旋轉(zhuǎn)圓柱微間隙剪切流動特性研究

朱桂平,馬兆坤,郭義盼,張鏡洋

(南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，江蘇 南京 210016)

動壓氣體軸承以氣體作為潤滑介質(zhì)，具有轉(zhuǎn)速高、摩擦力小、功耗低等諸多優(yōu)點，因此廣泛應(yīng)用于壓縮機(jī)、航空儀器等領(lǐng)域，且其也是微型燃?xì)廨啓C(jī)的關(guān)鍵部件之一[1]。動壓氣體軸承在工作時，轉(zhuǎn)軸與軸承套存在的偏心，使兩者之間形成楔形通道，氣體進(jìn)入楔形通道產(chǎn)生壓力梯度，從而形成支撐轉(zhuǎn)子的承載力，這種現(xiàn)象被稱為動壓效應(yīng)。為了產(chǎn)生較強(qiáng)的動壓效應(yīng)，軸承間隙尺度往往在200 μm以下，屬于微尺度間隙，且轉(zhuǎn)軸通常需要保持10 000 r/min以上的高速旋轉(zhuǎn)。

對旋轉(zhuǎn)圓柱微間隙剪切流動的研究，最早可以追溯到19世紀(jì)末，雷諾提出了著名的用于描述軸承微間隙壓力分布的雷諾微分方程。此后Diprima等[2]通過研究發(fā)現(xiàn)，微小尺度下雷諾方程近似等于N-S方程，因此雷諾方程在滑動軸承研究中的應(yīng)用得到了顯著發(fā)展。例如，文獻(xiàn)[3]、[4]通過推導(dǎo)求解出可壓縮流體雷諾方程，分析了氣體的壓縮性以及邊界滑移現(xiàn)象對間隙內(nèi)的壓力分布和承載力的影響。文獻(xiàn)[5]、[6]將雷諾方程與能量方程耦合，計算出微間隙內(nèi)的壓力和溫度分布，并分析了轉(zhuǎn)速和載荷對溫度分布等的影響。通過求解雷諾方程雖能獲得大量氣膜特性信息，但卻難以反映間隙內(nèi)部更為詳細(xì)的流場信息，因此發(fā)展出了其他用于研究旋轉(zhuǎn)圓柱微間隙剪切流動的方法,如有限元模型[7]可用來求解可壓縮、黏性、穩(wěn)態(tài)的N-S方程，并與能量方程進(jìn)行耦合來研究熱流體動力學(xué)現(xiàn)象。在有限體積法的應(yīng)用上則著重研究了間隙大小、偏心率等對氣膜速度和壓力場的影響[1，8]。如Chun等[9]采用非結(jié)構(gòu)化有限體積法模擬間隙流動，研究邊界條件和偏心率對流場的影響。

動壓氣體軸承在工作時形成的間隙流動是一種典型的泰勒-庫特流動。對于常規(guī)尺度的泰勒-庫特流動，部分學(xué)者研究分析認(rèn)為間隙內(nèi)壓力梯度、流體剪切力及離心力是泰勒渦產(chǎn)生的重要因素[10-11]。在泰勒-庫特流動中，偏心也是必不可少的影響因素，在偏心狀態(tài)下流動的穩(wěn)定性往往小于同心時的穩(wěn)定性[12]，并且偏心的增加有利于周向回流的出現(xiàn)[13]，進(jìn)一步研究還發(fā)現(xiàn)，隨著旋轉(zhuǎn)雷諾數(shù)的增加，分離點沿旋轉(zhuǎn)方向移動[14]。而在偏心條件下，隨著偏心率的增大，泰勒渦的強(qiáng)度減小，最強(qiáng)的泰勒渦出現(xiàn)在最寬氣隙下游的45°～90°范圍內(nèi)[15]。此外有學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，在泰勒-庫特流基礎(chǔ)上疊加軸向流動，間隙內(nèi)泰勒渦產(chǎn)生的非線性行波和調(diào)制非線性波均產(chǎn)生相應(yīng)的擾動變化[16]。針對微小尺度間隙，Deng等[17]研究了偏心率在0～0.8、間隙大小為0.01英寸的偏心圓柱體狹縫中流場，進(jìn)一步驗證了臨界轉(zhuǎn)速本身隨著偏心率的增大而單調(diào)增加，且臨界轉(zhuǎn)速與偏心率呈函數(shù)關(guān)系。

綜上所述，對于旋轉(zhuǎn)圓柱微間隙剪切流動的研究，主要集中于對雷諾方程的求解，以及宏觀壓力場、溫度場和承載力的研究，缺少對微間隙內(nèi)流場特別是速度分布的描述，而在泰勒-庫特流動的研究中，目前主要針對的是數(shù)倍于軸承間隙的較大尺度的研究，對于更小尺度下泰勒-庫特流動的分析需要更進(jìn)一步的探索。本文著眼于以氣體為介質(zhì)的旋轉(zhuǎn)圓柱微間隙剪切流動，通過數(shù)值計算獲得不同偏心率、轉(zhuǎn)速和間隙比等工況下壓力、速度分布規(guī)律和流動機(jī)理。同時對偏心下泰勒-庫特流動進(jìn)行分析，包括流動形態(tài)及泰勒渦對速度分布產(chǎn)生的影響。

1 模型與方法

旋轉(zhuǎn)圓柱微間隙剪切流動中，流動間隙的軸向截面為偏心環(huán)狀通道，由于偏心的存在，使得圓柱間出現(xiàn)楔形通道，從而產(chǎn)生動壓效應(yīng)，偏心環(huán)狀間隙截面圖如圖1所示。

圖1 偏心環(huán)狀間隙截面圖

其中內(nèi)壁面為旋轉(zhuǎn)壁面，半徑為R1，其繞圓心O1以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)動；外壁面為靜止壁面，半徑為R2。偏心距e為內(nèi)外壁面圓心O1與O2的距離。θ為該環(huán)狀間隙的周向角，最大間隙高度位于θ=0處，最小間隙高度位于θ=π處。內(nèi)外壁面半徑之差為徑向平均間隙C，因此間隙比δ可以表示為[18]：

(1)

偏心率ε可用偏心距e和平均間隙C的比值來表示：

(2)

雷諾數(shù)Re可由下式表示：

(3)

式中：υ為動力黏度，為運動黏度μ和流體密度ρ之比。周向角θ逆時針圍繞圓心O1在0～2π間變化，因此間隙高度h可以表示為：

h=C(1+εcosθ)

(4)

旋轉(zhuǎn)圓柱微間隙剪切流動也是偏心下的泰勒-庫特流動，使用泰勒數(shù)來描述流動狀態(tài)，當(dāng)泰勒數(shù)達(dá)到臨界值時間隙內(nèi)出現(xiàn)泰勒渦流。泰勒數(shù)Ta可由下式表示[12]：

(5)

通過泰勒數(shù)Ta可計算轉(zhuǎn)速n：

(6)

(7)

建立三維旋轉(zhuǎn)圓柱微間隙剪切流動數(shù)值計算模型，兩壁面均視為剛性壁面，且不考慮變形等影響。流場軸向端面設(shè)置為周期性邊界條件，以忽略端部效應(yīng)干擾。流場計算網(wǎng)格模型如圖2所示，采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分流體域，并保證邊界網(wǎng)格y+值在1左右。間隙內(nèi)部流體設(shè)置為可壓縮的理想氣體，使用大渦模擬(large eddy simulation,LES)計算模型進(jìn)行瞬態(tài)求解，殘差值設(shè)置為10-5，同時在流場內(nèi)創(chuàng)建監(jiān)控點，監(jiān)控每次迭代后的參數(shù)變化，以此判斷計算是否達(dá)到收斂。為了驗證網(wǎng)格無關(guān)性，分別對間隙高度上不同網(wǎng)格層數(shù)N進(jìn)行計算，結(jié)果如圖3所示，通過對比可知，在確保y+值在合理范圍內(nèi)條件下，網(wǎng)格數(shù)量變化不影響計算結(jié)果。

圖2 流場計算網(wǎng)格模型

圖3 網(wǎng)格無關(guān)性比較結(jié)果

在使用大渦模擬控制方程進(jìn)行解算時，流速ui經(jīng)過脈動過濾器可以分解為：

(8)

過濾后的N-S方程為：

(9)

(10)

(11)

在微間隙尺度下計算旋轉(zhuǎn)圓柱微間隙剪切流動時需要考慮滑移邊界條件。使用克努森數(shù)Kn判定滑移邊界，Kn定義如下：

(12)

式中：λ=6.9×10-8，為空氣平均分子自由程；l為特征尺度(這里認(rèn)為是間隙高度)。本文中0.01

在數(shù)值計算時考慮采用Maxwell滑移速度邊界條件，Maxwell一階滑移速度公式如下[19]：

(13)

式中：uslip為滑移速度；ufluid為流體速度；uwall為壁面速度；σt為氣體與壁面相互作用的動量協(xié)調(diào)系數(shù)；u為流向速度。式(13)中考慮了曲率和旋轉(zhuǎn)運動對滑移行為的影響，因此引入切向速度梯度作為修正。

將數(shù)值計算得出的軸向周期性間隙流場在周向上的壓力分布結(jié)果與文獻(xiàn)[11]中的結(jié)果進(jìn)行比較。文獻(xiàn)[11]中使用(P-P0)R1δ2/(μv0)來表征壓力的大小，其中P為絕對壓力，P0為大氣壓力，v0為圓柱間隙內(nèi)壁面速度，使用的修正雷諾數(shù)為0.8，設(shè)置偏心率為0.75。將間隙比分別為0.010和0.008的壓力分布結(jié)果與文獻(xiàn)中結(jié)果進(jìn)行對比，可知兩者的分布趨勢和數(shù)值均具有較高的一致性，僅在最大無量綱壓力附近存在較大計算誤差且誤差值小于10%，如圖4所示。

圖4 計算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果對比

2 結(jié)果分析

在不同偏心率、轉(zhuǎn)速和間隙比等工況條件下，對動壓軸承微間隙內(nèi)流動特性進(jìn)行系統(tǒng)研究，從而更進(jìn)一步了解微間隙內(nèi)的流動機(jī)理。

2.1 微間隙內(nèi)壓力分布

隨著微間隙的偏心率、間隙比和轉(zhuǎn)速等幾何尺度及工況的改變，間隙內(nèi)壓力會發(fā)生相應(yīng)變化。圖5呈現(xiàn)了圓柱微間隙剪切流動中間隙比為0.01、內(nèi)壁面轉(zhuǎn)速為60 000 r/min、對應(yīng)雷諾數(shù)約為430時，偏心率為0.3～0.9的微間隙壓力周向分布。圖中橫坐標(biāo)為周向角θ，縱軸(P-P0)/P0表示無量綱壓力[8]。由于動壓效應(yīng)的影響，最大無量綱壓力值出現(xiàn)在最小間隙高度之前，此處稱為高壓區(qū)；而最小無量綱壓力值出現(xiàn)在最小間隙高度之后，此處稱為低壓區(qū)，在最小間隙高度位置，壓力梯度達(dá)到最大。隨著偏心率的增加，高壓區(qū)壓力升高，低壓區(qū)壓力下降，最大無量綱壓力值從0.024上升到0.157，最小無量綱壓力值從-0.021下降到-0.110。

圖5 周向壓力分布隨偏心率的變化規(guī)律

同時，在偏心率ε大于0.6的高偏心率狀態(tài)下，無量綱壓力極值隨偏心率的增加速率加快。無量綱壓力極值點的周向角位置隨偏心率的增加發(fā)生明顯移動，隨著偏心率的增加，無量綱最大壓力點沿旋轉(zhuǎn)方向朝最小間隙高度處移動，最小壓力點逆旋轉(zhuǎn)方向朝最小間隙高度處移動，如圖6所示。

圖6 壓力極值位置隨偏心率的變化規(guī)律

間隙比為0.005～0.020時，無量綱壓力周向分布如圖7所示，此時偏心率為0.6，內(nèi)壁面轉(zhuǎn)速為60 000 r/min。隨著間隙比的減小，高壓區(qū)壓力升高，低壓區(qū)壓力下降，最大無量綱壓力值從0.014上升至0.244，最小無量綱壓力值從-0.016降至約-0.170，且當(dāng)間隙比小于0.010時，隨間隙比減小壓力極值上升速率增加。圖8描述了不同間隙比下最大和最小壓力極值點在周向上的位置變化。隨著間隙比的升高，最大和最小壓力點均沿逆旋轉(zhuǎn)方向移動。

圖7 周向壓力分布隨間隙比的變化規(guī)律

圖8 壓力極值位置隨間隙的變化規(guī)律

在內(nèi)壁面轉(zhuǎn)速從5 000 r/min增加至150 000 r/min時，周向的無量綱壓力分布如圖9所示，此時偏心率為0.6、間隙比為0.010。此時隨著轉(zhuǎn)速的增加，動壓效應(yīng)增強(qiáng)，高壓區(qū)壓力升高，低壓區(qū)壓力下降，最大無量綱壓力值從0.005上升至0.169，最小無量綱壓力值從-0.004下降到-0.138。如圖10所示，隨著轉(zhuǎn)速的增加，最大壓力極值點變化平穩(wěn)，而最小壓力極值點則沿旋轉(zhuǎn)方向朝最大間隙高度處緩慢移動，說明轉(zhuǎn)速對壓力極值點的位置影響有限。

圖9 周向壓力分布隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律

圖10 壓力極值位置隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律

2.2 微間隙內(nèi)速度分布

由于微間隙內(nèi)流體的黏性作用，使得流體速度呈現(xiàn)典型的剪切流動規(guī)律，同時受間隙尺寸、偏心率等因素的影響，間隙內(nèi)不同區(qū)域的速度梯度會產(chǎn)生不同變化，圖11呈現(xiàn)了軸向截面上速度分布規(guī)律。內(nèi)側(cè)壁面為旋轉(zhuǎn)壁面，由于剪切力的作用，使得靠近壁面的速度最高，速度沿徑向由內(nèi)壁向外壁逐步降低。達(dá)到一定轉(zhuǎn)速后，靠近外壁面一側(cè)會出現(xiàn)與轉(zhuǎn)速相反的流動，說明間隙內(nèi)出現(xiàn)回流，回流的形成是楔形通道和壓力梯度共同作用的結(jié)果，流動分離發(fā)生在收縮通道內(nèi)，分離后的流體逆向流動，跨過最大間隙高度后在擴(kuò)張通道內(nèi)與主流重新附著。

圖11 間隙內(nèi)速度分布矢量圖

圖12呈現(xiàn)的是偏心率為0.6時，不同周向角θ處切向速度沿間隙高度(徑向)分布情況，其中橫軸表示無量綱間隙高度[15]，0和1分別表示內(nèi)外壁面位置；縱軸表示無量綱切向速度v/v0，其中v為流體切向速度，v0為內(nèi)壁面旋轉(zhuǎn)速度。切向速度梯度大小在不同周向角位置存在差異，隨著周向角的增大，靠近內(nèi)壁面切向速度梯度由大變小，且周向角θ在0～0.5π內(nèi)時切向速度在間隙高度0.6～1.0之間小于0，說明此范圍內(nèi)有回流存在。

圖12 不同周向角處的切向速度分布

圖13和圖14分別表示間隙比為0.010、轉(zhuǎn)速為35 000 r/min時，最大間隙與最小間隙高度處切向速度分布隨偏心率的變化規(guī)律。在最大間隙高度處，速度變化率由內(nèi)壁到外壁逐漸降低，而隨著偏心率增大，速度梯度增大。當(dāng)偏心率高于0.3時，靠外壁側(cè)的切向速度小于0，這是由于間隙內(nèi)產(chǎn)生回流，伴隨著偏心率的升高回流現(xiàn)象會愈發(fā)明顯。與最大間隙高度處相比，在最小間隙高度處，壓力梯度明顯更高，使得此處流場的速度更大，因此速度梯度呈現(xiàn)相反的分布。當(dāng)偏心率增大時，最小間隙高度處的速度梯度略微減小。產(chǎn)生該現(xiàn)象原因是偏心率增大導(dǎo)致壓力梯度增大，流體除受到剪切力外還受到壓力驅(qū)動作用，因此此處的流動是剪切流與壓力流共同疊加形成的，而流體受到的壓力驅(qū)動彌補(bǔ)了由于偏心率的變化造成的壓力梯度的不同，因此在最小間隙高度處，速度梯度較為接近。

圖13 不同偏心率時最大間隙高度處切向速度分布

圖14 不同偏心率時最小間隙高度處切向速度分布

較高偏心率引起間隙內(nèi)出現(xiàn)回流，回流出現(xiàn)在大間隙一側(cè)，在收縮通道內(nèi)發(fā)生了流動分離，并在擴(kuò)張通道重新附著。不同偏心率下的流動分離點和再附著點的周向角度發(fā)生變化，如圖15所示。由于偏心率的升高，間隙通道的收縮和擴(kuò)張更為劇烈，同時引起更大的逆壓梯度，因此分離點和再附著點均向最小間隙高度位置移動，且回流區(qū)域的周向角跨度區(qū)域增大，如圖16所示，當(dāng)偏心率升高至0.8時，回流區(qū)周向角度跨度占比達(dá)到0.73。

圖15 分離點和再附著點的周向角變化規(guī)律

圖16 回流區(qū)周向占比

圖17和18分別呈現(xiàn)了壁面轉(zhuǎn)速為60 000 r/min、偏心率為0.6時，不同間隙比下最大和最小間隙高度處無量綱切向速度分布規(guī)律。由于壓力場的作用，最小間隙高度處速度大于最大間隙高度處。但在不同間隙比下的切向速度變化趨勢基本吻合，說明此時速度分布主要受壓力變化的影響，而間隙比變化對速度分布影響較小。在不同間隙比下，間隙內(nèi)均有回流的產(chǎn)生，說明間隙比不是回流產(chǎn)生的主要原因。

圖17 不同間隙比時最大間隙高度處切向速度分布

圖18 不同間隙比時最小間隙高度處切向速度分布

不同轉(zhuǎn)速下的無量綱切向速度沿徑向分布規(guī)律如圖19和圖20所示，此時偏心率為0.6、間隙比為0.010。同樣由于壓力場的作用，最小間隙高度處速度大于最大間隙高度處。在最大間隙高度位置，速度變化率由內(nèi)壁向外壁逐漸減??；在最小間隙高度位置，速度變化率則相反。不同轉(zhuǎn)速下切向速度分布幾乎重合，且最大間隙高度處均有回流產(chǎn)生。綜上說明，偏心率的增加使得楔形尺寸的變化和間隙內(nèi)壓力梯度是影響切向速度分布主要因素，同時回流的出現(xiàn)主要與偏心率有關(guān)。

圖19 不同轉(zhuǎn)速時最大間隙高度處切向速度分布

圖20 不同轉(zhuǎn)速時最小間隙高度處切向速度分布

對于偏心下的泰勒-庫特流動，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到臨界值時，間隙內(nèi)部分區(qū)域會出現(xiàn)泰勒渦流。本文獲得了徑向切面上速度矢量圖，徑向切面又稱子午面。圖21顯示了間隙比為0.02、偏心率為0.6時，周向角θ=π位置處泰勒渦隨轉(zhuǎn)速升高的演變過程。當(dāng)轉(zhuǎn)速為34 000 r/min時泰勒數(shù)約為4 800，間隙內(nèi)泰勒渦初步產(chǎn)生，當(dāng)轉(zhuǎn)速為35 000 r/min、對應(yīng)泰勒數(shù)約為5 086時，間隙內(nèi)泰勒渦之間大小形貌相等，且呈現(xiàn)兩兩對稱周期性變化，每個渦流結(jié)構(gòu)獨立且流動相對封閉，此時渦流稱為層流泰勒渦；當(dāng)轉(zhuǎn)速升至36 000 r/min、對應(yīng)泰勒數(shù)為5 381時，渦流不再獨立和封閉，渦流之間開始出現(xiàn)流動傳遞，速度矢量場為波浪形；當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到37 000 r/min、對應(yīng)泰勒數(shù)為5 685時，速度矢量場表現(xiàn)出明顯波浪形，并呈周期性變化，此時渦流已發(fā)展為波狀泰勒渦；當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到50 000 r/min、對應(yīng)泰勒數(shù)為10 381時，渦流結(jié)構(gòu)被破壞，軸向周期性已不存在，但仍在部分區(qū)域存在渦流，此時渦流已發(fā)展成湍流泰勒渦。

圖21 不同轉(zhuǎn)速時間隙內(nèi)速度矢量分布圖

泰勒渦的出現(xiàn)會使間隙內(nèi)的速度分布產(chǎn)生相應(yīng)的變化，本文分別提取周向角θ=0.5π處子午面中軸線與徑向線上數(shù)據(jù)，此時流場間隙比為0.02、偏心率為0.6、轉(zhuǎn)速為35 000 r/min，如圖22所示，其中橫軸表示軸向方位，縱軸表示從內(nèi)壁到外壁的徑向高度，橫線1為子午面中軸線，徑線2和3分別位于渦心和兩渦交界處，此轉(zhuǎn)速下微間隙內(nèi)剛好處于層流泰勒渦狀態(tài)。

圖22 軸線與徑線位置示意圖

其中軸向速度沿中軸線1呈波狀分布，如圖23所示，速度范圍為-0.15 ～0.15 m/s。在泰勒渦心處軸向速度處于峰值，相鄰的兩渦速度相反，在渦的交界處軸向速度為0。徑向速度沿中軸線1同樣呈波狀分布，速度范圍為-0.25 ～0.40 m/s，在渦心處徑向速度約為0，在兩渦交界處徑向速度達(dá)到峰值。由于剪切力的存在，切向速度值遠(yuǎn)高于徑向和軸向速度，但泰勒渦的出現(xiàn)使得切向速度同樣呈波狀分布，切向速度峰值和谷值均位于兩渦的交界處。

圖23 子午面中軸線處速度分布圖

圖24和25呈現(xiàn)了在徑線2和徑線3上速度的分布。徑線2上軸向速度呈近似正弦分布，并沿渦心對稱，且方向相反，而經(jīng)過渦心時徑向速度為0。徑線3上軸向速度約為0，徑向速度呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。由于剪切力的作用，徑線2與3上的切向速度仍然遵循剪切流動下的速度分布，而泰勒渦的出現(xiàn)，使兩處的速度梯度不再相同。

圖24 徑向和軸向速度分布圖

圖25 切向速度分布圖

3 結(jié)束語

本文對旋轉(zhuǎn)圓柱微間隙剪切流動特性進(jìn)行了數(shù)值研究，分析對比在不同偏心率、間隙比和轉(zhuǎn)速等條件下，微間隙內(nèi)壓力和速度分布的變化規(guī)律。結(jié)果表明，隨偏心率或轉(zhuǎn)速的增加、間隙比的減小，無量綱壓力值的絕對值上升。在偏心率大于0.6、間隙比小于0.01時，壓力極值變化速率加快，同時壓力極值點隨著偏心率的增加均向最小間隙高度處移動。回流的出現(xiàn)主要受到偏心率的影響，偏心率高于0.3時間隙內(nèi)出現(xiàn)流動分離形成回流，當(dāng)偏心率增加至0.8時，回流區(qū)周向角占比達(dá)到0.73。同時本文也獲得了偏心下微間隙泰勒-庫特流動規(guī)律，并驗證了隨著轉(zhuǎn)速的增加，流動從層流泰勒渦至湍流泰勒渦的發(fā)展變化，以及泰勒渦的出現(xiàn)使得間隙內(nèi)的速度呈現(xiàn)波狀分布。