一類具有非瞬時(shí)脈沖發(fā)展方程適度解的存在性

吳 博, 范虹霞

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 蘭州 730070)

脈沖微分方程是微分方程理論中一個(gè)重要分支, 近幾年來(lái), 瞬時(shí)脈沖微分方程不僅在物理、化學(xué)、工程學(xué)和生物學(xué)等方面已有很多成果[1-3], 而且在航天技術(shù)、信息科學(xué)等科技領(lǐng)域也發(fā)揮了重要的作用[4-5]．2016年, Diallo等[6]利用預(yù)解算子和Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理, 討論了具有非局部條件和瞬時(shí)脈沖的積-微分方程

適度解的存在性．由于藥物進(jìn)入血液的過程及隨后身體對(duì)藥物的吸收過程都是漸進(jìn)而持續(xù)的, 這一過程無(wú)法用經(jīng)典的瞬時(shí)脈沖微分方程解釋[7], O’Regan等[8]在研究藥物動(dòng)力學(xué)的背景下, 首次提出非瞬時(shí)脈沖微分方程．此后, 非瞬時(shí)脈沖微分方程引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[9-11]． 2016年, 陳鵬玉等[12]在解半群是非緊的情形下, 利用非緊性測(cè)度研究了非瞬時(shí)脈沖微分發(fā)展方程

適度解的存在性．

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā), 本文考慮具有非瞬時(shí)脈沖的一階積-微分非自治方程

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

下面介紹積-微分非自治方程預(yù)解算子的定義與一些性質(zhì), 為此考慮方程(1)相應(yīng)的線性方程

(2)

其中A(t)和B(t,s)是X上的閉線性算子．

設(shè)Y是由A(t)的定義域D(A)構(gòu)成的Banach空間, 具有圖像范數(shù)‖y‖Y=‖Ay‖+‖y‖．B(Y,X)表示Y→X中全體有界線性算子構(gòu)成的空間．

i) 映射(t,s)→R(t,s)是強(qiáng)連續(xù)的,R(s,s)=I,并存在常數(shù)β和M≥1, 使得對(duì)?(t,s)∈T, 有‖R(t,s)‖≤Meβ(t-s);

ii) 對(duì)?(t,s)∈T,R(t,s)Y?Y, 且R(t,s)在Y上關(guān)于t和s是強(qiáng)連續(xù)的;

iii) 對(duì)?(t,s)∈T, 如果x∈D(A), 那么R(t,s)x關(guān)于t和s是強(qiáng)連續(xù)可微的, 且

為了確保方程(2)的預(yù)解算子存在, 對(duì)A(t)和B(·,·)提出以下假設(shè):

(H1)A(t)在Banach空間X中生成一個(gè)強(qiáng)連續(xù)發(fā)展半群．

(H2) 假設(shè)Y是D(A)構(gòu)成的Banach空間．令A(yù)(t)和B(t,s)是閉算子, 對(duì)?t∈J,A(t):Y→X是有界算子集, 對(duì)?(t,s)∈T,B(t,s):Y→B(Y,X)是有界算子集． 進(jìn)一步,A(t)和B(t,s)是連續(xù)的．

引理1[13]若條件(H1)和(H2)成立, 則方程(2)存在唯一的預(yù)解算子．

用α(·)表示X中有界集的Kuratowski非緊性測(cè)度;αC(·),αP(·)分別表示C(J,X),P(J,X)中有界集的Kuratowski非緊性測(cè)度．下面給出有關(guān)Kuratowski非緊性測(cè)度的一些性質(zhì)．

引理2[14]設(shè)X,Y是實(shí)Banach空間,S,U是X中的有界集,則有下列性質(zhì):

i)S相對(duì)緊?α(S)=0;

iii) 若S?U, 則α(S)≤α(U);

iv)α(S+U)≤α(S)+α(U), 其中S+U={x+y:x∈S,y∈U};

v)α(S∪U)≤max{α(S),α(U)};

vi)α(λS)≤|λ|α(S), 其中λ∈R;

vii) 若映射Q:D(Q)?X→Y是Lipschitz連續(xù)的, 且Lipschitz常數(shù)為k, 則對(duì)任意的有界集S?D(Q), 有α(Q(S))≤kα(S)．

引理3[15]設(shè)X是Banach空間,D?X有界, 則存在可數(shù)集D0?D, 使得α(D)≤2α(D0)．

引理4[15]設(shè)X是Banach空間,D={un}?P([b1,b2],X)是有界可數(shù)集, -∞

引理5[15]設(shè)X是Banach空間,D?C([b1,b2],X)是有界且等度連續(xù)集, 則α(D(t))在[b1,b2]上連續(xù), 并且αC(D)=maxt∈[b1,b2]α(D(t))．

接下來(lái)給出k-集壓縮映射的定義和Darbo不動(dòng)點(diǎn)定理．

定義2[16]設(shè)X是Banach空間,S?X是非空子集, 若Q:S→X連續(xù)有界, 存在常數(shù)k∈[0,1), 對(duì)任意有界集Ω?S, 滿足α(Q(Ω))≤kα(Ω), 則稱Q是S上的k-集壓縮映射．

定理1[16](Darbo不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)X是Banach空間,Ω?X為有界凸閉集, 若Q:Ω→Ω為k-集壓縮映射, 則Q在Ω上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

最后, 結(jié)合文獻(xiàn)[14], 給出方程(1)適度解的定義．

定義3若函數(shù)u∈P(J,X)滿足積分方程

則稱u是方程(1)的適度解．

令r>0為有限常數(shù), 并記Ωr={u∈P(J,X): ‖u‖P≤r,t∈J}．

2 主要結(jié)果

為了得到方程(1)適度解的存在性, 給出下列假設(shè)條件:

(H3) 預(yù)解算子R(t,s)是一致連續(xù)的, 且存在常數(shù)Ra≥1,使得sup(t,s)∈T‖R(t,s)‖≤Ra．

(H4) 函數(shù)f:J×X×X→X滿足:

i)f(t,·,·):X×X→X, 對(duì)t∈J幾乎處處連續(xù), 且f(·,x,y):J→X對(duì)x,y∈X×X強(qiáng)可測(cè);

ii) 存在函數(shù)η∈L1(J;R+), 使得對(duì)幾乎處處t∈J,?x,y∈X, 有

‖f(t,x,y)‖≤η(t)(‖x‖+‖y‖);

iii) 存在函數(shù)l∈L1(J;R+), 使得對(duì)任意的有界集A,B?X且對(duì)幾乎處處t∈J,有

α(f(t,A,B))≤l(t)(α(A)+α(B))．

(H5) 函數(shù)h:T×X→X滿足:

i)h(t,s,·):X→X,對(duì)(t,s)∈T幾乎處處連續(xù), 且h(·,·,x):T→X對(duì)x∈X強(qiáng)可測(cè);

ii) 存在函數(shù)m∈L1(T;R+),有‖h(t,s,x)‖≤m(t,s)‖x‖;

iii) 存在函數(shù)ζ1,ζ2∈L1(J;R+), 使得對(duì)任意的有界集D?X, 且對(duì)幾乎處處(t,s)∈T, 有α(h(t,s,D))≤ζ1(t)ζ2(s)α(D)．

(H6) 函數(shù)γk:[tk,sk]×X→X連續(xù), 并且存在常數(shù)Kγk>0,k=1,2,…,m, 對(duì)任意的u,v∈X有‖γk(t,u)-γk(t,v)‖≤Kγk‖u-v‖,?t∈(tk,sk]．方便起見,記

(3)

(4)

(5)

定理2若條件(H1)～(H6)成立, 且

Ramax{K+Ψ+m*Ψ,K+4L}<1,

(6)

則方程(1)在區(qū)間J上至少存在一個(gè)適度解．

證明 定義算子F:P(J,X)→P(J,X)為

(Fu)(t)=(F1u)(t)+(F2u)(t),

(7)

其中

(8)

(9)

為了使用Darbo不動(dòng)點(diǎn)定理, 將分6步證明算子F至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

第1步證明Fu∈P(J,X), 對(duì)?u∈P(J,X)．

情形2t∈(tk,sk], 由式(7)～(9)及條件(H6), 非瞬時(shí)脈沖函數(shù)γk(t,u(t))(k=1,2,…m)是連續(xù)的, 故對(duì)?u∈P(J,X),Fu∈C((tk,sk],X),k=1,2,…m．

綜上所述, 對(duì)?u∈P(J,X),Fu∈P(J,X)．

第2步證明存在常數(shù)r>0, 使得F(Ωr)?Ωr． 如若不然, 對(duì)任意的r>0, 存在ur∈Ωr,tr∈J, 使得‖F(xiàn)(ur)(tr)‖>r．

情形1tr∈[0,t1], 由式(7)～(9), 條件(H3)～(H5)及式(4)～(5)有

(10)

情形2tr∈(tk,sk],k=1,2,…m, 由式(7)～(9), 條件(H6)及式(3)有

‖(Fur)(tr)‖≤Kγk‖ur(tr)‖+‖γk(tr,θ)‖≤Kγkr+N≤Kr+N,

(11)

其中

N=maxk=1,2,…,msupt∈J‖γk(t,θ)‖．

(12)

情形3tr∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m, 由式(7)～(9), 條件(H3)～(H6)及式(3)～(5)和(12)有

(13)

由式(10),(11),(13), 并結(jié)合r<‖F(xiàn)(ur)(tr)‖, 有r<‖F(xiàn)(ur)(tr)‖≤Ra[‖u0‖+(K+Ψ+m*Ψ)r+N]．兩邊同時(shí)除以r, 并令r→+∞, 得1≤Ra(K+Ψ+m*Ψ)．這與式(6)矛盾．

第3步證明算子F1:Ωr→ΩrLipschitz連續(xù)．

情形1t∈(tk,sk],k=1,2,…m,?u,v∈Ωr, 由式(8)及條件(H6)有

‖F(xiàn)1u(t)-F1v(t)‖≤Krk‖u(t)-v(t)‖≤Krk‖u-v‖P．

(14)

情形2t∈(sk,tk+1],?u,v∈Ωr, 由式(8)及條件(H3)和(H6)有

‖F(xiàn)1u(t)-F1v(t)‖≤RaKγk‖u(sk)-v(sk)‖≤RaKγk‖u-v‖P．

(15)

由式(3),(14),(15), 得‖F(xiàn)1u-F1v‖P≤RaK‖u-v‖P．

第4步證明算子F2在Ωr上連續(xù)．設(shè){un}?Ωr是一個(gè)序列, 且limn→+∞un=u,u∈Ωr,由函數(shù)f和h的連續(xù)性可知, 對(duì)?s∈J, 有

(16)

由式(9),(16)及條件(H3),有

當(dāng)n→+∞時(shí), 由Lebesgue控制收斂定理, 得‖(F2un)-(F2u)‖P→0, 故F2在Ωr上連續(xù)．

綜上所述, ‖(F2u)(t″)-(F2u)(t′)‖→0,故F2:Ωr→Ωr等度連續(xù)．

第6步證明F:Ωr→Ωr是k集壓縮映射．對(duì)任意的有界集D?Ωr, 由引理3可知,存在一個(gè)可數(shù)集D0={un}?D,使

αP(F2(D))≤2αP(F2(D0))．

(17)

因F2(D0)?F2(Ωr)有界且等度連續(xù),故由引理5可知

αP(F2(D0))=maxt∈[sk,tk+1],k=0,1,…,mα(F2(D0)(t))．

(18)

α(F2(D0)(t))≤2RaLαP(D),

(19)

故由式(17)～(19),αP(F2(D))≤4RaLαP(D)．由引理2中(vii)并結(jié)合第3步可知,對(duì)任意有界集D?Ωr, 有αP(F1(D))≤RaKαP(D), 故αP(F(D))≤αP(F1(D))+αP(F2(D))≤Ra(K+4L)αP(D)．結(jié)合式(6),由定義2可知,F:Ωr→Ωr是k-集壓縮映射．

因此, 由Darbo不動(dòng)點(diǎn)定理可得算子F在Ωr上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn), 即方程(1)在區(qū)間J上至少有一個(gè)適度解．