要相同。

（學生演示，教師評價）

生：我是根據(jù)“對邊相等”來畫平行四邊形的。我先畫上下對邊相等，然后畫左右對邊相等。

師：左右對邊相等是怎么做到的？

生：先連接鄰邊，然后測量長度，再畫圖。

生：我發(fā)現(xiàn)，只要上下對邊長度相等，將上下對邊的端點聯(lián)結形成左右對邊，此時，左右對邊肯定平行且相等。

師：（課件驗證：圖9、10）上下對邊相等的情況下，左右對邊聯(lián)結起來剛好平行且相等。

圖9

圖10

想象練習：連接線段端點，想象圖形的樣子。（課件出示：圖11）

圖11

師：（課件出示一組對邊）這是平行四邊形的兩條邊，請你根據(jù)這兩條邊，想象另外兩條邊的位置，比劃出平行四邊形的樣子。

（學生書空，教師課件驗證）

【設計意圖：對邊相等、對邊平行這一性質既可以用來定義平行四邊形，又可以作為判定定理，更重要的是可以用它來畫平行四邊形。本環(huán)節(jié)讓學生借助這樣的性質來畫平行四邊形，學生在操作中進一步感受到了這些性質的價值，對于平行四邊形有了更加深刻的理解。】

師：同學們，看了剛才的這些平行四邊形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：只要有兩條邊相等，就能畫出一個平行四邊形。

師：（課件變化下面線段的方向：圖12）這兩條線段也是相等的，你覺得畫出來是平行四邊形嗎？

圖12

生：不是。

師：我們剛才發(fā)現(xiàn)：上下對邊相等的情況下，左右對邊聯(lián)結起來剛好平行且相等?，F(xiàn)在為什么不行了呢？

生：（短暫思考并討論）我知道了，是因為現(xiàn)在上下邊沒有平行了。

生：單單看一組對邊相等還不行，還需要關注這組對邊是否平行。

生：也可以這么說，只要一組對邊平行且相等，另一組對邊肯定也平行且相等。

師：也就是說，一組對邊平行且相等的圖形是平行四邊形。

【設計意圖：“一組對邊平行且相等”這一判斷定理，在人教版教材的編寫中并沒有涉及。但是，筆者認為這一性質的價值在于，能使學生從關注“兩組對邊平行”和“兩組對邊相等”到“一組平行且相等”的進階過程，感受到數(shù)學的學習越來越簡單，圖形各元素之間的關系越來越微妙，最終提高學生的學習興趣?！?/p>

2.利用“一組對邊平行且相等”畫平行四邊形。

師：請你用剛剛發(fā)現(xiàn)的性質，畫一個與圖中形狀相同的平行四邊形。

師：展示學生作品。你是先畫什么？再畫什么的？

生：我是先畫出平行的兩條直線，然后在直線中截取與原平行四邊形一組對邊相等的兩段，這樣就做到了“一組對邊平行且相等”，這樣畫出來的平行四邊形就和原來的形狀相同了。

【設計意圖：本課始終圍繞著“畫一畫”展開，讓學生在畫圖的活動中深入理解性質，掌握平行四邊形的概念屬性。】

三、鞏固練習（略）