彈性力學(xué)探究式案例教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐

劉子心，劉章軍，孫治國(guó)

(1.防災(zāi)科技學(xué)院 土木工程學(xué)院，河北 三河 065201；2.武漢工程大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430074)

探究式教學(xué)是在教學(xué)過(guò)程中創(chuàng)設(shè)一種類(lèi)似科學(xué)研究的情境，以課堂作為教師和學(xué)生溝通的主渠道，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中獨(dú)立自主地探究學(xué)科知識(shí)，從而理解、質(zhì)疑、反思、批判、發(fā)展并創(chuàng)造學(xué)科知識(shí)，并從中發(fā)展與培養(yǎng)個(gè)性、思想、人格及社會(huì)責(zé)任感，全方位提高自身素質(zhì)。可見(jiàn)，探究式教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)模式存在顯著差異。探究式教學(xué)更加注重學(xué)術(shù)深度，探討基本教學(xué)內(nèi)容的深層次內(nèi)涵。教學(xué)實(shí)踐中，適度追求教學(xué)內(nèi)容的深度，可幫助學(xué)生加深對(duì)于基本教學(xué)內(nèi)容的理解，并激發(fā)學(xué)生的專(zhuān)研精神和創(chuàng)新精神。彈性力學(xué)是固體力學(xué)的重要分支，也是塑性力學(xué)等后繼力學(xué)課程的重要基礎(chǔ)，其理論被廣泛應(yīng)用于土木、水利、機(jī)械、航天等工程領(lǐng)域。然而，彈性力學(xué)相對(duì)于材料力學(xué)而言，其涉及的數(shù)學(xué)公式較多且復(fù)雜(多為偏微分方程)，邏輯推理更為嚴(yán)密，計(jì)算工作量大，具有較強(qiáng)的理論性和抽象性，學(xué)生學(xué)習(xí)難度較大。因此，在彈性力學(xué)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)突出彈性力學(xué)的基本理論，向?qū)W生展現(xiàn)其豐富的內(nèi)涵。同時(shí)，開(kāi)展探究式教學(xué)，需注重從力學(xué)的基本原理方面挖掘基本教學(xué)內(nèi)容的深度，引導(dǎo)學(xué)生從更深的層次上分析和理解這些內(nèi)容。此外，教學(xué)中注重從工程案例中引入力學(xué)概念，并強(qiáng)調(diào)其物理意義和數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，強(qiáng)化研究方法和解題思路。使學(xué)生在理解基本教學(xué)內(nèi)容的同時(shí)，能創(chuàng)造性地應(yīng)用這些概念、原理以及公式去分析解決復(fù)雜的工程實(shí)際問(wèn)題。

圣維南原理(Saint Venant’s Principle)在彈性力學(xué)中具有重要的理論與實(shí)際意義。彈性力學(xué)求解問(wèn)題實(shí)質(zhì)是偏微分方程組的邊值問(wèn)題。其中，偏微分方程組是彈性力學(xué)的共性問(wèn)題；邊界條件是彈性力學(xué)的個(gè)性問(wèn)題。應(yīng)力、位移等未知函數(shù)必須滿足所有偏微分方程組和全部邊界條件。其求解的困難主要在于難以滿足邊界條件。一方面，雖然大部分邊界條件能精確滿足，但在部分局部邊界上的邊界條件卻較難精確滿足；另一方面，工程中往往只知道作用于某一局部邊界上的主矢量和主矩，而不清楚其面力的具體分布形式，因而無(wú)法精確地表達(dá)局部邊界上的邊界條件。而圣維南原理為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供了便利。本文基于探究式教學(xué)的內(nèi)涵與理念，在彈性力學(xué)課程教學(xué)過(guò)程中，以圣維南原理及其應(yīng)用這一基本教學(xué)內(nèi)容為例，通過(guò)對(duì)基本教學(xué)內(nèi)容的深入闡述與延拓，開(kāi)展了探究式案例教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐。

一、基本教學(xué)內(nèi)容

在工科專(zhuān)業(yè)的彈性力學(xué)課程教學(xué)中，圣維南原理及其應(yīng)用的基本教學(xué)內(nèi)容主要包括基本概念、基本問(wèn)題和基本方法。通常，以鉗子夾鐵絲這一常見(jiàn)的生活實(shí)例為引子，如圖1所示，鐵絲在A處被鉗子夾緊，相當(dāng)于在該處施加了一對(duì)平衡力系，無(wú)論作用力的大小，在所夾部位A處以外的其他部位幾乎沒(méi)有應(yīng)力產(chǎn)生，甚至鐵絲被鉗子夾斷后，A處以外的其他部位幾乎不受影響。這個(gè)例子生動(dòng)地說(shuō)明了圣維南原理的真實(shí)性。

圖1 鉗子夾鐵絲

(一)基本概念

圣維南原理源于法國(guó)著名科學(xué)家圣維南。圣維南在1855年發(fā)現(xiàn)了一個(gè)現(xiàn)象：若將作用于物體局部邊界上的面力，用另一組與它靜力等效的力系來(lái)代替，則在力系作用區(qū)域近處的應(yīng)力將有顯著的改變，但在遠(yuǎn)處幾乎不受影響。這就是局部效應(yīng)原理，也稱(chēng)為圣維南原理。實(shí)際上，對(duì)于圣維南原理，關(guān)鍵在于如何理解局部邊界(小邊界或次要邊界)、靜力等效、近處以及遠(yuǎn)處等概念。

正如鉗子夾鐵絲的例子，在鉗子夾鐵絲的A處，相當(dāng)于在該處施加了一對(duì)平衡力系。由此可引出圣維南原理的另一種表述：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系，那么，這個(gè)面力僅僅使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以忽略不計(jì)。在這一表述中，重點(diǎn)需要理解靜力平衡的概念。在實(shí)際教學(xué)中，一般通過(guò)幾個(gè)具體的例子，來(lái)進(jìn)一步闡述圣維南原理的基本概念。

圖2 圣維南原理的基本概念：例1

例2，如圖3中兩個(gè)帶小圓孔的無(wú)限平面域。右邊圖在小圓孔周邊作用有均布?jí)毫Γ捎谒且粋€(gè)平衡力系，即主矢量和主矩都等于0的面力，因此，小圓孔附近區(qū)域會(huì)產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而其他絕大部分區(qū)域，將與左邊圖(小圓孔周邊沒(méi)有任何面力作用)的應(yīng)力狀態(tài)相似，接近于無(wú)應(yīng)力狀態(tài)。

圖3 圣維南原理的基本概念：例2

從上述兩個(gè)例子可知，靜力等效和靜力平衡這兩個(gè)概念較重要。不僅要明確兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，還要清楚如何由這兩個(gè)概念得到應(yīng)用圣維南原理解決工程問(wèn)題的兩種基本方法，即靜力等效法和靜力平衡法。

(二) 基本問(wèn)題

在圣維南原理及其應(yīng)用的基本問(wèn)題中，通常以圖4所示的等截面矩形梁為例。其中，梁的厚度為1，在局部邊界上受主矢量和主矩(這里可以理解為廣義面力，區(qū)別于分布面力)的作用，思考如何應(yīng)用圣維南原理建立局部邊界的應(yīng)力邊界條件。

圖4 基本問(wèn)題

對(duì)于基本問(wèn)題，可以通過(guò)兩種基本方法來(lái)建立應(yīng)力邊界條件，第一種是在局部邊界上，首先用假想的分布面力的主矢量和主矩與已知的主矢量和主矩進(jìn)行靜力等效，再利用應(yīng)力邊界條件公式，建立積分的應(yīng)力邊界條件；另一種是在局部邊界附近取一微小的脫離體，考慮脫離體的靜力平衡條件，進(jìn)而建立積分的應(yīng)力邊界條件。第一種方法為靜力等效法，第二種方法為靜力平衡法。教學(xué)實(shí)踐中，基本教學(xué)內(nèi)容中一般僅介紹靜力等效法，而將靜力平衡法放在具體彈性力學(xué)問(wèn)題的求解中直接應(yīng)用。這樣安排教學(xué)內(nèi)容，不利于學(xué)生深刻理解靜力等效法與靜力平衡法之間的聯(lián)系與區(qū)別，也不利于學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)思考如何更好地選擇求解方法。為此，在實(shí)際教學(xué)中，將兩種方法同時(shí)介紹，以展現(xiàn)兩種方法的異同點(diǎn)，以便幫助學(xué)生靈活應(yīng)用圣維南原理來(lái)建立局部邊界的應(yīng)力邊界條件。

事實(shí)上，在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于基本問(wèn)題，只考慮局部邊界為坐標(biāo)面的情況，沒(méi)有考慮一般的邊界面，如斜面或曲面的情況。同時(shí)，坐標(biāo)軸一般取為梁的軸線，那么，坐標(biāo)軸不在梁的軸線上應(yīng)如何建立應(yīng)力邊界條件。上述情況需進(jìn)行系統(tǒng)闡述。

(三) 基本方法

1.靜力等效法

圖5 靜力等效法

(1)

利用精確的應(yīng)力邊界條件公式，并考慮局部邊界=0是一個(gè)坐標(biāo)面，其方向余弦為{-1,0}，容易得到假想的面力分量與應(yīng)力分量的邊界值之間的關(guān)系，即式(2)。

(2)

再將關(guān)系式(2)代入靜力等效條件式(1)中，即可得到積分的應(yīng)力邊界條件式(3)。

(3)

事實(shí)上，積分的應(yīng)力邊界條件就是應(yīng)力分量邊界值的主矢量及主矩與已知的主矢量及主矩之間的靜力等效。因此，對(duì)于局部邊界為坐標(biāo)面時(shí)，也可以直接用應(yīng)力分量邊界值的主矢量及主矩與原問(wèn)題中的主矢量及主矩進(jìn)行靜力等效，即可得到積分的應(yīng)力邊界條件?？梢?jiàn)，對(duì)于坐標(biāo)面邊界，直接用應(yīng)力進(jìn)行靜力等效比面力等效更為簡(jiǎn)潔方便；但對(duì)于一般的局部邊界，如斜面、曲面等，則需要用面力進(jìn)行靜力等效。

2.靜力平衡法

對(duì)于靜力平衡法，首先在局部邊界附近取一微小的脫離體，并暴露出應(yīng)力分量，如圖6所示。

圖6 靜力平衡法

根據(jù)靜力平衡條件，得到圖6所示脫離體的靜力平衡條件：

(4)

最后，令d→0，即可得到局部邊界=0的應(yīng)力邊界條件式(3)。通過(guò)比較式(1)與式(4)，可看到靜力等效與靜力平衡的聯(lián)系與區(qū)別。

在彈性力學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，圣維南原理及其應(yīng)用的基本方法主要包括以圖5為主的靜力等效法和以圖6為主的靜力平衡法。教科書(shū)中也采用了靜力平衡法來(lái)處理楔形體在尖劈頂端受集中力或力偶作用的問(wèn)題。為了幫助學(xué)生深刻理解圣維南原理的實(shí)質(zhì)，以及掌握在不同局部邊界上如何靈活應(yīng)用圣維南原理，可以對(duì)基本問(wèn)題和基本方法進(jìn)行延拓，以便更好地理解圣維南原理的內(nèi)涵，并應(yīng)用圣維南原理來(lái)解決實(shí)際工程問(wèn)題。

二、基本問(wèn)題的延拓

圖4中，當(dāng)坐標(biāo)軸平移至梁的上、下邊界時(shí)，如圖7(a)和7(b)所示，則需要考慮如何建立局部邊界的應(yīng)力邊界條件。

圖7 基本問(wèn)題的延拓

主矢量的靜力等效條件(即沿兩坐標(biāo)軸投影的靜力等效條件)沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的變化，只需將積分的上下限作相應(yīng)的改變，而主矩的靜力等效條件則需要重新建立。圖7(a)的應(yīng)力邊界條件為式(5)，圖7(b)的應(yīng)力邊界條件則式(6)

(5)

(6)

顯然，式(5)和式(6)中的第三式均以坐標(biāo)原點(diǎn)來(lái)建立主矩的靜力等效條件。事實(shí)上，只要等式兩邊都以同一點(diǎn)來(lái)建立主矩的靜力等效條件即可。此外，若以靜力平衡條件來(lái)建立上述應(yīng)力邊界條件，也較容易得到相同的結(jié)果。

對(duì)于基本問(wèn)題的延拓，還可以直接從基本問(wèn)題的積分應(yīng)力邊界條件式(3)中，分別利用坐標(biāo)變換=-/2和=+/2，即可得到式(5)和式(6)。

從基本問(wèn)題的延拓中可以看到，圖7中，雖然局部邊界也為坐標(biāo)面，但坐標(biāo)軸的位置發(fā)生了改變。在實(shí)際操作時(shí)，學(xué)生需要根據(jù)變化后的坐標(biāo)軸應(yīng)用靜力等效條件或靜力平衡條件或坐標(biāo)變換來(lái)得到積分的應(yīng)力邊界條件，這對(duì)于深刻理解“靜力等效”“靜力平衡”以及“坐標(biāo)變換”等概念較有利。

三、基本方法的延拓

(一)靜力等效法的延拓

圖8(a)所示有斜邊的矩形懸臂梁厚度為1，在斜邊的中心作用有切向力和力矩。應(yīng)用圣維南原理建立斜邊的應(yīng)力邊界條件。

圖8 靜力等效法的延拓

顯然，案例中的局部邊界面是斜面(不是坐標(biāo)面)，應(yīng)力分量的邊界值不能直接給出，因此直接用應(yīng)力等效較為不便。為此，需要按照面力等效的步驟來(lái)建立積分的應(yīng)力邊界條件。

首先，列出局部邊界的外法線方向余弦=cos，=sin，并給出邊界面的數(shù)學(xué)表達(dá)式。然后，列出局部邊界上的應(yīng)力，用假想的面力分量來(lái)表示的靜力等效條件。應(yīng)用圣維南原理，在局部邊界上，圖8(b)與圖8(a)的靜力等效條件為：

(7)

再利用精確的應(yīng)力邊界條件公式：

(8)

其中，斜邊界可表示為=-(-/2)tan。

將式(8)代入式(7)中，同時(shí)，注意到弧微分與坐標(biāo)微分的變換關(guān)系d=d/cos，即可得局部邊界的積分應(yīng)力邊界條件：

(9)

事實(shí)上，對(duì)于一般的局部邊界，如斜面、曲面等，應(yīng)用面力的靜力等效法來(lái)建立其應(yīng)力邊界條件較方便。

(二)靜力平衡法的延拓

圖9(a)中三角形懸臂梁厚度為1，在頂端處受單位厚度的集中力偶作用，應(yīng)用圣維南原理建立其應(yīng)力邊界條件。

圖9 靜力平衡法的延拓

對(duì)于圖9(a)所示的特殊局部邊界問(wèn)題，采用靜力平衡法較方便。在一般彈性力學(xué)教科書(shū)中，大多以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，取任意半徑的脫離體，如圖9(b)所示。考慮脫離體的靜力平衡條件，得到式(10)。

(10)

事實(shí)上，對(duì)于這一特殊的局部邊界(局部邊界為頂端處的一點(diǎn))，可以轉(zhuǎn)化為常規(guī)的局部邊界(即=邊界)，如圖9(c)所示。只要脫離體II取得微小(即較小)，根據(jù)靜力等效條件，彈性體III與彈性體I等價(jià)，從而彈性體III具有了常規(guī)的局部邊界(即=邊界)，其應(yīng)力邊界條件即為式(10)。因此，彈性體III的解答與原問(wèn)題(彈性體I)的解答相同，根據(jù)這一思想，對(duì)于變截面矩形懸臂梁則可利用三角形懸臂梁的解答來(lái)求解。

對(duì)于圖9(a)所示的彈性力學(xué)問(wèn)題，當(dāng)→0時(shí)，其解答出現(xiàn)奇異解，說(shuō)明在三角形頂端附近處的解答不適用。因此，在滿足靜力平衡條件時(shí)，可將三角形頂端附近的小部分彈性體作“減”處理，而不會(huì)對(duì)遠(yuǎn)離三角形頂端彈性體的解答產(chǎn)生影響。

四、基本概念的延拓

(一)工程應(yīng)用中的注意事項(xiàng)

在工程實(shí)際中，圣維南原理并不能適用所有的情況，如圖10所示的工字鋼受扭矩作用。對(duì)于作用在翼緣上的一對(duì)力偶，該力偶雖然是一對(duì)平衡力系，但距離該力偶較遠(yuǎn)處的部位依然存在顯著的應(yīng)力。因此，對(duì)于殼體、梁和桁架之類(lèi)的薄壁結(jié)構(gòu)，不能簡(jiǎn)單按處理“結(jié)實(shí)”物體的方式來(lái)應(yīng)用圣維南原理。因?yàn)楸”诮Y(jié)構(gòu)內(nèi)的載荷路徑較少，所以擾動(dòng)傳播的距離較遠(yuǎn)。

圖10 工字鋼受扭矩作用

這個(gè)例子表明，當(dāng)荷載作用區(qū)域大于物體受力處截面組成部分的最小尺寸時(shí)，圣維南原理無(wú)效。如果雙力偶同時(shí)作用在腹板上，且雙力偶的力臂小于腹板厚度，圣維南原理仍然有效。因此，在應(yīng)用圣維南原理時(shí)應(yīng)當(dāng)具體問(wèn)題具體分析。

(二)對(duì)位移邊界條件的啟發(fā)

盡管圣維南原理主要針對(duì)應(yīng)力邊界條件，事實(shí)上，其基本思想對(duì)于局部邊界上的位移邊界條件也有重要的借鑒意義，例如圖11中懸臂梁固定端位移邊界條件的近似表達(dá)。固定端精確的位移邊界條件可由函數(shù)方程式(11)表達(dá)。

圖11 位移邊界條件

(11)

該方程在實(shí)際工程中往往不易滿足。此時(shí)，需要用近似的位移邊界條件來(lái)替代，即式(12)。

(12)

顯然，近似的位移邊界條件是代數(shù)方程，可簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解。

可見(jiàn)，近似的位移邊界條件與積分的應(yīng)力邊界條件，或者與近似的應(yīng)力邊界條件具有異曲同工的效果，這是圣維南原理基本思想的具體體現(xiàn)。最后，總結(jié)歸納應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件，見(jiàn)表1。

表1 精確的邊界條件與近似的邊界條件對(duì)比

五、結(jié)語(yǔ)

開(kāi)展探究式教學(xué)是提高高等學(xué)校教育教學(xué)質(zhì)量的途徑之一。探究式教學(xué)重在鼓勵(lì)學(xué)生“在學(xué)習(xí)中研究，在研究中學(xué)習(xí)”，鼓勵(lì)學(xué)生不要僅僅滿足于教材中的基本教學(xué)內(nèi)容和知識(shí)，要研究和挖掘基本教學(xué)內(nèi)容的深度。通過(guò)在教學(xué)過(guò)程中給學(xué)生提供基于課程教學(xué)內(nèi)容而又略高于課程教學(xué)內(nèi)容的問(wèn)題，這些問(wèn)題可以是基于教學(xué)內(nèi)容的延伸和擴(kuò)展，也可以是與工程實(shí)際有關(guān)的問(wèn)題，還可以是力學(xué)建模問(wèn)題，激勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于專(zhuān)研、勤于思考的品質(zhì)，使學(xué)生初步具備研究能力和一定的科學(xué)素養(yǎng)。

彈性力學(xué)是固體力學(xué)的分支，主要研究彈性體在外力、位移約束或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，從而解決各類(lèi)工程中的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定問(wèn)題。在彈性力學(xué)課程教學(xué)中，以圣維南原理及其應(yīng)用這一基本教學(xué)內(nèi)容為例，深入開(kāi)展了探究式案例教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐。在基本教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)圣維南原理的基本概念，以及圣維南原理應(yīng)用的基本問(wèn)題和基本方法進(jìn)行深入闡述與延拓，并進(jìn)一步結(jié)合工程實(shí)踐，探討了在不同的局部邊界上如何有效理解和靈活應(yīng)用圣維南原理。教學(xué)實(shí)踐表明，探究式教學(xué)有助于學(xué)生更加深刻地領(lǐng)悟力學(xué)原理的實(shí)質(zhì)及實(shí)踐應(yīng)用，能夠極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和鉆研精神。學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)成績(jī)顯著提高，探究式教學(xué)值得在教學(xué)中推廣應(yīng)用。