機器人關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)固有特性分析

莫 帥 胡效松 楊振寧 馮志友 李 旭 周長鵬 黃云生

（1 天津工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院， 天津 300387）

（2 江蘇萬基傳動科技有限公司， 江蘇 泰州 225400）

（3 深圳市合發(fā)齒輪機械有限公司， 廣東 深圳 518100）

0 引言

隨著智能制造技術(shù)快速發(fā)展，機器人的種類以及應(yīng)用場景也更加廣泛，例如多功能機械臂、教育機器人、服務(wù)機器人等。機器人關(guān)節(jié)作為機器人的核心部件，主要由驅(qū)動控制部分和電機-齒輪傳動系統(tǒng)構(gòu)成。機器人關(guān)節(jié)所用電機多是無刷直流電機，具有轉(zhuǎn)速高、轉(zhuǎn)矩大等特點，在電機拖動齒輪傳動系統(tǒng)轉(zhuǎn)動時，齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)特性變得十分復(fù)雜[1]。在長時間高轉(zhuǎn)速、高負(fù)載下，可能會出現(xiàn)“掃齒”“斷齒”等故障，有必要對機器人關(guān)節(jié)中齒輪傳動系統(tǒng)固有特性進行分析。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對齒輪傳動系統(tǒng)固有特性進行了大量研究。王均剛等[2]建立風(fēng)電增速箱多級耦合傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，研究了系統(tǒng)的固有頻率和振動模式。Liu 等[3]建立風(fēng)力發(fā)電機多級齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，計算了該系統(tǒng)的固有頻率和主振型。黃孝慈[4]建立混合動力汽車多級齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型，分析了阻尼、剛度等參數(shù)對系統(tǒng)產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)振動的影響。Li等[5]對齒輪傳動系統(tǒng)的故障狀態(tài)進行模態(tài)分析，比較了不同故障形式對齒輪振動特性的影響。張麗娟[6]建立多級齒輪傳動系統(tǒng)微分方程，求解了系統(tǒng)各部件的振動加速度。李楠等[7]建立功率四分支齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，并對該系統(tǒng)的固有特性和動載系數(shù)變化進行了分析。Mo 等[8-9]建立齒輪行星系統(tǒng)動力學(xué)模型，對該系統(tǒng)的均載特性和固有頻率進行了分析。李國彥等[10]以復(fù)合兩級行星輪系為研究對象，分析了裂紋對該系統(tǒng)振動的影響。Lu等[11]建立兩級行星齒輪和多級正齒輪傳動系統(tǒng)的耦合模型，闡明了內(nèi)外激勵對復(fù)雜傳動系統(tǒng)振動特性的影響。Shao 等[12]根據(jù)齒輪的實際工況，將支撐齒輪軸作為彈性支撐，研究了其對齒輪傳動系統(tǒng)振動的影響。鮑和云等[13]利用集中質(zhì)量法建立了直升機傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型。黃曉冬等[14]建立多級平行軸滾筒齒輪數(shù)學(xué)模型，分析了系統(tǒng)的動力學(xué)特性。王海霞等[15-16]建立船用齒輪箱傳動系統(tǒng)耦合動力學(xué)方程，計算了在時變嚙合剛度等條件下該系統(tǒng)的固有特性。胡鵬等[17]建立考慮時變剛度等因素的多級齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，研究了系統(tǒng)運行的平穩(wěn)狀況。

以往對于小型、小模數(shù)齒輪傳動系統(tǒng)的研究較少，而這類系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜。機器人關(guān)節(jié)體型小，內(nèi)部構(gòu)件連接更加緊密，電機驅(qū)動電路板、無刷電機和齒輪傳動系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上是整體結(jié)合在一起的，其動力學(xué)特性更是復(fù)雜多變。通過對機器人關(guān)節(jié)進行齒輪傳動系統(tǒng)固有特性分析，可以了解該系統(tǒng)振動情況，為機器人齒輪傳動系統(tǒng)設(shè)計提供理論依據(jù)。

圖1所示為研究的機器人關(guān)節(jié)及其傳動結(jié)構(gòu)，主要由外殼、驅(qū)動電路板、電機、多級齒輪系統(tǒng)所構(gòu)成。其中，齒輪傳動系統(tǒng)為4級定軸齒輪機構(gòu)。本文中針對機器人關(guān)節(jié)小模數(shù)齒輪傳動系統(tǒng)建立動力學(xué)模型，進行了系統(tǒng)固有頻率、模態(tài)能分析，研究了系統(tǒng)參數(shù)對固有頻率的影響，分析了在剛度變化時，系統(tǒng)固有頻率發(fā)生的模態(tài)躍遷現(xiàn)象。

圖1 機器人關(guān)節(jié)及其傳動結(jié)構(gòu)Fig.1 Robot joint and its transmission structure

1 動力學(xué)模型

為對機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)進行研究，基于集中參數(shù)法建立了該系統(tǒng)動力學(xué)模型，如圖2 所示。系統(tǒng)中齒輪的嚙合、傳動軸的支撐和扭轉(zhuǎn)用具有一定剛度系數(shù)的彈簧表示，用K、C和e配上相應(yīng)的下標(biāo)分別表示剛度、阻尼和嚙合誤差。通過分析各齒輪的運動規(guī)律和自由度，得到系統(tǒng)的廣義位移矩陣為

圖2 機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of robot joint gear transmission system

式中，x、y、θ分別為各構(gòu)件沿坐標(biāo)軸x、y的平移振動位移和繞中心軸的扭轉(zhuǎn)振動角度。

2 齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)方程

2.1 嚙合力與嚙合阻尼力求解

圖3 所示為齒輪副平移-扭轉(zhuǎn)振動模型，顯示了處于嚙合狀態(tài)齒輪副的受力情況和相對位置關(guān)系。根據(jù)嚙合原理進行分析，在齒輪嚙合過程中，齒輪副在嚙合點處會因振動位移和誤差產(chǎn)生微位移，在計算齒輪副的嚙合力和嚙合阻尼力時，需要將每個齒輪的微位移投影到嚙合線上，以獲得齒輪副相對位移。

圖3 齒輪副平移-扭轉(zhuǎn)振動模型Fig.3 Translational torsional vibration model of gear pair

在機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)中，各級齒輪副的相對位移δ分別為

式中，rbi為齒輪i的基圓半徑；α為兩齒之間的壓力角；θi為齒輪i（i=1，2，…，8）的轉(zhuǎn)角；e為齒輪綜合嚙合誤差。

各級齒輪副的嚙合力和嚙合阻尼力分別為

式中，F(xiàn)12、F34、F56、F78均為齒輪間的動態(tài)嚙合力；D12、D34、D56、D78均 為 齒 輪間 的 嚙合 阻尼 力；K12、K34、K56、K78均為齒輪嚙合剛度；C12、C34、C56、C78均為齒輪嚙合阻尼系數(shù)。

2.2 動力學(xué)微分方程

通過分析各構(gòu)件的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律建立各構(gòu)件的運動微分方程。以下各式中，m表示質(zhì)量，J表示轉(zhuǎn)動慣量。

第一級齒輪副u12中主動輪g1和從動輪g2的動力學(xué)方程分別為

第二級齒輪副u34中主動輪g3和從動輪g4的動力學(xué)方程分別為

第三級齒輪副u56中主動輪g5和從動輪g6的動力學(xué)方程分別為

第四級齒輪副u78中主動輪g7和從動輪g8的動力學(xué)方程分別為

輸入構(gòu)件M和輸出構(gòu)件L的扭轉(zhuǎn)振動方程為

式中，Kix為齒輪i的x方向支撐剛度；Kiy為齒輪i的y方向支撐剛度；Kit為構(gòu)件i（i=M，1，2，…，8，L）的切向支撐剛度；Kvj為傳動軸j（1，5 為輸出、輸出軸；2、3、4分別為雙聯(lián)軸Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）的扭轉(zhuǎn)剛度。

3 機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)固有特性分析

機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)采用4級定軸齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計。其多級齒輪系統(tǒng)基本參數(shù)如表1所示。

表1 多級齒輪系統(tǒng)基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of multi-stage gear system

3.1 固有頻率求解

固有頻率是系統(tǒng)固有特性的反映，只由系統(tǒng)本身決定。在忽略各彈性構(gòu)件的阻尼以及內(nèi)、外部激勵后，利用建立的齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)方程，可得到系統(tǒng)無阻尼自由振動方程，其形式為

式中，M為質(zhì)量矩陣；X為位移矩陣；K為剛度矩陣。

式中，wn為第n階固有頻率；φn為固有頻率n（n=1，2，…，26）對應(yīng)的振型矢量。

求解式（14），可以得到系統(tǒng)固有頻率如表2所示。

表2 系統(tǒng)固有頻率Tab.2 System natural frequency

3.2 模態(tài)能分析

3.2.1 模態(tài)應(yīng)變能分析

模態(tài)應(yīng)變能可以表示齒輪的變形程度。通過對機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)進行嚙合應(yīng)變能和支撐應(yīng)變能分析，可以得到系統(tǒng)各構(gòu)件振動以及形變大小，對研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性與可靠性有重要意義。

齒輪副嚙合應(yīng)變能Uu為

式中，u表示4級齒輪副。

齒輪振動產(chǎn)生的支撐應(yīng)變能Uf為

由式（16）可以得到整個系統(tǒng)的第n階固有頻率下的總應(yīng)變能為

通過研究與示范，核心試驗區(qū)內(nèi)氮磷肥投入量降低20%，化肥利用率提高5個百分點；畜禽糞便減少排放60%以上。技術(shù)示范區(qū)內(nèi)氮磷肥投入量降低10%，化肥利用率提高3個百分點，農(nóng)業(yè)面源徑流氮磷損失量減少30%。泥沙流失降低80%，徑流損失降低40%，富營養(yǎng)化物質(zhì)的流失量控制在臨界值內(nèi)；面源污染物截納率，總氮為60%、總磷為70%。農(nóng)業(yè)廢棄物資源化回收率達(dá)到60%以上。

圖4所示為系統(tǒng)中各階固有頻率下的齒輪副嚙合應(yīng)變能?？梢钥闯觯X輪副u34在第24 階固有頻率下，齒輪副u56在第18階、第21階固有頻率下，齒輪副u78在第15階、第20階固有頻率下，均有較大嚙合應(yīng)變能出現(xiàn)；而齒輪副在其他階數(shù)所產(chǎn)生的嚙合應(yīng)變能較小。

圖4 嚙合應(yīng)變能Fig.4 Meshing strain energy

圖5所示為系統(tǒng)中各階固有頻率下的齒輪支撐應(yīng)變能?？梢钥闯觯X輪g1在第25 階、第26 階固有頻率下，齒輪g2在第7階、第10階固有頻率下，齒輪g3在第22 階固有頻率下，齒輪g4在第24 階固有頻率下，齒輪g5在第18 階固有頻率下，齒輪g6在第8 階、第11 階固有頻率下，齒輪g7在第15 階固有頻率下，齒輪g8在第3階固有頻率下，均有較大支撐應(yīng)變能。

圖5 支撐應(yīng)變能Fig.5 Support strain energy

圖6 所示為系統(tǒng)中各階固有頻率下的構(gòu)件總應(yīng)變能?？偨Y(jié)可知，在系統(tǒng)正常運行過程中，第15 階頻率下的總應(yīng)變能最大，此時齒輪傳動系統(tǒng)整體變形最大。

圖6 系統(tǒng)總應(yīng)變能Fig.6 Total strain energy of system

3.2.2 模態(tài)動能分析

模態(tài)動能可以表示齒輪振動的劇烈程度，由扭轉(zhuǎn)動能和平移動能組成。

齒輪振動產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)動能Eia為

式中，λi為特征值。

齒輪振動產(chǎn)生的平移動能Eib為

圖7所示為齒輪傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動能在各階固有頻率下的分布狀態(tài)?？梢悦黠@看出，構(gòu)件g3在第25階、第26 階固有頻率下，構(gòu)件g4在第12 階固有頻率下，有很大的扭轉(zhuǎn)動能。

圖7 扭轉(zhuǎn)動能Fig.7 Torsional kinetic energy

圖8所示為系統(tǒng)中各階固有頻率下構(gòu)件的平移動能。可以看出，構(gòu)件g4在第23 階、第24 階固有頻率下有很大的平移動能。

圖8 平移動能Fig.8 Translational kinetic energy

總結(jié)可知，在該系統(tǒng)中，構(gòu)件g3、構(gòu)件g4有明顯的應(yīng)變能增大現(xiàn)象，應(yīng)注重改善其振動情況。

圖9所示為機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)中各階固有頻率下的構(gòu)件總動能。可以看出，在第24 階固有頻率下的系統(tǒng)總動能最大，齒輪傳動系統(tǒng)在該固有頻率下的振動最為劇烈。

圖9 系統(tǒng)總動能Fig.9 Total kinetic energy of the system

4 系統(tǒng)參數(shù)對傳動系統(tǒng)固有頻率的影響

分析機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)對固有頻率的影響，可以了解系統(tǒng)振動的特性，為設(shè)計機器人關(guān)節(jié)、改善齒輪傳動系統(tǒng)穩(wěn)定性提供依據(jù)。系統(tǒng)的剛度和構(gòu)件質(zhì)量對系統(tǒng)固有頻率影響較大。因此，通過改變嚙合剛度、支撐剛度和構(gòu)件質(zhì)量，分析系統(tǒng)固有頻率的變化。

4.1 嚙合剛度對固有頻率的影響

通過改變系統(tǒng)各級齒輪副之間的嚙合剛度，保持系統(tǒng)中其他參數(shù)不變，觀察系統(tǒng)固有頻率的變化。圖10 所示為四級齒輪嚙合副固有頻率隨嚙合剛度改變而產(chǎn)生的變化。

圖10 齒輪副嚙合剛度對固有頻率的影響Fig.10 Influence of meshing stiffness of gear pair on natural frequency

從圖10 中可以看出，在該系統(tǒng)中，第20 階至第26 階固有頻率，受齒輪副嚙合剛度變化影響明顯，個別階數(shù)下的固有頻率會出現(xiàn)增大現(xiàn)象。如圖10（a）中的第23 階、第24 階固有頻率，圖10（b）中的第23階固有頻率以及圖10（c）中的第23 階固有頻率，都出現(xiàn)了明顯的大幅度增大。

總結(jié)可知，在機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)中，隨著齒輪副嚙合剛度增大，高階固有頻率受嚙合剛度變化影響較大，低階固有頻率受影響較小。

4.2 支撐剛度對固有頻率的影響

通過改變系統(tǒng)傳動軸支撐剛度，設(shè)置支撐剛度從1×106N/m 增加到1×107N/m，保持系統(tǒng)中其他參數(shù)不變，觀察系統(tǒng)固有頻率的變化。

圖11所示為傳動軸支撐剛度對固有頻率的影響?？梢钥闯?，在傳動軸支撐剛度變化時，高階固有頻率受影響較大，低價固有頻率受影響較小。其中，前兩個傳動軸固有頻率受支撐剛度影響較為明顯。由圖11（a）中可以看出，隨著輸入軸支撐剛度增加，第22 階和第23 階～第26 階固有頻率都會增大，其余階數(shù)固有頻率受影響較小。由圖11（b）中可以看出，隨著雙聯(lián)軸Ⅰ支撐剛度增加，第22 階和第25 階固有頻率增幅較為明顯；其余階次的固有頻率受影響較小。

圖11 傳動軸支撐剛度對固有頻率的影響Fig.11 Influence of transmission shaft support stiffness on natural frequency

總結(jié)以上規(guī)律可知，在機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)中，高速級齒輪傳動軸相較于低速級振動情況更為劇烈。

4.3 質(zhì)量對固有頻率的影響

機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)中構(gòu)件的質(zhì)量對系統(tǒng)固有頻率影響較大。圖12所示為齒輪g1、齒輪g2、齒輪g3和齒輪g4質(zhì)量增大時，系統(tǒng)固有頻率的變化規(guī)律。

圖12 齒輪質(zhì)量對固有頻率的影響Fig.12 Influence of gear mass on natural frequency

可以看出，隨著系統(tǒng)中齒輪質(zhì)量增大，齒輪g1在第20 階～第25 階固有頻率，齒輪g2在第18 階、第19階、第20 階、第21 階、第25 階和第26 階固有頻率，齒輪g3在第20 階、第21 階和第23 階～第26 階固有頻率，齒輪g4在第18階～第19階和第26階固有頻率，均會出現(xiàn)前期迅速減小，減小到一定程度后基本不變的現(xiàn)象。

由圖12 中總結(jié)可知，構(gòu)件質(zhì)量對系統(tǒng)高階固有頻率影響較大，對低價固有頻率影響較小，而且部分高級固有頻率隨著構(gòu)件質(zhì)量增加，前期會迅速減小到一定程度，后面基本不再變化。

4.4 模態(tài)躍遷現(xiàn)象

從系統(tǒng)固有頻率隨剛度增加得到的變化規(guī)律曲線，可以看到模態(tài)躍遷現(xiàn)象。模態(tài)躍遷是指隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，固有頻率軌跡曲線會先慢慢接近，然后在某點附近又以比較大的曲率快速分離的一種現(xiàn)象[18]。

對于機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)，隨著系統(tǒng)參數(shù)剛度的增加，低價固有頻率受影響較小，高價固有頻率受影響較大。因此，通過分析系統(tǒng)第21 階～第26 階固有頻率隨著齒輪副嚙合剛度和傳動軸支撐剛度增加，觀察系統(tǒng)固有頻率軌跡曲線變化，分析模態(tài)躍遷現(xiàn)象。

如圖13（a）所示，系統(tǒng)固有頻率隨著第一級齒輪副嚙合剛度不斷增大，第23 階、第24 階固有頻率曲線在點A1、點B1附近，第24 階、第25 階固有頻率曲線在點C1、點D1附近都是漸漸接近，然后以比較大的曲率快速分離，這均為模態(tài)躍遷。

圖13 系統(tǒng)固有頻率隨嚙合剛度的變化規(guī)律Fig.13 Variation law of natural frequency of system with meshing stiffness

如圖13（b）所示，系統(tǒng)固有頻率隨著第二級齒輪副嚙合剛度不斷增大，第23 階、第24 階固有頻率曲線在點A2、點B2附近逐漸靠近后又以不同的曲率分離，發(fā)生了模態(tài)躍遷現(xiàn)象。

在圖14（a）中，系統(tǒng)固有頻率隨著輸入軸支撐剛度不斷增大，第21 階、第22 階固有頻率曲線在點A3、點B3附近逐漸靠近后，又迅速發(fā)生分離，這是出現(xiàn)了模態(tài)躍遷現(xiàn)象；第22 階固有頻率在點C3、點D3附近和第23 階固有頻率曲線漸漸接近，隨后又快速分離，這是再次發(fā)生了模態(tài)躍遷現(xiàn)象；而第25階、第26 階固有頻率曲線在點E3、點F3附近逐漸靠近后以不同的曲率分離，發(fā)生了模態(tài)躍遷現(xiàn)象。

在圖14（b）中，系統(tǒng)固有頻率隨著雙聯(lián)軸Ⅰ支撐剛度不斷增大，第21階、第22階固有頻率曲線在點A4、點B4附近逐漸接近后迅速分開，發(fā)生了模態(tài)躍遷現(xiàn)象。

圖14 系統(tǒng)固有頻率隨支撐剛度的變化規(guī)律Fig.14 Variation law of natural frequency of system with support stiffness

通過對系統(tǒng)剛度變化過程中振動模式的對比分析，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)模態(tài)躍遷現(xiàn)象時兩組固有頻率對應(yīng)的模態(tài)振型會發(fā)生交換，之后維持不變，遇到頻率接近欲相交的情況，再次躍遷。在進行機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)設(shè)計及傳動特性的研究中，應(yīng)該注意模態(tài)躍遷對其傳動性能的影響。

5 結(jié)論

為研究機器人關(guān)節(jié)齒輪傳動系統(tǒng)，文中首先采用集中參數(shù)法建立了動力學(xué)模型和運動微分方程，對系統(tǒng)的固有頻率、模態(tài)能以及系統(tǒng)參數(shù)對固有頻率的影響進行了分析。結(jié)論如下：

（1）針對系統(tǒng)模態(tài)能進行分析，可以看出在系統(tǒng)正常運行時，第15階固有頻率下的總應(yīng)變能最大，此時齒輪傳動系統(tǒng)整體變形最大；在第24 階固有頻率下系統(tǒng)總動能最大，齒輪傳動系統(tǒng)在該固有頻率下的振動最為劇烈。

（2）通過改變系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量等參數(shù)，可以看出系統(tǒng)高階固有頻率受到影響較大，低階固有頻率受影響較小。支撐剛度對固有頻率的影響主要集中在系統(tǒng)高速級齒輪傳動軸上；質(zhì)量對固有頻率的影響表現(xiàn)出，系統(tǒng)固有頻率在前期會迅速減小，到一定程度后不再變化。

（3）系統(tǒng)的剛度變化會使系統(tǒng)出現(xiàn)模態(tài)躍遷現(xiàn)象，并且在出現(xiàn)模態(tài)躍遷現(xiàn)象時兩組固有頻率對應(yīng)的模態(tài)振型會發(fā)生交換，之后維持不變，遇到頻率接近欲相交的情況，會再次躍遷。