巧用旋轉變換求解線段(和)的最值問題

羅強華

(重慶市奉節(jié)縣巴蜀渝東中學,404600)

在初中幾何試題中,我們時常遇到求解某條線段或某兩條線段之和的最值問題.解決這類問題的常用方法是通過旋轉變換作出恰當?shù)妮o助線,并借助全等三角形或相似三角形,將相關線段置于某一三角形中,再根據(jù)三角形的三邊關系,即“三角形的任意兩邊之和大于第三邊,三角形的任意兩邊之差小于第三邊”來求解.下面舉例說明.

一、以三角形為載體

1.構造全等三角形

例1如圖1,等邊?ABC的邊長為2,點D為BC邊的中點,連結AD,點E,F分別是AD,AC上的兩個動點,且AE=CF,求BF+CE的最小值.

分析由等邊?ABC及AE=CF,通過旋轉變換構造全等三角形將BF和CE這兩條分散的線段集中到一個三角形當中,再借助三角形的三邊關系來解決問題.

解如圖1,將線段AC繞點A順時針旋轉90°到AG,連結GE,GC.

∵D為等邊?ABC的BC邊的中點,

∴AD⊥BC,∴∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠GAE=∠ACD.

∵AG=BC,AE=CF,

∴?AGE≌?CBF,∴GE=BF.

說明當圖形中的線段比較分散時,可以通過旋轉變換將分散的線段集中在一個三角形中來解決問題.

2.構造相似三角形

例2[1]如圖2,在Rt?ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=30°,點P為?ABC所在平面內的一點,且點P到?ABC的頂點A,B的距離分別為PA=6,PB=8,求PC的最值.

分析由圖形可知,PA,PB,PC是分散的,從而想到通過旋轉變換將三條線段集中到一個三角形當中,再通過三角形的三邊關系來求PC的最值.

又∵∠CAP′=∠BAP,

在?CPP′中,由三角形的三邊關系,可得CP′-P′P≤PC≤CP′+P′P(當且僅當C,P,P′三點共線時,取“=”),

二、以四邊形為載體

分析由共端點的等線段AB和AD,想到通過旋轉將CD,CB集中到一個三角形當中,則問題迎刃而解.

解如圖3,將?ACD繞點A順時針旋轉90°至?AC′B,連結CC′,則CD=C′B,?ACC′是等腰直角三角形.

在?BCC′中,由三角形的三邊關系,可得C′B+CB≥CC′=10(當且僅當B,C,C′三點共線時,取“=”),

即CD+CB≥1,

∴CD+CB的最小值為10.

故答案為10.

三、以正方形為載體

例4如圖4,在?ABC中,BA=1,BC=2,以AC為邊作正方形ACDE,使E,B兩點落在直線AC的兩側,當∠ABC變化時,求BE的最大值.

分析由正方形具有共端點的等線段想到將?ABE繞點A旋轉,得到等腰Rt?ABB′,可確定BB′為定值,再在?BB′C中運用三角形的三邊關系便能求解.

解如圖4,將?ABE繞點A順時針旋轉90°至?AB′C,則BE=B′C,?ABB′為等腰直角三角形,

四、以半圓為載體

例5[2]如圖5,已知半圓O的直徑為2,射線AF與半圓O相切于點A,長為1的線段CD在半圓上滑動,E是射線AF上的一動點,則BC+DE的最小值為______.

分析由半圓的半徑相等,想到通過旋轉變換將BC和DE這兩個分散的線段集中到一個三角形當中,再運用三角形的三邊關系可求得BC+DE的最小值.

解如圖5,連結OC,OD.

由題意,可得等邊?COD,

∴∠DOC=60°.

將?BOC繞點O逆時針旋轉60°至?MOD,連結EM,則∠BOM=60°.

在?DEM中,由三角形的三邊關系,可得DM+DE≥EM(當且僅當D,E,M三點共線時,取“=”),

∴BC+DE≥EM.

過點M作MN⊥AB于點N,則ON=

∵射線AF與半圓O相切于點A,

∴AB⊥AF,