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    共振條件下豎直懸臂輸流管的局部分岔分析

    2022-10-19 06:59:16張嘉文高曉凌謝沅澤卞小霞
    科技創(chuàng)新與應(yīng)用 2022年29期
    關(guān)鍵詞:流管平衡點(diǎn)鹽城

    張嘉文,高曉凌,謝沅澤,卞小霞

    (1.鹽城工學(xué)院 信息工程學(xué)院,江蘇 鹽城 224051;2.鹽城工學(xué)院 土木工程學(xué)院,江蘇 鹽城 224051;3.鹽城工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇 鹽城 224051)

    管道系統(tǒng)是一種重要的載流裝置,在石油化工行業(yè)、核工業(yè)工程和航空航天工程等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。由于管道系統(tǒng)在工作過(guò)程中受外界激勵(lì)的影響,其中的流體產(chǎn)生非定常流動(dòng),引起管道系統(tǒng)的流-固耦合非線性效應(yīng),導(dǎo)致輸流管系統(tǒng)失穩(wěn),嚴(yán)重時(shí)發(fā)生爆裂,繼而引發(fā)災(zāi)難性的事故。因此,管道系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性研究受到了廣大學(xué)者的重視。

    1 輸流管道系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀

    輸流管道系統(tǒng)是非線性系統(tǒng),需要用非線性動(dòng)力學(xué)分析方法研究[1]。Hosseini 等[2]基于Euler-Bernoulli 梁模型,利用修正的應(yīng)變梯度理論研究了長(zhǎng)度尺度參數(shù)、外徑和長(zhǎng)徑比對(duì)固有頻率和顫振臨界速度的影響。金基鐸等[3]研究了懸臂輸流管道受彈性支承和運(yùn)動(dòng)約束作用的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象。Mao 等[4]分析了輸流管在3∶1 內(nèi)共振下的受迫振動(dòng)響應(yīng)。Wang 等[5]得到了松散約束中的不同參數(shù)對(duì)懸臂梁非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響。方孟孟等[6]基于Galerkin 法研究了懸臂輸流管系統(tǒng)在基礎(chǔ)激勵(lì)與脈沖內(nèi)流聯(lián)合作用下的動(dòng)力學(xué)行為。張宇飛等[7-8]分析了輸送脈動(dòng)流體的懸臂管道在諧波外力作用下的非線性共振響應(yīng)、模態(tài)相互作用及倍周期和混沌振動(dòng),并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)基礎(chǔ)激勵(lì)作用下懸臂輸流管的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行振動(dòng)測(cè)試分析。

    本文以懸臂輸流管的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為討論對(duì)象,分析平衡點(diǎn)處穩(wěn)定條件不滿足時(shí)分岔的情況。討論了2 類臨界特征根的情況。分別是2 個(gè)零特征值,1 個(gè)零特征根和1 對(duì)純虛特征根的情況,給出了不同情況下的轉(zhuǎn)遷曲線及平衡解穩(wěn)定區(qū)域。

    2 動(dòng)力學(xué)模型

    張宇飛等在文獻(xiàn)[7]中得到了受外激勵(lì)及內(nèi)共振影響的輸流管系統(tǒng)非線性無(wú)量綱系統(tǒng)如下

    式中:“·”表示對(duì)時(shí)間t 的偏導(dǎo)數(shù),“′”表示對(duì)X 的偏導(dǎo)數(shù)各項(xiàng)表達(dá)式及系數(shù)都可以在文獻(xiàn)[7]中找到。張宇飛等應(yīng)用攝動(dòng)分析法及Galerkin 離散法得到平均方程如下

    式中:X=[x1,x2,x3,x4],式(2)中各系數(shù)均可在文獻(xiàn)[7]中找到。共振關(guān)系為

    式中:σ1和σ2是2 個(gè)調(diào)諧參數(shù)。

    式(2)在平衡點(diǎn)(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)處的Jacobian 矩陣為

    由Hurwitz 判據(jù),系統(tǒng)在原點(diǎn)處穩(wěn)定,當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立

    條件中不等式同時(shí)成立時(shí),矩陣的特征根實(shí)部均為負(fù)數(shù),否則,若是有1 個(gè)不等式不成立,則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,可能發(fā)生分岔。

    3 局部分岔分析

    下面討論系統(tǒng)在原點(diǎn)附近受參數(shù)(δ1,δ2)擾動(dòng)后的動(dòng)力學(xué)行為,分析特征根為1 個(gè)零和1 對(duì)純虛數(shù)的情況。

    選取參數(shù)值如下

    此時(shí),雅可比矩陣的特征值為λ1=0,λ2,3=±3i,λ4=-2,參數(shù)β17,μ 被擾動(dòng),變換為:β17=-1+δ1,μ=0+δ2,狀態(tài)變量經(jīng)如下變換

    式中:Nfi(i=1…4)見(jiàn)附錄。系統(tǒng)在初始平衡點(diǎn)(y1,y2,y3,y4)=(0,0,0,0)處,參數(shù)為零時(shí)Jacobian 矩陣為

    接下來(lái)討論式(11)的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性。式(11)的Jacobian 矩陣為

    式(11)的平衡點(diǎn)有如下情況:①z=r=0 為初始平衡點(diǎn);②z2=-δ1/4,r=0 為靜態(tài)分岔解次Hopf 分岔解二次Hopf 分岔解。

    以上平衡解的穩(wěn)定性條件由Jacobian 矩陣(12)分析得到,對(duì)于初始平衡解①,δ1>0,δ2>0 時(shí)平衡點(diǎn)穩(wěn)定。記其穩(wěn)定邊界即轉(zhuǎn)遷曲線為L(zhǎng)1:δ2=0(δ1>0),L2:δ1=0(δ2>0);對(duì)于靜態(tài)分岔解②,δ1<0 時(shí)解存在,δ1<0 且δ1/4+δ2>0 時(shí)解穩(wěn)定,則有穩(wěn)定邊界L2:δ1=0(δ2>0),L3:δ1/4+δ2=0(δ2>0);對(duì)于一次Hopf 分岔解③,δ2<0 時(shí)解存在,穩(wěn)定條件為δ2>0,5δ1+39δ2>0,對(duì)比得到此解無(wú)法穩(wěn)定,轉(zhuǎn)遷曲線是L4:5δ1+39δ2=0(δ1>0);對(duì)于二次Hopf 分岔解④,δ1+4δ2<0,5δ1+39δ2>0 時(shí)解存在,50δ1+352δ2>0 時(shí)解穩(wěn)定,得到穩(wěn)定邊界為L(zhǎng)3:δ1/4+δ2=0(δ2>0),L5:50δ1+352δ2>0。

    由上述分析可知系統(tǒng)平衡解的轉(zhuǎn)遷曲線及穩(wěn)定區(qū)域如圖1 所示,初始平衡解①穩(wěn)定性區(qū)域?yàn)镮,參數(shù)穿過(guò)L2分岔出靜態(tài)分岔解②,解②的穩(wěn)定性區(qū)域?yàn)棰?,參?shù)經(jīng)過(guò)L3時(shí)分岔出二次Hopf 分岔解④,區(qū)域Ⅲ中,解②不再穩(wěn)定,解④穩(wěn)定。

    從圖1 的不同區(qū)域選取參數(shù)(δ1,δ2)驗(yàn)證理論分析的結(jié)果。圖2(a)、2(b)、2(c)是不同參數(shù)及不同初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量x1的時(shí)間歷程曲線,圖2(d)是二次Hopf分岔解對(duì)應(yīng)的相軌線在(x1,x2)平面上的投影。首先從平衡解(z,r)=(0,0)的穩(wěn)定區(qū)域Ⅰ中選?。é?,δ2)=(0.1,0.1),初始狀態(tài)為(x1,x2,x3,x4)=(-0.1,0.1,0.1,0.1),如圖2(a)所示,軌線最終收斂到零點(diǎn);其次,從靜態(tài)分岔解(z,r)=(-δ1/4,0)的穩(wěn)定區(qū)域Ⅱ中選?。é?,δ2)=(-0.1,0.2),初始條件取為(x1,x2,x3,x4)=(0.1,0.1,-0.1,0.1),由圖2(b)可見(jiàn)軌線收斂到確定的非零解;最后,從二次Hopf 分岔解的穩(wěn)定區(qū)域Ⅲ中選取(δ1,δ2)=(-0.1,0.018),初始條件取為(x1,x2,x3,x4)=(-0.1,0.1,0.1,0.1),由圖2(c)、2(d)可見(jiàn)狀態(tài)變量作穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng),相軌線收斂到穩(wěn)定的極限環(huán)。

    圖1 系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)(δ1,δ2)的轉(zhuǎn)遷曲線圖

    圖2 不同條件下時(shí)間歷程曲線及相軌線

    4 結(jié)論

    通過(guò)Hurwitz 判據(jù)分析了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件。對(duì)于特征值為1 個(gè)零和1 對(duì)純虛根的臨界情況,分析了平衡條件不滿足時(shí),系統(tǒng)的局部分岔行為。參數(shù)(μ,β17)受擾后,系統(tǒng)可能會(huì)產(chǎn)生4 個(gè)平衡解:①z=r=0;②z2=-(δ1+4δ2)。其中第三類存在性與穩(wěn)定性條件沖突,無(wú)法實(shí)際產(chǎn)生,其他3 個(gè)解在相應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域均可產(chǎn)生,數(shù)值分析驗(yàn)證了理論結(jié)果。

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