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    著力方法探究 促進思維進階
    ——一道中考幾何作圖題的解法探索與思考

    2022-10-19 01:10:34楊???/span>江蘇省泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)225500
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年10期
    關(guān)鍵詞:尺規(guī)所求畫法

    楊???(江蘇省泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué) 225500)

    2022年泰州市中考數(shù)學(xué)第25題第(2)小題是一道尺規(guī)作圖題,題目雖小,但很精辟,起點低、入口寬,在原有知識基礎(chǔ)上考出了新高度.該題融入了多個知識點,蘊含著多種數(shù)學(xué)思想方法,要求學(xué)生有一定的分析推理、邏輯思維能力,體現(xiàn)了從考查知識到考查能力和素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變,可以深挖,擴大教學(xué)價值.

    1 試題呈現(xiàn)

    (2022年江蘇省泰州市中考第25題)已知在△ABC中,D為BC邊上的一點.

    (1)如圖1,過點D作DE∥AB交AC邊于點E.若AB=5,BD=9,DC=6,求DE的長.

    圖1 圖2 圖3

    (2)在圖2中,用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點F,使∠DFA=∠A.(保留作圖痕跡,不要求寫作法)

    (3)如圖3,點F在AC邊上,連結(jié)BF,DF.

    本文主要研究第(2)題尺規(guī)作圖.

    2 新課標(biāo)視角下的幾何作圖題解讀

    2.1 以生為本,遞進式構(gòu)建問題鏈

    本題是試卷的倒數(shù)第二題,應(yīng)該有一定的難度,但該題從學(xué)生的角度出發(fā),設(shè)置了三個梯度明顯的問題,遞進式引導(dǎo)學(xué)生分步解決,減輕了學(xué)生的恐懼心理,提升了信心.第(1)題是起點低的基礎(chǔ)題,由DE∥AB,得到△DEC∽△ABC,從而直接可得DE=2;第(2)題尺規(guī)作圖,有多種解法;第(3)題考查直線與圓的位置關(guān)系,需借鑒第(2)題的思路分析,利用面積關(guān)系和平行關(guān)聯(lián)出相似,進而進一步求解.所以第(2)題是解決本題的關(guān)鍵,承上啟下.第(2)題的基本思路是作一個角等于已知角,平時的畫法是先畫一條射線,以射線的端點為待定角的頂點,再作出與已知角相等的角.而本題考出了新花樣,角的頂點是待確定的點,直接用尺規(guī)作圖顯然難以完成.因此,必須要轉(zhuǎn)移,但怎么轉(zhuǎn)移、依據(jù)什么方法轉(zhuǎn)移,是本題思維進階的精彩之處.

    2.2 基于課標(biāo),動靜中凸顯素養(yǎng)觀

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提高了尺規(guī)作圖的教學(xué)要求:讓學(xué)生在經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程中,增強動手能力的同時,更加注重作圖原理的探尋、空間觀念和邏輯思維的發(fā)展.本題以尺規(guī)作圖為背景,關(guān)注方法探究,設(shè)置思維生長路徑.從第(2)題開始,為學(xué)生的思考留白,聚焦初中數(shù)學(xué)相似、等腰三角形、直角三角形、圓等核心知識,將知識、方法和能力以及數(shù)學(xué)的素養(yǎng)融為一體,有較好的區(qū)分度、信度和效度,要求學(xué)生動手畫(草圖與尺規(guī)作圖相結(jié)合)和動腦想(直觀思考與邏輯推理相結(jié)合),在數(shù)形結(jié)合、動(畫圖)靜(思考)交替中凸顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

    3 解法賞析

    五種基本作圖是尺規(guī)作圖的精華,是解決復(fù)雜尺規(guī)作圖問題的基礎(chǔ)[1].面對相對復(fù)雜的幾何作圖問題,找到作圖的思路是難點,常用的方法是“畫一畫、試一試、證一證”,即以結(jié)論推條件,先假設(shè)已作好,畫出草圖,然后借助幾何直觀進行邏輯分析,探索出作圖方法,最后通過演繹推理再加以驗證.

    思路1構(gòu)造平行和等腰三角形(梯形)轉(zhuǎn)移角.

    畫法1 如圖4,以D為頂點,作∠CDE=∠B,交AC邊于點E,則有DE∥AB;再以點D為圓心、DE長為半徑畫弧,交AC邊于點F,進而得到∠DFA=∠A.所以點F即為所求.

    圖4 圖5

    畫法2 如圖5,以點B為圓心、BA長為半徑畫弧,交CA的延長線于點E,則有∠BEA=∠BAE;再以D為頂點,作∠CDF=∠EBC,交AC邊于點F,則有DF∥BE,進而得到∠DFA=∠BAC.所以點F即為所求.

    評析平行線和等腰三角形是幾何題中轉(zhuǎn)移角最常見的模型.畫法1依據(jù)第(1)題順勢而得,是最直接的思路,先依據(jù)確定的頂點D,作出一個等角,構(gòu)造平行的特殊位置關(guān)系,將∠A“平行”轉(zhuǎn)移至以E為頂點的角,再利用等腰三角形,將∠A“方向”轉(zhuǎn)移,進而求解.畫法2與畫法1的思維路徑一致,只是轉(zhuǎn)移順序相反.

    畫法3 如圖6,以點D為頂點,作∠BDE=∠C,交AB邊于點E,則有DE∥AC;再以D為頂點,作∠EDF=∠AED,交AC邊于點F,進而得到∠DFA=∠A.所以點F即為所求.

    圖6 圖7

    畫法4 如圖7,以點D為頂點,作∠BDE=∠C,交AB邊于點E,則有DE∥AC;再作線段DE的垂直平分線交BA的延長線于點P,連結(jié)DP交AC邊于點F,進而得到∠DFA=∠BAC.所以點F即為所求.

    評析抓住∠DFA=∠A具有公共邊的特點,在畫法1、2的基礎(chǔ)上,轉(zhuǎn)換角度,構(gòu)造以公共邊為一邊的對應(yīng)外角,依據(jù)等角的補角相等,自然形成畫法3,只不過,此種畫法要求學(xué)生要對等腰梯形的性質(zhì)有所了解;若對上述性質(zhì)不了解,可再利用平行轉(zhuǎn)移角,由相等的角關(guān)聯(lián)到相等的邊,從而形成作線段DE中垂線的思路(畫法4).

    思路2構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)移角.

    畫法5 如圖8,以點C為頂點,作∠ACE=∠ACB,交BA的延長線于點E;再以點D為頂點,作∠CDF=∠CEA,交AC邊于點F,進而得到∠DFA=∠BAC.所以點F即為所求.

    圖8 圖9

    畫法6 如圖9,以點A為頂點,作∠BAE=∠C,交BC邊于點E;再以點D為頂點,作∠CDF=∠CAE,交AC邊于點F,進而得到∠DFA=∠BAC.所以點F即為所求.

    評析受思路1的啟發(fā),繼續(xù)以尋找相等的角為突破口,不難關(guān)聯(lián)出∠DFA的另一個外角∠DFC,畫出草圖,由不確定到確定,自然聯(lián)想到相似三角形的對應(yīng)角相等.畫法5是向外作相等的角,畫法6是向內(nèi)作相等的角,分解∠A.

    思路3構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)移角.

    畫法7 如圖10,過B,D兩點分別作AC邊及所在直線的垂線,垂足分別為M,N;再以D為頂點,作∠NDF=∠MBA,交AC邊于點F,進而可得∠DFA=∠BAC.所以點F即為所求.

    圖10 圖11

    畫法8 如圖11,以點B為頂點,作∠CBQ=∠C,則有BQ∥AC;分別過A,D兩點作射線BQ的垂線,垂足分別為M,N;再過點D作∠NDE=∠BAM,交BQ于點E,延長ED交AC于點F,進而可得∠DFA=∠BAC.所以點F即為所求.

    評析依據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論,在思路2相似三角形轉(zhuǎn)移角的思路啟發(fā)下,可以多點開花,構(gòu)造特殊三角形(直角三角形)轉(zhuǎn)移角.畫法8只是極少部分學(xué)生的畫法,其實質(zhì)是畫法7的延伸,換了一個作垂直的方式,但體現(xiàn)了靈活的思路和扎實的基本功,以及良好的解題素養(yǎng).

    4 教學(xué)導(dǎo)向

    4.1 關(guān)注新課標(biāo),正確引導(dǎo)幾何作圖的教與學(xué)

    新課標(biāo)的新要求是我們教學(xué)的內(nèi)容和方向.細化到平時的尺規(guī)作圖教學(xué)中,既要夯實基礎(chǔ),強調(diào)五種基本作圖的畫法,更要注重基本圖形和幾何直觀的重要性,引導(dǎo)學(xué)生探索作圖的方法,培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維(包括直接思維、發(fā)散思維、聯(lián)想思維)和直觀想象力、邏輯推理能力[2].

    本題的精彩之處在于一環(huán)套一環(huán),先由基礎(chǔ)的相似求線段長,再以作一個角等于已知角的基本作圖為切入點,最后關(guān)聯(lián)應(yīng)用.盡管第(3)問有些難度,但整個題目的靈魂在第(2)問,借助于尺規(guī)作圖,要求學(xué)生利用幾何知識加以解決,這是教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探究幾何作圖的常用路徑.

    4.2 聚焦生長性,深入探究尺規(guī)作圖的本質(zhì)特征

    如何確定點F是本題的突破點,如果只是簡單地從尺規(guī)作圖的角度去思考,就會很難找.解決尺規(guī)作圖問題的基本思路是“倒過來想”,面對“∠DFA=∠A”的原始問題,先假設(shè)這一點已存在,然后畫草圖分析,用幾何的知識分析推理;有了思路,再細化分解成若干基本作圖.這就要求學(xué)生能跳出尺規(guī)作圖看尺規(guī)作圖,不能僅單純地記住尺規(guī)作圖的畫法,要善于尋找條件知識與結(jié)論知識之間的邏輯關(guān)系或轉(zhuǎn)化軌跡[3].這樣的思考體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題過程與結(jié)果的統(tǒng)一,其實質(zhì)就是彰顯了數(shù)學(xué)教學(xué)的生長性.學(xué)生通過畫草圖分析推理,在畫中思、在思中畫,實現(xiàn)“怎么想”“怎么想得到”層層遞進的深入思考,形成數(shù)學(xué)思維的生長鏈,在幾何作圖中享受數(shù)學(xué)思維生長的全過程,這一過程正是新課標(biāo)下尺規(guī)作圖本質(zhì)特征的體現(xiàn).

    “教育的本質(zhì)就是一棵樹搖動另一棵樹,一朵云推動另一朵云,一個靈魂召喚另一個靈魂.”平時的教學(xué)中,我們要注重提煉幾何圖形的特征,引導(dǎo)學(xué)生追根溯源,關(guān)注知識鏈生成,積極探索作圖方法,嘗試一題多解、一題多圖,讓學(xué)生在動手實踐和推理分析中積累經(jīng)驗,生長思維.

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