面向工程教育的土木工程專業(yè)有限元課程探索

李培振，鄭博文

（同濟大學土木工程學院結(jié)構(gòu)防災減災工程系，上海 200092）

隨著我國基礎(chǔ)建設(shè)的發(fā)展，以經(jīng)驗為主的設(shè)計、施工操作已經(jīng)不能滿足當下土木工程需求，取而代之的是基于計算機的數(shù)值模擬方法，運用理論，輔以強大的計算能力，對復雜條件下的工況進行模擬計算。作為20 世紀發(fā)展起來解決工程計算的方法——有限元，已廣泛應用到多個研究領(lǐng)域，成為科研工作者、工程師解決實際問題的有力工具。作為新時代的土木工程從業(yè)人員，掌握一定的有限元理論，熟練使用有限元軟件，已經(jīng)成為一項必備的能力，同時學習有限元的相關(guān)知識也是當代土木從業(yè)人員加強自身競爭力和自我提升的有效途徑之一。但目前在有限元的教學過程中，教師存在忽略理論，以軟件操作為主的問題，這樣的教學方式導致學生在有限元分析過程中，分析思路模糊，更甚者所建模型與實際情況差距過大，分析結(jié)果可信度下降。對此，本文將進行面向工程教育的土木工程有限元課程探索，提出以有限元常見單元講解介紹為主，從一維桿單元到三維高次單元，從離散單元位移模式的假定，推導得到單元剛度矩陣，對整個有限元分析流程進行細致講解的教學方法。教學過程中采用課后作業(yè)、課堂案例演示等多種方法，加深學生對有限元計算理論的理解，為之后學習有限元軟件打下堅實的基礎(chǔ)，提升學生運用有限元解決實際問題的能力。

6.2 淮海經(jīng)濟區(qū)的中心城市建設(shè)、商業(yè)中心度必然需要快速發(fā)展商業(yè)經(jīng)濟。徐州應該打造屬于自己的整體商業(yè)品牌，真正地成為淮海經(jīng)濟區(qū)的商業(yè)中心，增強商業(yè)綜合體對周邊區(qū)域的輻射力，帶動周邊地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展。但徐州市中心城區(qū)的商業(yè)圈未形成一個整體，城市地區(qū)之間向心性偏弱，分布不均衡，集聚區(qū)域過于集中，老城片區(qū)整體商業(yè)綜合體已處于飽和，集聚密度高，可以選擇在城市西部和北部建設(shè)商業(yè)綜合體。同時，徐州市正在修建地鐵，公共交通建設(shè)將逐漸完善，交通便利度在商業(yè)綜合體空間布局眾多影響因子中的影響力越來越強，建議商業(yè)綜合體的選址在地鐵站附近，地鐵站人流量大、可以帶動商業(yè)綜合體的發(fā)展。

1 課程重點

課程以有限元單元介紹為主，從二維到三維，逐步深入。有限元法分析步驟分為：建立有限元模型，形成總體剛度矩陣，施加荷載引入邊界條件，求解節(jié)點位移單元應力分量等。有限元模型是有限元分析的基礎(chǔ)。有限元分析中要選擇合理的單元類型，對結(jié)構(gòu)進行離散化，用單元來模擬分析對象，單元之間通過節(jié)點連接，因此單元的選擇會影響有限元法的計算精度、計算效率及計算收斂性。分析過程中，能夠用合理的單元對分析對象進行模擬，是建立在對單元基本特性充分理解的基礎(chǔ)上。因此，在本課程中以面向工程為目的的有限元課程教學過程中，將對有限元中常用的單元進行講解。目前有限元多數(shù)是以結(jié)點位移為未知量，從單元位移形函數(shù)的建立入手，推導得到單元的剛度矩陣，講解等效節(jié)點荷載向量的建立，單元剛度矩陣集成到總體剛度矩陣，有限元方程的求解及后處理，讓學生充分了解不同類型的單元，對有限元計算模擬流程有比較明確的了解與認知。

結(jié)合轄區(qū)范圍內(nèi)畜牧養(yǎng)殖產(chǎn)業(yè)發(fā)展現(xiàn)狀，積極推廣先進的畜牧養(yǎng)殖技術(shù)，切實做好暖棚養(yǎng)畜、優(yōu)化牧草種植結(jié)構(gòu)、牛羊舍飼半舍飼養(yǎng)殖、牛羊集約化規(guī)?；B(yǎng)殖、畜產(chǎn)品安全生產(chǎn)等先進技術(shù)的推廣應用工作。逐步改變牧區(qū)長期依靠放牧養(yǎng)殖草食動物的習慣，縮短放牧周期，由春、夏、秋、冬四季放牧轉(zhuǎn)變?yōu)橄那锓拍?，冬春季?jié)舍飼養(yǎng)殖，切實挖掘牲畜的生產(chǎn)能力。同時還應進一步加強科學技術(shù)研發(fā)能力，及時將研發(fā)出的最新成果轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力，依靠基層地區(qū)技術(shù)推廣隊伍，將實用性的畜牧養(yǎng)殖技術(shù)送到千家萬戶，進而在較短時間內(nèi)培養(yǎng)一批懂技術(shù)、會經(jīng)營、善管理的新型養(yǎng)殖戶群體，使其成為先進畜牧養(yǎng)殖技術(shù)、草原生態(tài)保護技術(shù)的應用主體。

2 課程內(nèi)容設(shè)置

有限元法是一種基于數(shù)學和力學原理，以計算機為工具的數(shù)值計算方法。涉及微積分、線性代數(shù)、泛函分析、偏微分方程、張量分析、數(shù)值計算、理論力學、材料力學、結(jié)構(gòu)力學、彈性力學等課程的知識。因此合理的課程安排對教學過程有著重要的意義，以下將對本課程的課程內(nèi)容進行說明。

第六章等參單元，針對工程中一些結(jié)構(gòu)的形狀是比較復雜的，介紹了具有曲面形狀的等參單元，介紹了等參單元在局部坐標向整體坐標轉(zhuǎn)換的雅可比矩陣。在求解剛度矩陣和等效節(jié)點力積分運算所采用的數(shù)值計算方法——高斯求積法，之后介紹了有限元求解之后對應力計算結(jié)果的整理，采用的是單元平均或結(jié)點、總體應力磨平法等方法。

第四章平面高次單元，分析了三角形單元的優(yōu)缺點，進而描述了平面分析中常用的矩形單元，介紹矩形單元的形函數(shù)，推導了四結(jié)點矩形單元的單元剛度矩陣以及單元等效節(jié)點荷載矩陣，講述了更高次三角形單元形函數(shù)的構(gòu)造方法。

第三章平面三角形單元，在上節(jié)課的基礎(chǔ)上，對一般力學問題的求解方法進行說明，引出有限元是一種有效的求解工程實際問題的數(shù)值方法，對有限元求解的步驟進行簡單說明，并以彈性力學的平面問題為例，介紹了三角形單元的構(gòu)造過程，詳細推導了單元剛度矩陣。并介紹了二維單元多項式位移構(gòu)造模式及其需滿足的基本條件。同時講解了如何通過單元剛度矩陣集成到總體剛度矩陣、等效節(jié)點荷載向量的求解，以及如何引入邊界條件。

第二章彈性力學的基本問題，對彈性力學的基本方程進行介紹，有限單元法這門課程及內(nèi)容非常廣泛，不可能都一一加以介紹學習，本課程的基本出發(fā)點是土木工程中如何應用有限單元法去解決結(jié)構(gòu)設(shè)計中的力學分析問題，重點是掌握彈性力學有限單元法的基本原理和基本方法。對此簡單回顧和介紹彈性力學中的一些基本方程和基本問題，彈性力學有限單元法是基于這些基本方程產(chǎn)生相應的計算格式。通過力學當中簡單彈性力學問題的引入過渡到有限元數(shù)值方法的講解。

第九章有限元法中的動力學問題和非線性問題，本章節(jié)主要介紹有限元在結(jié)構(gòu)動力分析非線性問題方面的應用，對有限元分析中的自由振動分析和動力響應分析的計算理論進行了介紹。其次，介紹了常見的非線性問題、幾種求解非線性問題的方法，直接迭代法、牛頓—拉裴遜（Newton—Raphson）法、荷載增量法。

第七章桿單元和梁單元，主要介紹了在結(jié)構(gòu)力學分析中常用的兩種單元，桿單元和梁單元，對各自的位移形函數(shù)進行了講解，推導了單元剛度矩陣及等效節(jié)點荷載向量，并通過一定的實例進行了詳細闡述。

第一章概述，對有限元的基本定義和思想方法進行介紹，概述有限元發(fā)展的歷史，有限元分析主要的應用領(lǐng)域，常見有限元軟件的介紹，不同軟件的對比，有限元相較其他數(shù)值計算方法的優(yōu)缺點，以及本課程中用到的參考書，使學生對有限元有初步的了解。

第五章空間單元，實際工程中，一般說來都屬于空間問題，極少數(shù)問題可以簡化為平面問題。因此本章將介紹彈性力學一般空間問題的有限元法的基本概念，結(jié)合四面體單元、六面體單元進行說明，分別介紹了四面體單元、六面體單元的位移形函數(shù)，推導了四面體單元、六面體單元的剛度矩陣以及各自的等效節(jié)點荷載向量。

第八章板殼單元，板殼結(jié)構(gòu)在實際工程中也有著廣泛的應用，因此需要對板殼單元進行簡單介紹。首先界