慣容減震系統(tǒng)目標(biāo)耗能增效設(shè)計(jì)問題的粒子群算法求解

郝 梅,潘 超,蔡 川

(煙臺大學(xué)土木工程學(xué)院,山東 煙臺264005)

在人類社會發(fā)展的過程中,地震是最為嚴(yán)重的一種自然災(zāi)害,一旦強(qiáng)烈地震發(fā)生,將給社會經(jīng)濟(jì)和人民生命安全帶來不可逆轉(zhuǎn)的后果[1]。在諸多降低地震破壞性的工程手段中,結(jié)構(gòu)振動被動控制技術(shù)[2-3]能有效降低結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng),越來越多地被用于地震區(qū)的實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中。其中,慣容減震系統(tǒng)[4]作為近年來新興起的振動控制裝置,因其動態(tài)質(zhì)量放大與耗能增效等特性,引發(fā)了諸多學(xué)者的關(guān)注。

日本東北大學(xué)IKAGO和INOUE團(tuán)隊(duì)[5]提出的調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器(TVMD)是真正意義上同時(shí)具備質(zhì)量增效和耗能增效特性的慣容減震系統(tǒng)。聶佳梅等[6]從理論角度探討多種慣容器的構(gòu)造及相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)方法。MARIAN等[7]提出調(diào)諧質(zhì)量慣容阻尼器(TMDI)的概念,通過分析證實(shí)TMDI對于結(jié)構(gòu)振動的抑制效果優(yōu)于經(jīng)典的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)。HU等[8]研究六種基于慣性的動態(tài)減振器(IDVAS)的優(yōu)化問題,通過無量綱形式的數(shù)值模擬表明利用慣性可進(jìn)一步拓寬有效頻帶,相較于傳統(tǒng)動力減振器可顯著提高減震性能。潘超等[9]對設(shè)置有混聯(lián)II型慣容系統(tǒng)單自由度結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)地震響應(yīng)變化規(guī)律的研究,提出參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法,在滿足性能的前提下達(dá)到響應(yīng)和成本的最小化[10],并在采用隨機(jī)減震比為指標(biāo)的基礎(chǔ)上,提出慣容系統(tǒng)單自由度結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法[11]。DOMENICO等[12]對附加在隔震層上的TMDI進(jìn)行動力時(shí)程分析,證實(shí)得到的TMDI最優(yōu)參數(shù)的有效性。ZHAO等[13]從減少輸入能量角度推導(dǎo)慣容系統(tǒng)的能量方程,對慣容系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。YE等[14]用模態(tài)疊加法建立附加慣容器的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)在地震反應(yīng)下的解析解,基于該解析解進(jìn)行廣泛的參數(shù)研究。郜輝等[15]研究調(diào)諧慣容阻尼器對張緊弦斜拉索的振動控制,從耗能效率角度介紹其減震增效機(jī)理。

慣容減震系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)往往涉及繁瑣的數(shù)學(xué)表達(dá)式,很難通過解析的方式進(jìn)行參數(shù)求解,而采用經(jīng)典數(shù)值優(yōu)化方法有可能陷入局部最優(yōu)解。因此,本文選用收斂快速、穩(wěn)健性好、原理簡單且便于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)的粒子群優(yōu)化算法對慣容系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)時(shí)以慣容系統(tǒng)的慣質(zhì)比最小化為目標(biāo),以結(jié)構(gòu)的性能需求和慣容系統(tǒng)的耗能增效程度作為優(yōu)化約束條件。首先,基于隨機(jī)振動理論得到慣容減震單自由度結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)的解析表達(dá)式;其次,給出慣容系統(tǒng)目標(biāo)耗能增效約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述,并采用 Python語言編制粒子群算法程序求解該問題;最后,進(jìn)行算例設(shè)計(jì)和分析,證明本文優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的正確性及合理性。

1 慣容減震系統(tǒng)的理論分析

1.1 慣容減震結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程

地震作用下的單自由度結(jié)構(gòu),在內(nèi)部設(shè)置慣容系統(tǒng)后(圖 1),其運(yùn)動方程[4]為

(1)

(2)

其中:kd、cd、min分別為慣容系統(tǒng)的彈簧剛度、黏滯阻尼系數(shù)、慣容系數(shù);uin為慣容元件兩端相對位移,u-uin實(shí)際為阻尼器的變形(用ud表示)。

將式(2)代入式(1)中,并將主要參數(shù)無量綱化處理后可得

(3)

式中,ω0為單自由度結(jié)構(gòu)的自振圓頻率,ζ為結(jié)構(gòu)的固有阻尼比,定義為

(4)

式(3)中,μ、κ、ξ分別為慣容系統(tǒng)的慣質(zhì)比、剛度比和名義阻尼比,定義為

(5)

圖1 設(shè)置慣容系統(tǒng)的單自由度結(jié)構(gòu)

1.2 慣容減震結(jié)構(gòu)體系的隨機(jī)振動響應(yīng)分析

根據(jù)式(3)可解得慣容減震結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵(lì)(功率譜密度為S0)下位移均方響應(yīng)解析表達(dá)式[12]為

(6)

慣容系統(tǒng)阻尼器變形均方響應(yīng)的解析表達(dá)式[12]為

(7)

文獻(xiàn)[16]定義了耗能增效比α來表示慣容系統(tǒng)的耗能增效程度:

(8)

將式(6)、(7)代入式(8),可得慣容系統(tǒng)的耗能增效比表達(dá)式為

(9)

2 慣容系統(tǒng)的目標(biāo)耗能增效設(shè)計(jì)策略

2.1 慣容系統(tǒng)的耗能增效特性概述

典型的慣容系統(tǒng)由慣容元件、阻尼器和彈簧元件組成(圖2)[4]。慣容系統(tǒng)內(nèi)部具有獨(dú)立的動力自由度,可使其內(nèi)部阻尼器的變形大于其安裝位置處結(jié)構(gòu)的變形,進(jìn)而使阻尼器可以耗散更多的振動能量,這就是慣容系統(tǒng)的耗能增效特性(圖3)。

圖2 慣容系統(tǒng)的力學(xué)模型

圖3 慣容系統(tǒng)耗能增效

2.2 慣容系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)描述

對慣容系統(tǒng)耗能增效機(jī)制的過度利用可能導(dǎo)致系統(tǒng)中控制力過大,對慣容系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)的承載產(chǎn)生不利影響,所以在保證性能的前提下,設(shè)計(jì)時(shí)需控制慣容系統(tǒng)的耗能增效程度。這通過設(shè)定目標(biāo)耗能增效比αt來實(shí)現(xiàn)[16]。

典型慣容系統(tǒng)的設(shè)計(jì)需要確定三個(gè)關(guān)鍵參數(shù),即慣質(zhì)比μ、剛度比κ、名義阻尼比ξ。當(dāng)目標(biāo)耗能增效比αt、目標(biāo)減震比γt[12]和結(jié)構(gòu)的固有阻尼比ζ已知時(shí),慣容系統(tǒng)的名義阻尼比ξ可根據(jù)下式直接計(jì)算[16]:

(10)

接下來需要確定慣質(zhì)比μ和剛度比κ兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)?？紤]到慣容系統(tǒng)的制造成本與慣質(zhì)比μ成正相關(guān),所以本文以慣質(zhì)比最小化作為慣容系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)原則,即以最小的成本代價(jià)達(dá)到既定目標(biāo)。求解最小慣質(zhì)比μ的問題實(shí)際上是一個(gè)約束優(yōu)化問題:

(11)

該問題可通過引入罰函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題:

(12)

式中M為罰函數(shù)。M的最優(yōu)值不易確定,因此,本文采用自適應(yīng)變化的懲罰權(quán)重,表示為

(13)

其中t為數(shù)值優(yōu)化迭代步的計(jì)數(shù)。

3 粒子群優(yōu)化算法描述及相關(guān)參數(shù)分析

粒子群優(yōu)化算法(PSO)是1995年由美國學(xué)者KENNEDY和EBERHART[17]提出的一種群智能優(yōu)化算法。算法中將待優(yōu)化問題的可能解作為搜索空間中的粒子,通過多個(gè)粒子之間的相互協(xié)作來尋找最優(yōu)解。粒子群算法已成功應(yīng)用于電力系統(tǒng)環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度[18]、機(jī)場停機(jī)位優(yōu)化分配[19]、TMD優(yōu)化設(shè)計(jì)[20]等問題的求解中,表現(xiàn)出良好的求解能力。

粒子群算法的求解過程簡述如下。粒子群經(jīng)隨機(jī)初始化后,每個(gè)粒子均按下式進(jìn)行移動,直至滿足收斂準(zhǔn)則。

(14)

其中,慣性權(quán)重w按下式進(jìn)行自適應(yīng)更新為

(15)

其中,Wi(t)表示每次迭代后粒子能夠成功移動到最優(yōu)位置處的函數(shù),其取值按下列兩種情況而定:

(16)

f為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),對于最小化問題,其值越小,則對應(yīng)的解越優(yōu)。公式(14)—(16)中其他參數(shù)含義見表 1。

由以上敘述,可歸納出基于粒子群算法的慣容系統(tǒng)目標(biāo)耗能增效優(yōu)化設(shè)計(jì)的流程(圖4),具體步驟描述如下:

表1 粒子群算法參數(shù)

步驟1:根據(jù)結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)確定目標(biāo)減震比γt和目標(biāo)耗能增效比αt的值,并按公式(10)算出名義阻尼比ξ的值。

步驟2:設(shè)置粒子群算法參數(shù)包括慣性權(quán)重w、種群規(guī)模n、加速因子c1、c2以及最大迭代次數(shù)。

步驟3:初始化種群,包括每個(gè)粒子的初始速度vid(t)和初始位置xid(t)。

步驟4:根據(jù)式(12)計(jì)算每一個(gè)粒子的目標(biāo)函數(shù)值f(xid(t+1))。

步驟5:對每個(gè)粒子,分別將其目標(biāo)函數(shù)值與歷史最優(yōu)值pid(t)、群體歷史最優(yōu)值pgd(t)作比較,若較好,則視為當(dāng)前的最優(yōu)值。

步驟6:按照式(14)更新每個(gè)粒子的速度和位置。

步驟7:若滿足停止條件(迭代次數(shù)達(dá)到最大迭代次數(shù)),則計(jì)算停止;若不滿足,則返回步驟4繼續(xù)。

步驟8:輸出最終滿足條件的群體最優(yōu)值pgd(t),進(jìn)而得到慣容系統(tǒng)兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)慣質(zhì)比μ、剛度比κ的最優(yōu)解。

4 算例設(shè)計(jì)與驗(yàn)證

某單自由度結(jié)構(gòu),質(zhì)量為1100 t,剛度為187 kN/mm,自振周期T為0.482 s,擬通過本文所提出算法對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行慣容減震優(yōu)化設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)計(jì)算過程利用Python編制的程序?qū)崿F(xiàn)。考慮不同設(shè)計(jì)需求,設(shè)置如表 2所示的5種工況,使用自編程序求解得到的慣容系統(tǒng)參數(shù)一并列入表中。

圖4 基于粒子群算法的慣容系統(tǒng)優(yōu)化流程

表2 粒子群算法所求得慣容系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

同時(shí)將每種工況的設(shè)計(jì)參數(shù)按照公式(9)計(jì)算出實(shí)際耗能增效比與設(shè)定的目標(biāo)耗能增效比進(jìn)行對比,然后將實(shí)際耗能增效比代入公式(10)計(jì)算出實(shí)際減震比與設(shè)定的目標(biāo)減震比進(jìn)行對比,比較結(jié)果如表 3所示。

表3 慣容系統(tǒng)耗能增效比、減震比的目標(biāo)值與實(shí)際值對比

由表 3可知,根據(jù)粒子群算法下得到參數(shù)計(jì)算出的實(shí)際耗能增效比與設(shè)定的目標(biāo)耗能增效比吻合度很高,說明優(yōu)化結(jié)果滿足約束條件。

為展示粒子群的尋優(yōu)過程,以工況2為例,選取有代表性的迭代步觀察所對應(yīng)粒子分布情況,如圖5所示。

由圖 5可知,初始狀態(tài)下,各粒子隨機(jī)分散,隨著迭代次數(shù)的增加,粒子群逐漸向最優(yōu)解靠近,最后大多數(shù)粒子都聚合在最優(yōu)解周圍。

圖中小圓為歷史最優(yōu)適應(yīng)度值，大圓為當(dāng)前最佳適應(yīng)度值

4.1 算法性能驗(yàn)證

為驗(yàn)證粒子群優(yōu)化算法的性能優(yōu)勢,接下來進(jìn)行如下對比:分別將其與固定慣性權(quán)重粒子群算法(FPSO)和遺傳算法(GA)從平均收斂迭代次數(shù)的角度進(jìn)行比較。對比時(shí)設(shè)置相同的參數(shù):種群規(guī)模n為100,最大允許迭代次數(shù)為100,將計(jì)算所得慣質(zhì)比數(shù)值收斂到目標(biāo)值(表 2中的慣質(zhì)比數(shù)值)的次數(shù)定義為收斂迭代次數(shù),收斂的判定條件為所得值與目標(biāo)值的相對誤差不超過0.1%,每個(gè)工況運(yùn)行25次。計(jì)算收斂迭代次數(shù)的平均值如表 4、表 5所示。同時(shí)以工況4為例,種群規(guī)模n依次為50、100、200,分別以迭代次數(shù)、慣質(zhì)比為橫縱坐標(biāo),粒子群算法與遺傳算法成功收斂的情況如圖 6所示。

由表 4、表 5及圖 6可知,本文采用的粒子群算法收斂到全局最優(yōu)解的速度明顯大于固定慣性權(quán)重粒子群算法和遺傳算法,表現(xiàn)出較高的優(yōu)化求解效率。

表4 不同權(quán)重策略下粒子群算法的平均收斂迭代次數(shù)對比

表5 粒子群算法和遺傳算法的平均收斂迭代次數(shù)對比

4.2 減震性能與設(shè)計(jì)參數(shù)驗(yàn)證

對地震動激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的時(shí)域減震效果進(jìn)行檢驗(yàn)。以工況5為例,取表 2中慣容系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù),以白噪聲波和人造地震波作為激勵(lì)[9]進(jìn)行動力時(shí)程分析,慣容減震結(jié)構(gòu)與慣容系統(tǒng)中阻尼器、原結(jié)構(gòu)與慣容減震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)曲線分別如圖 7、圖 8所示。由圖 7可以看出,慣容系統(tǒng)中阻尼器的位移明顯大于慣容減震結(jié)構(gòu)的位移,且根據(jù)實(shí)際耗能增效比與目標(biāo)耗能增效比基本一致,證明本文設(shè)計(jì)參數(shù)的正確性與合理性。由圖 8可以看出,在不同的地震動激勵(lì)下,慣容減震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)都明顯小于原結(jié)構(gòu),且準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)了預(yù)定的減震目標(biāo)。

圖7 慣容減震結(jié)構(gòu)與慣容系統(tǒng)中阻尼器變形的時(shí)程響應(yīng)

圖8 原結(jié)構(gòu)與慣容減震結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程響應(yīng)

將黏滯阻尼器賦予與慣容系統(tǒng)相同的阻尼系數(shù),其阻尼耗能情況如圖 9所示。通過滯回曲線的對比可知,慣容系統(tǒng)內(nèi)阻尼器的阻尼力和變形均大于黏滯阻尼器,這進(jìn)一步說明慣容系統(tǒng)的耗能增效作用。

圖9 普通黏滯阻尼器與慣容系統(tǒng)內(nèi)阻尼器的滯回曲線

5 結(jié) 論

本文采用粒子群算法對慣容減震系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)并進(jìn)行分析驗(yàn)證。得到如下結(jié)論:

(1) 慣容系統(tǒng)的目標(biāo)耗能增效設(shè)計(jì)在滿足性能的前提下對慣容系統(tǒng)的耗能增效程度進(jìn)行限制以避免控制力過大,設(shè)計(jì)過程中的慣質(zhì)比最小化目標(biāo)也考慮了控制成本問題。

(2) 粒子群優(yōu)化算法與經(jīng)典算法相比具有顯著的收斂優(yōu)勢,其不涉及繁瑣的理論公式、易于編程實(shí)現(xiàn)等諸多優(yōu)點(diǎn)為慣容系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化提供了便捷的手段。

(3) 基于粒子群算法所得慣容系統(tǒng)參數(shù),可以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)和慣容系統(tǒng)耗能增效的雙重控制。

(4) 本文以慣容系統(tǒng)單自由度結(jié)構(gòu)為對象進(jìn)行研究,已證實(shí)粒子群算法在求解慣容系統(tǒng)優(yōu)化問題中的有效性,可為后續(xù)粒子群算法在復(fù)雜多自由度慣容減震結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用提供研究基礎(chǔ)框架。