面向電網(wǎng)運行方式計算的不收斂潮流無功調整方法

曾泓泰，郭慶來，周艷真，孫宏斌，劉明松，楊 瀅

面向電網(wǎng)運行方式計算的不收斂潮流無功調整方法

曾泓泰1，郭慶來1，周艷真1，孫宏斌1，劉明松2，楊 瀅3

(1.電力系統(tǒng)及發(fā)電設備控制和仿真國家重點實驗室(清華大學電機系)，北京 100084；2.國家電網(wǎng)有限公司，北京 100031；3.國網(wǎng)浙江省電力有限公司，浙江 杭州 310000)

潮流收斂調整是電網(wǎng)運行方式計算的重要工作，其中無功安排不合理是潮流不收斂的重要原因之一。由于無功問題非線性較強，憑借人工經(jīng)驗進行調整較為困難。為此，提出了基于自適應Levenberg-Marquardt的不收斂潮流無功調整方法，將原始問題分解為序列二次規(guī)劃形式的有功子問題和無功子問題，引入自適應阻尼因子。利用增廣拉格朗日函數(shù)及信賴域方法決定是否接受迭代步長的更新。詳細分析了所提方法能夠提升數(shù)值穩(wěn)定性的原因。通過對IEEE300節(jié)點系統(tǒng)、波蘭3375節(jié)點系統(tǒng)以及某省級電網(wǎng)實際系統(tǒng)的算例分析表明，所提方法能夠給出無功調整的最小二乘解以實現(xiàn)潮流收斂，進而為方式人員進行潮流調整提供參考和借鑒。

運行方式計算；潮流收斂；潮流調整

0 引言

電網(wǎng)運行方式計算是保障電網(wǎng)安全經(jīng)濟運行的重要基礎。隨著電網(wǎng)互聯(lián)規(guī)模的不斷擴大，可再生能源的高滲透接入[1]，電網(wǎng)運行方式日趨復雜，人工開展方式計算的難度逐漸增大。方式計算往往需要投入大量的人力和時間，例如，國家電網(wǎng)主網(wǎng)架每年需進行4次方式計算，每次歷時約2個月，每年調整潮流運行方式上萬次。在編制運行方式的過程中，需考慮電網(wǎng)的復雜運行工況，常常出現(xiàn)潮流不收斂的情況。此時通常需要依靠有經(jīng)驗的方式人員反復試探調整，以得到滿足要求的潮流[2]，因此導致潮流收斂調整成為電網(wǎng)運行方式計算中工作量最為繁重的環(huán)節(jié)之一。由于方式人員的潮流調整經(jīng)驗難以量化并推廣復用至不同的電網(wǎng)，迫切需要一種過程自動化實現(xiàn)且機理可解釋的解決方案。

潮流不收斂的主要原因可歸納為兩方面：一是初值不合理導致求解算法不收斂；二是潮流邊界條件安排不合理導致潮流本身無解而不收斂[3]。

目前牛頓拉夫遜法已成為潮流計算中最常用的方法[4-8]，但仍可能出現(xiàn)因初值導致的潮流不收斂問題。針對上述情況，文獻[9]提出了直角坐標系下的最優(yōu)乘子法，通過在牛頓方向上進行一維搜索得到最優(yōu)迭代步長，但當牛頓方向不再是下降方向時，乘子變量會被置為零，導致算法陷入局部最優(yōu)。文獻[10]將最優(yōu)乘子應用于電流注入型保留非線性潮流計算，提高了潮流計算的收斂性。文獻[11]將潮流方程二階泰勒展開后的張量方程引入潮流計算，提高了算法在重負荷情況下的收斂性，但仍存在數(shù)值穩(wěn)定性問題[12]。文獻[13]通過潮流方程構造同倫方程，從初始點跟蹤同倫曲線至末端得到收斂解，但同時也引入了較大的計算量。文獻[14]將潮流方程求解轉化為非線性規(guī)劃問題，并采用內點法進行求解，求解過程較為復雜。文獻[15]綜述了大電網(wǎng)病態(tài)潮流的識別和修正方法，并分析了影響潮流收斂的主要因素。

針對潮流邊界條件不合理導致的潮流不收斂問題，現(xiàn)有潮流調整方法包括靈敏度法[16-17]、非線性規(guī)劃法[18]、節(jié)點類型轉化[19-20]和人工智能[21-22]等方法。文獻[16]通過最優(yōu)乘子法建立潮流恢復控制變量靈敏度，利用連續(xù)線性規(guī)劃求解潮流恢復模型，但最優(yōu)乘子法本身易陷入局部最優(yōu)。文獻[17]將潮流不收斂的原因歸結為薄弱輸電通道無法支撐系統(tǒng)從而引起電壓崩潰，通過調整最薄弱的輸電通道實現(xiàn)潮流收斂。文獻[18]以節(jié)點注入偏差量絕對值最小為目標，采用內點法求解潮流恢復實用模型，但計算規(guī)模較大。文獻[19]根據(jù)人工經(jīng)驗將系統(tǒng)部分樞紐節(jié)點設置為PV節(jié)點，潮流收斂后再將原節(jié)點恢復為PQ節(jié)點，并添加相應的無功補償。文獻[20]將系統(tǒng)全部PQ節(jié)點設置為PV節(jié)點，根據(jù)無功缺額指標將節(jié)點逐步恢復為PQ節(jié)點。文獻[21]對于無功調整設計了虛擬無功網(wǎng)絡和局部無功平衡的量化指標，使用群體智能及強化學習算法求解以使得潮流恢復收斂。文獻[22]引入潮流調整的先驗知識，對于無功調整通過節(jié)點類型轉化的方式，利用強化學習求解潮流調整策略。

上述方法在一些情況下確實能夠顯著提升算法的收斂性，但是，由于部分算法機理解釋性不足，存在數(shù)值穩(wěn)定性問題，導致已有方法應用于實際電網(wǎng)運行方式計算可能仍面臨諸多挑戰(zhàn)。近年來，levenberg-marquardt(LM)法作為逐漸興起的數(shù)值方法，通過在迭代過程中系數(shù)矩陣的主對角元添加LM阻尼項保證迭代過程中系數(shù)矩陣非奇異，具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性，因此在潮流收斂調整方面具有良好的應用前景。文獻[23]最先將LM法應用于電力系統(tǒng)潮流計算取得了較好的效果。文獻[24]引入自適應LM阻尼因子，隨后對其進行了理論分析并將LM法應用于潮流計算，數(shù)值實驗顯示該算法具有較好的收斂性。

在實際電網(wǎng)運行方式編排中，當系統(tǒng)有功安排不合理而導致潮流不收斂時，通?？梢岳弥绷鞒绷髂Ｐ瓦M行調整[25]。相對地，無功問題由于其非線性較強，依靠專家經(jīng)驗進行潮流調整較為困難，因此無功安排不合理成為方式計算中潮流不收斂的重要原因之一[26]。針對無功不合理導致的潮流發(fā)散問題，方式人員往往希望在不改變有功計劃的前提下，僅通過無功調整來實現(xiàn)潮流的收斂，以避免不必要的調整。由此可見，如何實現(xiàn)一種可靠且機理可解釋的算法為方式人員進行潮流無功調整提供參考和借鑒，對運行方式編制具有重要際意義。鑒于LM法具有良好的應用前景，本文將其應用于潮流收斂無功調整問題，提出了基于自適應LM的不收斂潮流無功調整方法，將原始問題分解為序列二次規(guī)劃形式的子問題，并引入自適應阻尼因子，利用增廣拉格朗日函數(shù)及信賴域方法決定是否接受迭代步長的更新。本文第1節(jié)和第2節(jié)分別介紹了所提方法的建模及求解過程；第3節(jié)具體分析了所提算法能夠提升數(shù)值穩(wěn)定性的原因；第4節(jié)則對3個潮流不收斂系統(tǒng)進行算例分析，說明所提方法的有效性；最后，對全文進行總結和展望。

1 不收斂潮流的無功調整建模

由于在電網(wǎng)方式計算過程中，方式人員通常希望在不改變有功計劃的情況下，僅通過無功調整來實現(xiàn)潮流的收斂以避免不必要的調整。為此，本文將潮流收斂無功調整問題建模為含有功潮流約束的無功最小二乘問題，求得的無功殘差即為使得潮流收斂各節(jié)點需要補充的無功注入，如式(1)所示。

針對式(1)所示的非線性規(guī)劃問題，本文采用序列二次規(guī)劃的方式[27]，將原始問題分解為迭代求解的有功、無功子問題，每步迭代時在當前點對約束和目標函數(shù)利用高斯牛頓法分別作局部泰勒展開并添加步長約束，通過有功子問題的求解逐步提高有功潮流約束的可行性，無功子問題則在保留有功可行性的同時降低無功目標函數(shù)值，如式(2)和式(3)所示。

根據(jù)文獻[28]，式(2)和式(3)中引入的步長約束可等效為給目標函數(shù)添加額外的LM正則項，如式(4)和式(5)所示。

此時，式(4)為無約束二次規(guī)劃問題，式(5)為含線性等式約束的二次規(guī)劃問題。由于式(5)等式約束右端為0，即使系數(shù)矩陣存在線性相關行，也不會出現(xiàn)不一致的情況，進一步可消去線性相關行得到行滿秩的系數(shù)矩陣。此外，由于零向量顯然是式(5)的解，因此式(5)的可行域非空。

2 基于自適應阻尼因子及信賴域的潮流收斂無功調整求解方法

第1節(jié)介紹了不收斂潮流的無功調整建模，相比于非線性規(guī)劃的傳統(tǒng)數(shù)值解法，本文對迭代格式進行改進以提升迭代過程的數(shù)值穩(wěn)定性，因此求解算法也需相應地調整。為此，2.1節(jié)首先介紹了第1節(jié)迭代格式中有功無功子問題更新步長的數(shù)值計算方法。為了使得實際的更新步長能夠改善原問題的目標函數(shù)及約束條件，在2.2節(jié)中介紹了基于信賴域法的更新步長接受準則，利用該準則決定是否接受2.1節(jié)中計算出的更新步長。2.3節(jié)則利用了2.2節(jié)中計算出的部分指標，針對第1節(jié)迭代格式中的阻尼因子介紹了自適應的更新方法以提升算法的收斂性。

2.1 有功、無功子問題更新步長求解方法

顯然，式(9)與式(10)的最小二乘解同解。

采用QR分解求解式(10)與采用Cholesky分解求解式(6)同解，但能夠減小求解過程中的條件數(shù)，因此本文采用QR分解求解式(10)的最小二乘解。具體實現(xiàn)時，采用SuiteSparseQR稀疏矩陣庫[30]進行計算。

2.2 基于信賴域法的試探更新步接受準則

由于式(11)求得的試探更新步長是局部泰勒展開后求得的結果，若求解得到的步長過大，可能會降低線性化近似精度。在此，利用信賴域方法，采用增廣拉格朗日函數(shù)[32]作為優(yōu)勢函數(shù)，根據(jù)優(yōu)勢函數(shù)實際減少值與預期減少值的近似程度決定是否接受步長更新，從而使得2.1節(jié)中計算出的更新步長能夠改善原問題的目標函數(shù)及約束條件。增廣拉格朗日函數(shù)如式(12)所示。

2.3 自適應阻尼因子更新方法

在式(6)和式(8)中，可以利用2.2節(jié)中計算出的部分指標，通過選取適當?shù)淖枘嵋蜃觼硖嵘惴ǖ氖諗啃?。本文考慮采用類似于文獻[35]中利用函數(shù)實際減少值和預測減少值之比決定的自適應阻尼因子。首先記原問題式(1)的拉格朗日函數(shù)及其梯度如式(22)、式(23)所示。

2.4 算法整體流程

算法1 不收斂潮流進行無功調整的算法流程 1:輸入：迭代初始點，最大迭代次數(shù)，收斂容差。 2:初始化：。 3:循環(huán)步驟4—17直至。 4:根據(jù)式(13)計算當前點處拉格朗日乘子的估計值。 5:若，則算法終止，返回當前迭代點。 6:根據(jù)式(6)計算有功子問題更新步長。 7:根據(jù)式(8)計算有功子問題更新步長。 8:根據(jù)式(11)計算試探更新步長，然后根據(jù)式(17)、式(27)計算。 9:循環(huán)步驟10—12直至。 10:。 11:根據(jù)式(8)計算有功子問題更新步長。 12:根據(jù)式(11)計算試探更新步長，然后根據(jù)式(17)、式(27)計算。 13:根據(jù)式(26)更新自適應因子。 14:利用式(14)—式(19)計算。 15:根據(jù)式(20)決定是否更新懲罰因子，根據(jù)和式(14)—式(19)計算。 16:根據(jù)式(28)更新自適應因子。 17:根據(jù)式(21)決定試探更新步長的取舍，。

3 數(shù)值穩(wěn)定性分析

為說明算法具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性，基于矩陣二范數(shù)對第1節(jié)中式(6)—式(8)系數(shù)矩陣的條件數(shù)進行分析。顯然式(6)—式(8)中出現(xiàn)的系數(shù)矩陣均為正規(guī)矩陣，根據(jù)矩陣條件數(shù)的定義[36]有

定理1及推論1說明添加阻尼因子后，系數(shù)矩陣特征值均大于0，因此式(6)中系數(shù)矩陣的逆矩陣一定存在。此外，根據(jù)式(29)矩陣條件數(shù)定義可得

定理2和推論2說明無功子問題中的系數(shù)矩陣是一個對稱不定矩陣，因此可以利用該特征采用稀疏矩陣庫[31]進行線性方程組的高效求解。

以下基于定理3、定理4對式(7)及式(8)中系數(shù)矩陣的特征值進行分析。

4 算例分析

算例分析使用的計算機配置為CPU Core i7-10875H，內存為16 G。程序運行平臺為Windows 10 Matlab R2020b。采用的算例系統(tǒng)包括3種系統(tǒng)：1) IEEE 300節(jié)點系統(tǒng)算例；2) 波蘭3375節(jié)點系統(tǒng)算例；3) 某省級電網(wǎng)實際系統(tǒng)算例。其中，系統(tǒng)1)和系統(tǒng)2)參數(shù)取自Matpower7.1[40]。

本文方法所使用的超參數(shù)如表1所示。對比的算法包括牛頓拉夫遜法、快速分解法、最優(yōu)乘子法、文獻[24]中方法以及求解非線性規(guī)劃問題的通用數(shù)值解法內點法。實現(xiàn)內點法時，本文采用IPOPT 3.12.4[41]求解式(1)所示的非線性規(guī)劃。此外，由于本文主要關注點在于潮流收斂調整，因此在算例分析過程中所有算法均未考慮節(jié)點類型轉化等合理性約束。此外，各方法啟動計算時，迭代初始點節(jié)點電壓初值設為1.0，相角初值設為0.0，最大迭代次數(shù)均設為10 000次。

表1 本文算法超參數(shù)設置

4.1 IEEE 300節(jié)點系統(tǒng)算例分析

本節(jié)基于IEEE 300節(jié)點系統(tǒng)進行算例分析，在基態(tài)情況下利用牛頓拉夫遜法、快速分解法、最優(yōu)乘子法、文獻[24]中方法以及內點法進行潮流計算，計算結果均為收斂，即有功、無功殘差均幾乎為0。通過將負荷、發(fā)電均擴大為1.5倍以模擬重載下因無功問題導致潮流無解的情況，迭代過程中本文方法的有功無功殘差如圖1所示，各種算法求解結果如表2所示。

圖1 本文方法在IEEE 300節(jié)點系統(tǒng)迭代過程中的有功無功殘差

表2 IEEE 300節(jié)點系統(tǒng)各算法求解結果

從圖1和表2可以看出，在平啟動情況下，利用牛頓法和快速分解法以及IPOPT實現(xiàn)的內點法計算該重載潮流均不收斂，而本文方法則能求得有功殘差為0的無功最小二乘解。將每步迭代過程中由式(6)及式(8)求解出的更新步長與對應系數(shù)矩陣相乘，并分別與式(6)及式(8)中的常數(shù)項進行比較，最大絕對誤差約為1.38×10-9，最大相對誤差約為2.58×10-9，由此驗證了第3節(jié)中對算法1中線性代數(shù)方程組求解數(shù)值穩(wěn)定性的說明。此時求得的各節(jié)點無功殘差即是保證潮流收斂所需補充的無功注入。圖2展示了為使得潮流收斂額外補充無功功率最多的10個節(jié)點，從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，節(jié)點171和204存在大量的無功缺額，這是導致潮流不收斂的主要原因。由此可見，所提方法能夠為潮流不收斂調整策略提供機理性解釋，進而為電網(wǎng)專業(yè)人員進行潮流收斂調整提供有效參考和借鑒。

圖2 IEEE 300節(jié)點系統(tǒng)中為使得潮流收斂額外補充無功功率最多的10個節(jié)點

4.2 波蘭3375節(jié)點系統(tǒng)算例分析

本節(jié)基于波蘭3375節(jié)點系統(tǒng)進行算例分析，在基態(tài)情況下利用前述對比的各類算法進行潮流計算，計算結果均為收斂，即有功、無功殘差均近似為0。通過將負荷、發(fā)電均擴大為2.75倍使得潮流不收斂，迭代過程中本文方法的有功無功殘差如圖3所示，各種算法求解結果如表3所示。

從圖3和表3可以看出，在平啟動情況下，利用牛頓法和快速分解法以及IPOPT實現(xiàn)的內點法計算該重載潮流均不收斂，而本文基于有功、無功子問題的求解方式能夠得到精度較高的無功最小二乘解。將每步迭代過程中由式(6)及式(8)求解出的更新步長與對應系數(shù)矩陣相乘，并分別與式(6)及式(8)中的常數(shù)項進行比較，最大絕對誤差約為5.96×10-7，最大相對誤差約為3.13×10-8，由此驗證了第3節(jié)中對算法1中線性代數(shù)方程組求解數(shù)值穩(wěn)定性的說明。圖4展示了為使得潮流收斂，需要額外補充無功功率最多的100個節(jié)點。由于系統(tǒng)整體負荷水平較高，因此許多節(jié)點都存在無功缺額，其中節(jié)點300, 301, 287, 288相較于其他節(jié)點需要補充的無功更多。由此可見，所提方法能夠為方式人員進行潮流調整提供有效的參考。

圖3 本文方法在波蘭3375節(jié)點系統(tǒng)迭代過程中的有功無功殘差

表3 波蘭3375節(jié)點系統(tǒng)各算法求解結果

圖4 波蘭3375節(jié)點系統(tǒng)中為使得潮流收斂額外補充無功功率最多的100個節(jié)點

4.3 某省級電網(wǎng)實際系統(tǒng)算例分析

本節(jié)基于某省級電網(wǎng)實際系統(tǒng)，該電網(wǎng)共含3800余個節(jié)點，6500余條支路。在基態(tài)情況下利用牛頓拉夫遜法、快速分解法、最優(yōu)乘子法、文獻[24]中方法以及內點法進行潮流計算，計算均能得到收斂解，即有功、無功殘差均近乎為0。將電網(wǎng)的基態(tài)負荷、發(fā)電均擴大為原來的2倍使得潮流不收斂，以模擬實際方式計算中可能出現(xiàn)的重載情況。迭代過程中本文方法的有功無功殘差如圖5所示，各種算法求解結果如表4所示。

圖5 本文方法在某省級電網(wǎng)實際系統(tǒng)迭代過程中的有功無功殘差

表4 某省級電網(wǎng)實際系統(tǒng)各算法求解結果

從圖5和表4可以看出，將電網(wǎng)的基態(tài)負荷擴大為2倍后，不再存在零殘差的收斂解，即必須進行邊界條件的調整才能獲得收斂解。在平啟動情況下，利用牛頓法和快速分解法以及IPOPT實現(xiàn)的內點法計算該重載潮流均不收斂，無法給出調整方案。而本文基于有功、無功子問題的求解方式能夠得到精度較高的無功最小二乘解，給出無功調整方案。將每步迭代過程中由式(6)及式(8)求解出的更新步長與對應系數(shù)矩陣相乘，并分別與式(6)及式(8)中的常數(shù)項進行比較，最大絕對誤差約為1.49×10-7，最大相對誤差約為5.59×10-8，由此驗證了第3節(jié)中對算法1中線性代數(shù)方程組求解數(shù)值穩(wěn)定性的說明。圖6展示了為使得潮流收斂，需要額外補充無功功率最多的100個節(jié)點，其中節(jié)點1401、1559、1、3374相較于其他節(jié)點需要補充的無功更多。算法所提供的調整策略也能夠為方式人員進行潮流調整提供有效的借鑒。

圖6 某省級電網(wǎng)實際系統(tǒng)中為使得潮流收斂額外補充無功功率最多的100個節(jié)點

5 結論與展望

本文針對電網(wǎng)運行方式計算中因無功問題而導致的潮流計算不收斂情況，提出了基于LM法的不收斂潮流無功調整方法。所提方法具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性，且在實現(xiàn)過程中采用高效稀疏矩陣庫，求解速度較快。該方法能夠求得不更改有功注入情況下的無功最小二乘解，為潮流調整策略提供機理性解釋，進而為方式人員進行潮流收斂無功調整提供有效參考和借鑒。未來可以考慮在潮流收斂的基礎上，繼續(xù)研究如何將LM法用于指定運行方式的潮流調整以獲得較好的數(shù)值穩(wěn)定性；也可考慮將本算法得到的數(shù)據(jù)作為人工智能潮流調整的基礎數(shù)據(jù)，提高人工智能方法在潮流調整上的應用性能。

故有

進而有

證明：系數(shù)矩陣滿足定理1條件，故結論顯然成立。

證明：根據(jù)定理1證明及矩陣條件數(shù)定義可得：

由是正定矩陣，故

證明：系數(shù)矩陣滿足定理2條件，故結論顯然成立。

故有

進而有

由于

故

進行不等式放縮可得

進一步化簡可得

取小于0的可行域可得

將式(A20)整理后即為式(8)，由此得證。

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Reactive power adjustment method of non-convergent power flow for power system operation mode calculation

ZENG Hongtai1, GUO Qinglai1, ZHOU Yanzhen1, SUN Hongbin1, LIU Mingsong2, YANG Ying3

(1. State Key Laboratory of Control and Simulation of Power System and Generation Equipments (Department of Electrical Engineering, Tsinghua University), Beijing 100084, China; 2. State Grid Corporation of China, Beijing 100031, China;3. State Grid Zhejiang Electric Power Corporation, Hangzhou 310000, China)

Power flow convergence adjustment is an important part of the calculation of power system operation modes. Unreasonable reactive power arrangement is one of the important reasons for power flow divergence. Since there is strong non-linearity in the reactive power problem, it is difficult to adjust power flow just by human experience. To this end, this paper proposes a reactive power adjustment method for power flow convergence based on the adaptive Levenberg-Marquardt method, which introduces adaptive damping factors and decomposes the original problem into active and reactive sub-problems in the form of sequential quadratic programming. Augmented Lagrange function and trust region methods are used to decide whether the update of the iteration step can be accepted. The reasons why the proposed method can improve the numerical stability are also analyzed in detail. The numerical analysis of a IEEE 300-bus system, Poland’s 3375-bus system and a provincial power system shows that the proposed method can give the least squares solution of reactive power adjustment to achieve power flow convergence, and provide reference for power system operators in power flow adjustment.

operation mode calculation; power flow convergence; power flow adjustment

10.19783/j.cnki.pspc.211767

國家電網(wǎng)有限公司科技項目資助(5700- 202019359A-0-0-00)

This work is supported by the Science and Technology Project of State Grid Corporation of China (No. 5700- 202019359A-0-0-00).

2021-12-27；

2022-04-18

曾泓泰(1999—)，男，博士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)優(yōu)化運行，人工智能在復雜電網(wǎng)調控中的應用；E-mail: zenght20@mails.tsinghua.edu.cn

郭慶來(1979—)，男，通信作者，博士，教授，研究方向為信息物理系統(tǒng)、多能流系統(tǒng)的綜合能量管理和無功電壓優(yōu)化控制；E-mail: guoqinglai@tsinghua.edu.cn

周艷真(1990—)，女，博士，研究方向為電力系統(tǒng)分析與控制、人工智能在復雜電網(wǎng)調控中的應用。E-mail: zhouyanzhen@tsinghua.edu.cn

(編輯 魏小麗)