基于tracker的非鐵磁性陀螺儀影響因素實驗研究

鄧浩儀，范紫萍

(華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006)

陀螺儀是高速回轉(zhuǎn)體的動量矩敏感殼體相對慣性空間繞正交于自轉(zhuǎn)軸的一個或兩個軸的叫運動檢測裝置[1]。而利用非鐵磁性材料制成的陀螺儀成為非鐵磁性陀螺儀。根據(jù)楞次定律可以知道，非鐵磁性陀螺儀會在磁鐵的作用下減速。利用這一特點，可以間接測量出磁感應強度。

為此，本文自制一個鋁制圓盤的陀螺儀，利用手機拍攝和Tracker軟件追蹤和數(shù)據(jù)擬合，首先測量出陀螺儀的摩擦力矩進行公式修正，然后探究圓柱形磁鐵與鋁制陀螺儀的徑向距離對陀螺儀的影響及其規(guī)律，測量出衰減系數(shù)，根據(jù)此規(guī)律反向來得出制作成特斯拉計的原理。該方法成本低，數(shù)據(jù)容易獲取，適合學生在課后進行探究。

1 實驗原理與裝置

1.1 實驗原理

當沒有外磁場的時候，陀螺儀因為受到空氣摩擦力矩和軸承摩擦產(chǎn)生的力矩M1(下面簡稱為摩擦力矩)，會在平面上逐漸減速，滿足

(1)

其中J為陀螺儀圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，滿足

(2)

由于摩擦力矩M1隨時間變化較小，故簡化模型，將其視為常數(shù)。對式(1)進行分離變量積分可得

(3)

鋁是非鐵磁性導電材料之一。當鋁制導體圓盤放置在磁場中，對其進行分析時，可以將圓盤看作是由無數(shù)根沿半徑方向的金屬棒組成。當圓盤導體轉(zhuǎn)動的時候，部分的圓盤導體會切割磁感線，由法拉第定律[2]可知，導體圓盤產(chǎn)生感應電動勢在圓盤導體中會產(chǎn)生感應電流，從而產(chǎn)生與轉(zhuǎn)動方向相反的安培力，使圓盤導體緩慢減速至停止。這個安培力產(chǎn)生的力矩稱為感應力矩。根據(jù)角動量定理可知

(4)

其中，M2是感應力矩。

其中通過查閱文獻可得，導體圓盤受到的感應力矩大小為[3]：

(5)

其中σ為非鐵磁性陀螺儀圓盤的電導率，δ為厚度，a為半徑，R為圓柱磁鐵的半徑，Bz為圓柱磁鐵z方向上的磁場大小，d為圓盤與磁鐵的中心軸線距離，如圖1所示。

圖1 陀螺儀鋁制圓盤和磁鐵位置關(guān)系側(cè)視圖

結(jié)合式(3)和式(4)可以得到非鐵磁性陀螺儀的轉(zhuǎn)速滿足

(6)

其中

(7)

由式(5)可得，陀螺儀角速度的衰減滿足指數(shù)的衰減規(guī)律，其中衰減的快慢由k來決定。基于此，本研究將非鐵磁性陀螺儀的圓盤轉(zhuǎn)速變化簡化為[3]：

ω(t)=ω0e-βt

(8)

其中衰減系數(shù)為

(9)

由式(4)至式(9)可知衰減系數(shù)β應與圓盤和磁鐵軸心距離d滿足一定的規(guī)律，近似地與d的二次方成正比。

1.2 實驗裝置

實驗器材主要由自制的鋁制圓盤陀螺儀、釹鐵硼圓柱形永磁鐵，手機、手機支架、特斯拉計等材料組成，如圖2所示。相關(guān)材料的實驗參數(shù)如表1所示。

(a)實驗裝置圖

(b)實物圖圖2 實驗裝置模型圖與實物圖

表1 實驗材料參數(shù)

1.3 軟件

Tracker是一個免費的視頻跟蹤分析和建模工具軟件[4]。利用該軟件可以將手機拍攝鋁制圓盤制停的視頻進行分析，得到鋁制圓盤在有磁場和無磁場的作用下角速度隨時間的變化關(guān)系，如圖3所示。

圖3 Tracker分析數(shù)據(jù)圖

2 實驗步驟與內(nèi)容

1)搭建實驗裝置，給予鋁制圓盤一定的初速度，利用手機的慢鏡頭拍攝鋁制圓盤在無磁場作用時的視頻，可以獲得鋁制圓盤陀螺儀所受到的摩擦力矩M1。

2)在第一步裝置中加入磁鐵，使磁鐵保持與鋁制圓盤1cm垂直距離。取5種不同的鋁制圓盤與磁鐵的中心軸線距離d，拍攝5組視頻。拍攝過程中，盡可能保持手機與鋁制圓盤的平面相互平行。

3)將拍攝的視頻導入Tracker軟件，最終鋁制圓盤上標志的紅點，獲得角速度-時間對應關(guān)系，用數(shù)據(jù)處理軟件進行擬合，獲得衰減系數(shù)，并進行誤差分析。

3 實驗結(jié)果

3.1 非鐵磁性陀螺儀在無外磁場作用時的摩擦力矩的求解

圖4 僅在摩擦力矩作用下的陀螺儀轉(zhuǎn)速規(guī)律

3.2 磁鐵的不同徑向距離對非鐵磁性陀螺儀的影響

在保證陀螺儀初始轉(zhuǎn)速大致一樣的情況下，使鋁制圓盤與磁鐵的中心軸線距離d分別為1.2cm、1.4cm、1.6cm、1.8cm和2.0cm，并對相關(guān)數(shù)據(jù)進行指數(shù)擬合，數(shù)據(jù)結(jié)果如圖5所示。

(a) d為1.2 cm時鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況

(b) d為1.4 cm時鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況

(c) d為1.6 cm時鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況

(d) d為1.8 cm時鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況

(e)d為2.0 cm時鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況圖5 d變化時鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況

通過圖5可以得到表2的數(shù)據(jù)。

表2 β與d之間的關(guān)系

將這些數(shù)據(jù)進行擬合，與式(9)的理論值進行比較得到圖6。

圖6 導體圓盤轉(zhuǎn)速的衰減系數(shù)β隨軸心距離d的變化實驗數(shù)據(jù)與理論值對比

根據(jù)圖5可以得知實驗值與理論值的趨勢是大致相同的，但是在d比較小或者比較大的時候誤差較大。在d較大的時候，可能是由于圓盤與軸并不是互相垂直的，存在略微傾斜，導致轉(zhuǎn)動慣量偏大，衰減系數(shù)偏??；還有可能是由于在測量磁場的時候沒有對準磁鐵的中心，導致磁場偏小，從而導致衰減系數(shù)偏小。而當d較小的時候，可能是因為Tracker對圓盤標記點的捕捉不夠準確，從而使在找圓盤從最大速度衰減時候存在誤差，導致衰減系數(shù)偏大。

因此，由式(7)可知，當磁場Bz和d固定的時候，可以獲得陀螺儀的衰減系數(shù)。反之，當d固定的時候，給予陀螺儀一個初速度，根據(jù)陀螺儀的角速度與時間的關(guān)系得到衰減系數(shù)，則可以知道外磁場的大小，相當于制作成了一個特斯拉計，其關(guān)系滿足如下式(10)：

(10)

其中C表示為式子(11)

(11)

4 結(jié) 語

本文通過Tracker軟件探究軸心距離d對鋁制陀螺儀的影響，但是影響鋁制陀螺儀的因素還有很多，如非鐵磁性材料的性質(zhì)、厚度等。教師可以在學習完楞次定律或者電磁阻尼的時候，讓學生在課外進行非鐵磁性陀螺儀其他影響因素的探究，加深對楞次定律之類的知識的理解。