一類具加權(quán)非線性梯度項的(p1,p2)-拉普拉斯方程組整體徑向解的存在性

韓 玉,張志軍

(煙臺大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 煙臺 264005)

1 引言和主要結(jié)果

本文討論如下(p1,p2)-拉普拉斯方程組

(1)

單調(diào)遞增的整體徑向解的存在性。

整體徑向解(u,v)的含義是:u(|x|)=u(r),v(|x|)=v(r),r=|x|,x∈n,u,v∈C1[0,∞)∩C2(0,∞)滿足方程組(1)。稱整體徑向解(u,v)是方程組(1)的大解是指:lim|x|→∞u(x)=lim|x|→∞v(x)=∞。

這里,pi>1,pi-1>qi≥0 (i=1,2),Δpiu=div(|u|pi-2u),bi,hi滿足如下條件:

(S1)bi∈C[0,∞)且非負(fù)非平凡;

(S2)hi: [0,∞)→[0,∞)是單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)且hi(s)>0,?s>0;

(S3)對任意的c0>0,存在正數(shù)C0和正的單調(diào)遞增的函數(shù)f,ψ∈C[0,∞)使得成立

h1(s1s2)≤f(s1)ψ(s2),?s1≥1,?s2≥C0。

方程組(1)的典型例子是

(2)

這里,α和β是非負(fù)常數(shù)。

首先,回顧半線性橢圓型方程

Δu=b1(|x|)g(u),x∈n

(3)

的整體解問題。這里,Δ表示通常的拉普拉斯算子。

當(dāng)b1≡1時,g∈C[0,∞),g(0)=0,g單調(diào)遞增,或者g∈C(),g是正的單調(diào)遞增函數(shù),KELLER[1]和OSSERMAN[2]獨立地證明了方程(3)存在整體徑向解的充要條件是

(4)

而當(dāng)b1∈C[0,∞)是非負(fù)函數(shù),g(s)=sα(s≥0),α∈(0, 1]時,LAIR和WOOD[3]揭示了方程(3)存在非負(fù)整體徑向大解的充要條件是

(5)

進(jìn)一步的研究見文獻(xiàn)[4-9]。

下面回顧半線性橢圓型方程組

(6)

當(dāng)h1(s)=sα,h2(s)=sβ,0<α≤β時,LAIR和WOOD[10]首先研究了方程組(6)整體徑向大解的存在性和不存在性。而且,當(dāng)0<α≤1和0<β≤1時,LAIR[11]得到了方程組(6)存在正的整體徑向大解的充要條件是

(7)

(8)

隨后,GHANMI等[12]推廣文獻(xiàn)[10]的結(jié)果到一般的方程組(6),其中,h1和h2滿足條件:對任意的c>0,存在Lc>0使得

|h1(s2)-h1(s1)|+|h2(s2)-h2(s1)|≤Lc|s2-s1|,?s1,s2∈[c,∞)

(9)

成立。

進(jìn)一步的研究見文獻(xiàn) [16-17],回到方程組(1)。

當(dāng)q1=q2=0時,DKHIL和ZEDDINI[18]推廣文獻(xiàn)[14]和[15]的結(jié)果到方程組(2)。對q1+q2>0的情形,未見有文獻(xiàn)討論該問題。需要指出的是,這樣的非線性項:b1(|x|)|u|q1,或者h(yuǎn)1(v)|u|q1,或者一般的b1(|x|)h1(v)|u|q1,出現(xiàn)在文獻(xiàn)[19-22]中。

本文首先構(gòu)造積分因子,將方程組(1)單調(diào)遞增的整體徑向解問題轉(zhuǎn)化成了積分方程組。隨后,應(yīng)用文獻(xiàn)[14-16]中的截斷方法、單調(diào)迭代方法和Arzela-Ascoli定理,結(jié)合精巧的估計,在權(quán)函數(shù)和非線性項滿足適當(dāng)條件下,證明了該系統(tǒng)存在這樣的整體解,并給出了解的估計。

為方便起見,記

由此可得

從而H在[c0,∞)上有反函數(shù)H-1。

再記

本文的主要結(jié)果是:

定理1 在假設(shè)條件(S1)—(S3)下,如果

H(∞)=∞,

(10)

則方程組(1)存在單調(diào)遞增的整體徑向解(u(r),v(r))。而且,

(i1)當(dāng)Θ(∞)<∞時,u(r)≤H-1(Θ(∞))<∞,而當(dāng)Ψ(∞)<∞時,v(r)≤c0+Ψ(∞)<∞;

(i2)當(dāng)Φi(∞)=∞時,u(∞):=limr→∞u(r)=∞=v(∞):=limr→∞v(r)。

定理2 在假設(shè)條件(S1)—(S3)下,如果

Θ(∞)

(11)

則方程組(1)存在單調(diào)遞增的整體徑向解(u(r),v(r)),并且u是有界的。進(jìn)一步,當(dāng)Ψ(∞)<∞時,v是有界的;而當(dāng)Φ2(∞)=∞時,v(∞)=∞。

注2對方程組(2),當(dāng)ψ(t)=f(t)=h1(t)=tα?xí)r,容易得到

2 定理的證明

本節(jié)證明定理1和2。

首先,注意到,方程組(1)的單調(diào)遞增的整體徑向解(u(r),v(r))(r=|x|)可轉(zhuǎn)化成如下常微分方程組的解(u,v)(u,v∈C1[0,∞)∩C2(0,∞))：

(12)

滿足初始條件

u(0)=v(0)=c0>0,u′(0)=v′(0)=0。

(13)

由此,方程組(12)兩邊分別同除以(u′(r))q1和(v′(r))q2,再分別同乘以積分因子α1rα1(n-1)和α2rα2(n-1),得到

(14)

(15)

結(jié)合初值,得到積分方程

(16)

設(shè){um}m≥1和{vm}m≥0是定義在[0,∞)上的正的連續(xù)函數(shù)列:

(17)

顯然,對所有的r≥0和m∈都有,um(r)≥c0,vm(r)≥c0,且v0(r)≤v1(r)。根據(jù)(S1)和(S2)可得,u1(r)≤u2(r),?r≥0。因此,v1(r)≤v2(r),?r≥0。以此類推,可得序列{um}和{vm}在[0,∞)上是單調(diào)遞增的。

這樣,一方面,得到

(18)

將其代入式(17),并應(yīng)用單調(diào)性和Φi的定義,得到

um(r)≥Φ1(r),vm(r)≥Φ2(r),r≥0。

(19)

另一方面,得到

(20)

而且,再次應(yīng)用單調(diào)性、(S3)和Θ的定義,可知

(f((h2(um(r)))1/(p2-q2-1)))1/(p1-q1-1)Θ′(r),r>0,

(21)

即

(22)

這樣,將不等式(22)中的r換成t,并對t從0到r積分,結(jié)合H和Θ的定義,得到

H(um(r))≤Θ(r),r≥0。

(23)

情形I當(dāng)H(∞)=∞時,由式(23)可知

um(r)≤H-1(Θ(r)),r≥0,

(24)

將其代入式(17)的第三個等式,由Ψ的定義,得到

vm(r)≤c0+Ψ(r),r≥0。

(25)

因此,對任意的R>0,由H-1(∞)=∞,可知

um(r)≤H-1(Θ(R))<∞,vm(r)≤c0+Ψ(R)<∞,?r∈[0,R]。

(26)

因此,序列um(r)和vm(r)在[0,R]上是一致有界的。注意到,由Θ的定義和洛必達(dá)法則,有

(27)

這樣,由式(21)和(26)可知

情形II當(dāng)H(∞)<∞,Θ(∞)