改變計(jì)算習(xí)題，發(fā)展推理意識(shí)
——以《除數(shù)是兩位數(shù)的除法》單元習(xí)題設(shè)計(jì)為例

文|孔忠偉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《2022 版新課標(biāo)》）對(duì)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵進(jìn)行了多方面的解讀與補(bǔ)充，其中對(duì)運(yùn)算能力的內(nèi)涵解讀，在原有的基礎(chǔ)上補(bǔ)充了“能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展”，強(qiáng)化了借助運(yùn)算來(lái)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的功能?！?022 版新課標(biāo)》也理清了中小學(xué)推理培養(yǎng)的方向，小學(xué)階段重推理意識(shí)，初中階段重推理能力，因此在小學(xué)階段重視與挖掘數(shù)與運(yùn)算的推理，通過(guò)改編運(yùn)算習(xí)題來(lái)促進(jìn)學(xué)生更多的觀察、分析、歸納和運(yùn)用，其過(guò)程不僅可以幫助學(xué)生強(qiáng)化算理的理解、提升運(yùn)算能力，同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生推理意識(shí)的發(fā)展。

《2022 版新課標(biāo)》指出，推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力。雖然小學(xué)階段較少需要學(xué)生去進(jìn)行推導(dǎo)證明，但如果將學(xué)習(xí)素材進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生感受推理的過(guò)程，可以發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。本文以四年級(jí)上冊(cè)的《除數(shù)是兩位數(shù)的除法》習(xí)題設(shè)計(jì)為例，不斷挖掘計(jì)算練習(xí)中的推理元素，改變習(xí)題形式，經(jīng)歷推理過(guò)程，發(fā)展推理意識(shí)。在習(xí)題設(shè)計(jì)過(guò)程中，主要借助“堵”“融”“放”“說(shuō)”等具體的習(xí)題設(shè)計(jì)策略，通過(guò)呈現(xiàn)合理的計(jì)算習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生在不同計(jì)算任務(wù)下經(jīng)歷更多推理過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

一、“堵”住數(shù)字，弱化運(yùn)算，經(jīng)歷多層次推理

“堵”住數(shù)字就是把算式中部分?jǐn)?shù)字用方框擋住，只留出推理的線(xiàn)索。學(xué)生無(wú)法通過(guò)計(jì)算得到答案，就需要根據(jù)剩余的數(shù)字來(lái)進(jìn)行推理。在具體的習(xí)題設(shè)計(jì)中教師可以設(shè)計(jì)一道題或一組計(jì)算題，堵住其中關(guān)鍵數(shù)字，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析、歸納和運(yùn)用，從特殊結(jié)果推斷出一般結(jié)論，從關(guān)鍵信息推斷出合理結(jié)論等，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行合理推理，提升推理能力。

例1：《除數(shù)是兩位數(shù)的除法》單元第82 頁(yè)第4 題改編。

根據(jù)被除數(shù)和除數(shù)的特點(diǎn)（如圖1），快速判斷下面三道除法豎式的商是（ ）。并根據(jù)特點(diǎn)，編出一道類(lèi)似的除法算式。

圖1 習(xí)題一

★小偉也想編一道類(lèi)似的算式，他已經(jīng)編了一部分2□5÷4□。符合他這個(gè)思路的算式，一共有（ ）個(gè)。

該習(xí)題改編于教材習(xí)題（如圖2），其目的是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，熟練算法，但這樣的純運(yùn)算并不利于學(xué)生感悟巧算的本質(zhì)。因此筆者弱化計(jì)算，改成尋找規(guī)律填數(shù)，模仿習(xí)題出題，填寫(xiě)符合個(gè)數(shù)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。主要體現(xiàn)有三方面，一是擋住數(shù)字，讓學(xué)生觀察除數(shù)與被除數(shù)之間關(guān)系，從特殊的數(shù)字間發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和歸納的能力，為合理推理打下基礎(chǔ)。二是模仿編題，是讓學(xué)生從特殊結(jié)果推斷出一般的結(jié)論，因?yàn)閷W(xué)生要編出類(lèi)似的習(xí)題，就需要在建立已有規(guī)律的基礎(chǔ)上，進(jìn)行合理的遷移，這個(gè)過(guò)程有助于學(xué)生推理能力的發(fā)展。三是推理結(jié)論，要求學(xué)生根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，進(jìn)行更嚴(yán)密的思考，從而感受推理的價(jià)值。最后★題目的思維層次較高，可以作為加分題。

圖2 人教版教材第82 頁(yè)第4 題

二、“融”入情境，辨析數(shù)字，借助生活化推理

“融”入情境是指把運(yùn)算過(guò)程與真實(shí)生活情境結(jié)合起來(lái)，借助情境的需要來(lái)展開(kāi)推理。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要聯(lián)系生活實(shí)際來(lái)解決問(wèn)題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。在習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)，教師要更關(guān)注推理的元素，讓學(xué)生聯(lián)系生活來(lái)思考過(guò)程，從而使學(xué)生能夠結(jié)合情境理解算理，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

例2：2021 年浙江省教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)習(xí)題第3 題。

有172 本故事書(shū)，每個(gè)班分12 本，可以分給多少個(gè)班？下面是聰聰計(jì)算的豎式（如圖3），豎式中箭頭所指的數(shù)表示的意思是（ ）。

圖3 除法豎式

A.先分掉12 本

B.先分掉120 本

C.每班分到12 本

D.每班分成120 本

通過(guò)省測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，該題選項(xiàng)B 的正確率是67.6%。其中典型錯(cuò)誤A 為12.1%，C 為12.8%，D 為7.2%。筆者認(rèn)為選擇A 和C 的學(xué)生是沒(méi)有理解其中的算理，因?yàn)檫@里的12 表示就是12 個(gè)十，而A 和C 選項(xiàng)，則表示的是12 個(gè)一。其中有一部分人選擇了D，筆者認(rèn)為學(xué)生并沒(méi)有進(jìn)行合理的推理。主要體現(xiàn)有兩點(diǎn)：一是學(xué)生沒(méi)有讀懂豎式的邏輯，它是講一個(gè)分書(shū)本的故事，因此這里的12 是先分了120 本，不是每班分幾本。二是也沒(méi)有理清問(wèn)題與條件的關(guān)系，如果每班分到120 本，那么分得14 個(gè)班，就需要分1720 本，明顯不對(duì)。因此也反映出推理能力不足的現(xiàn)狀。因此，在具體的算式中，把算式與真實(shí)情境結(jié)合，來(lái)辨析數(shù)字，也可以有效培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

三、“說(shuō)”出理由，逆向討論，反思結(jié)論性推理

“說(shuō)”出理由是指教師呈現(xiàn)學(xué)生推理結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生討論結(jié)果，使學(xué)生反思推理過(guò)程，并思考推理的合理性。這里的“說(shuō)”更多指向?qū)W生表達(dá)推理的過(guò)程，借助結(jié)論來(lái)引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展合理的推理，從而學(xué)會(huì)更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎紗?wèn)題。

例3：《除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法》習(xí)題逆向設(shè)計(jì)。

東東在計(jì)算540÷45 時(shí)，不小心把“45”抄成了“15”，并算出了商。她檢查時(shí)，發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤，但又不想重算，所以就把540÷45 的商乘以了3。同學(xué)們，你們認(rèn)為東東的方法對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

在上面的問(wèn)題中，有近40%的學(xué)生認(rèn)為這樣的結(jié)論正確，他們是這樣思考的：因?yàn)榘?5 縮小到它的，那么答案也應(yīng)該縮小到商的，所以用結(jié)論去乘3，這樣的推理過(guò)程就是正確的。而事實(shí)上，這樣的思考存在的問(wèn)題就是學(xué)生沒(méi)有考慮到45 是除數(shù)，當(dāng)除數(shù)變小時(shí)，商反而要擴(kuò)大的現(xiàn)象。因此當(dāng)除數(shù)縮小到它的，商就要擴(kuò)大3 倍，要得到正確的答案就需要把商除以3，所以東東的方法是錯(cuò)誤的。

通過(guò)這樣的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生表征自己的推理過(guò)程，從不同角度反思問(wèn)題，同時(shí)呈現(xiàn)結(jié)論，讓學(xué)生來(lái)證明結(jié)論，這也是一種演繹推理的培養(yǎng)，為學(xué)生今后的推理問(wèn)題打下基礎(chǔ)。

四、“放”開(kāi)要求，隱藏策略，激發(fā)自主性推理

“放”開(kāi)要求是指在運(yùn)算能力的考查過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題。通過(guò)把一些不同的運(yùn)算策略整合在一起，讓學(xué)生面對(duì)更綜合、更開(kāi)放的計(jì)算過(guò)程，這樣不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，同時(shí)在這個(gè)過(guò)程中也滲透了更多推理意識(shí)和方法，促進(jìn)了學(xué)生推理能力的發(fā)展。

例4：2021 年度濱江區(qū)四年級(jí)上冊(cè)計(jì)算考查題改編。

用你喜歡的方法計(jì)算下面各題，其中每列中只有兩題需要列豎式或遞等式進(jìn)行計(jì)算，并記錄在下面方框內(nèi)。

在上面的計(jì)算習(xí)題（如圖4）中，筆者把四年級(jí)上冊(cè)口算、豎式計(jì)算、遞等式計(jì)算等內(nèi)容整合在一起，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察算式、靈活選擇方法來(lái)解決問(wèn)題，在這一過(guò)程中，需要學(xué)生自主進(jìn)行算式的推理。比如，上述題目要求學(xué)生每列只有兩題需要列豎式或遞等式，這就需要學(xué)生自主分析不同算式，尋找算式之間的聯(lián)系，進(jìn)而選擇合理的計(jì)算策略。其中的推理體現(xiàn)有兩點(diǎn)：一是依據(jù)算式推理答案。比如第一列中，⑨號(hào)算式和13○號(hào)算式之間就有商的變化規(guī)律；第三列中，1○號(hào)算式和15○號(hào)算式則有積的變化規(guī)律，都只要求得其中一題答案就可以推理出另一題。二是依據(jù)算式選擇方法。比如第一列的⑤號(hào)算式與第三列的⑦號(hào)算式，它們既可以用豎式，也可以用更簡(jiǎn)便的方法，這個(gè)過(guò)程也需要學(xué)生更多分析算式，并選擇合理的方法來(lái)解決問(wèn)題。

圖4 習(xí)題四

在小學(xué)階段，我們要發(fā)揮好運(yùn)算這個(gè)載體，借助合理的習(xí)題設(shè)計(jì)，弱化計(jì)算功能，強(qiáng)化推理運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生推理能力。當(dāng)然本文所提煉的幾點(diǎn)策略，并不成熟，其中的一些觀點(diǎn)也可能有邏輯重復(fù)，但也是一種大膽嘗試，希望能更好地發(fā)揮運(yùn)算推理的價(jià)值，真正促進(jìn)學(xué)生推理意識(shí)和能力的發(fā)展。