繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制方法研究

彭嘉偉，廖萬(wàn)能，王堯堯,2，丁亞東，吳洪濤

(1.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)(2.浙江大學(xué)流體動(dòng)力與機(jī)電系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027)

隨著旋翼飛行器的發(fā)展，人們?cè)絹碓讲粷M足于其僅擁有拍照、攝像等簡(jiǎn)單功能。為了增加旋翼飛行器空中作業(yè)的主動(dòng)性，研究者們?cè)陲w行器上加裝了機(jī)械臂[1-2]。然而現(xiàn)階段的機(jī)械臂大多是傳統(tǒng)的工業(yè)機(jī)械臂，其剛性大、質(zhì)量大、能耗高、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對(duì)旋翼飛行器機(jī)身穩(wěn)定有很大干擾[3-4]。文獻(xiàn)[5]、[6]研究發(fā)現(xiàn)，繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且質(zhì)量輕，將關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器安裝于基座使得機(jī)械臂對(duì)機(jī)身的干擾變小，能較好地匹配旋翼飛行器，但繩驅(qū)動(dòng)技術(shù)使得機(jī)械臂的相鄰關(guān)節(jié)存在耦合問題，同時(shí)繩索的柔性使得機(jī)械臂的剛度降低。此外，由于繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)模型復(fù)雜，以及存在參數(shù)不確定性和外部干擾，使得該系統(tǒng)的精確動(dòng)力學(xué)模型幾乎無法獲得。

為了簡(jiǎn)化繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)模型，采用時(shí)延估計(jì) (time delay estimation，TDE)[7]獲得系統(tǒng)模型的估計(jì)狀態(tài)。TDE通過采樣將過去很短一段時(shí)間的系統(tǒng)狀態(tài)作為下一時(shí)刻系統(tǒng)的模態(tài)輸入。對(duì)比其他控制方法，TDE可以有效減少系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中的參數(shù)，從而得到簡(jiǎn)單有效的控制器。文獻(xiàn)[8]針對(duì)可變載荷下平面機(jī)械臂的連續(xù)跟蹤控制問題，基于TDE提出關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)控制器，取得了良好控制效果。

由于滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)系統(tǒng)具有較好的魯棒性，很多學(xué)者已將其用于非線性系統(tǒng)控制研究[9]，但他們大多運(yùn)用了線性滑模(linear sliding mode，LSM)變結(jié)構(gòu)控制。為了加快系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的收斂，將冪指數(shù)引入趨近律公式，終端滑模(terminal sliding mode，TSM)變結(jié)構(gòu)控制應(yīng)運(yùn)而生[10]。然而因?yàn)閮缰笖?shù)存在，控制信號(hào)輸入可能出現(xiàn)奇點(diǎn)，為解決這一問題，學(xué)者們提出了非奇異終端滑模 (nonsingular terminal sliding mode，NTSM)[11]控制器，將所需控制量降到了合理范圍。

本文基于TDE控制框架，引入非奇異終端滑模關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)控制器，以保證繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)在復(fù)雜干擾下有良好的控制性能。為更好地控制輸出與輸入的關(guān)系，改善控制器在滑模面附近的趨近律，加入了模糊控制策略，以減少干擾和參數(shù)變化對(duì)機(jī)械臂控制效果的影響。

1 繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂設(shè)計(jì)時(shí)參考了課題組先前設(shè)計(jì)制作的水下繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂[12],并由Zhao等[13]負(fù)責(zé)畫圖、制作。為了滿足旋翼飛行器的空中作業(yè)要求，對(duì)機(jī)械臂做了一些輕量化處理，機(jī)械臂板采用尼龍材料，其熱變形溫度為145 ℃，抗拉強(qiáng)度為48 MPa,彎曲強(qiáng)度為43.5 MPa。關(guān)節(jié)軸采用鋁合金材料。因?yàn)殡姍C(jī)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)是通過繩索傳遞力矩的，所以對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)了張緊裝置。將驅(qū)動(dòng)電機(jī)安裝在基座上，以減小機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)時(shí)帶來的慣性力矩。為了測(cè)得各個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)過程中的位置信息，在各關(guān)節(jié)軸的一端處設(shè)計(jì)安裝有關(guān)節(jié)編碼器。上述設(shè)計(jì)基本滿足機(jī)械臂本身輕量化、對(duì)飛行器基座擾動(dòng)小、降低能耗的要求。繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的三維圖如圖1所示，參數(shù)見表1。

表1 繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂參數(shù)表

2 繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的代數(shù)形式為：

(1)

(2)

(3)

綜合式(1)、(3)可以得到：

(4)

(5)

(6)

式中：H為繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂所有未建模動(dòng)力學(xué)與所有外部未知干擾之和，其值用時(shí)延估計(jì)技術(shù)獲得。

3 非奇異終端滑模控制器設(shè)計(jì)

3.1 控制器設(shè)計(jì)

(7)

(8)

式中：α=diag([α1α2…αn]),k1=diag([k11k12…k1n]),k2=diag([k21k22…k2n]),ρ=diag([ρ1ρ2…ρn]),γ=diag([γ1γ2…γn])；e為繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差，e=qd-q，其中qd為關(guān)節(jié)的期望軌跡，該軌跡連續(xù)有界且存在二階導(dǎo)，所以有：

(9)

sig是一個(gè)自定義函數(shù)，滿足sig(a)b=|a|bsgn(a)，a，b∈R。sgn是一個(gè)符號(hào)函數(shù)，滿足

(10)

根據(jù)式(5)、(7)、(8)，可以將繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的控制器設(shè)計(jì)為：

(11)

(12)

(13)

(14)

由式(5)和式(14)可以推導(dǎo)出系統(tǒng)誤差動(dòng)力學(xué)模型

(15)

(16)

(17)

3.2 控制器穩(wěn)定性證明

引理1 如果a1,a2,a3,…,an都是正值，則下列不等式成立：

(18)

引理2 如果李雅普諾夫函數(shù)V(x)滿足以下條件：

(19)

那么V(x)可以在有限的時(shí)間內(nèi)從V(x0)到V(0)，時(shí)間T滿足：

(20)

kc2isig(si)γi)-αiρiεi]

(21)

式(21)可以寫成以下兩種形式：

(22)

(23)

將式(22)改寫為：

(24)

從引理1，可以推出：

(25)

(26)

(27)

同理，對(duì)于式(23)可以得到：

(28)

(29)

綜上所述，只要存在一個(gè)估計(jì)誤差εi，那么si就可以收斂到某個(gè)滑模面區(qū)域，該區(qū)域可以表示為：

|si|≤Δ=min{Δ1,Δ2}

(30)

(31)

至此，控制器的穩(wěn)定性證明完畢。

3.3 控制系統(tǒng)搭建

圖2 模糊控制器的控制面

綜上，針對(duì)繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)控制問題，基于時(shí)延估計(jì)的模糊非奇異終端滑?？刂破?NTSN+Fuzzy)設(shè)計(jì)方案如圖3所示。

圖3 基于時(shí)延估計(jì)的終端滑模控制

4 仿真實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析

為了驗(yàn)證模糊非奇異終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)的有效性，在一定實(shí)驗(yàn)周期內(nèi)，將本文設(shè)計(jì)的控制器與非奇異終端滑模控制器、線型滑模控制器進(jìn)行控制效果對(duì)比。

非奇異終端滑模控制器(NTSM)如下：

(32)

線型滑?？刂破?LSM)如下：

(33)

表2 工況1下關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2控制誤差的Rms值和Max值 單位：(°)

表3 工況2下關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2控制誤差的Rms值和Max值 單位：(°)

圖4 工況1關(guān)節(jié)跟蹤軌跡

圖5 工況1關(guān)節(jié)跟蹤誤差

圖6 工況1關(guān)節(jié)跟蹤力矩

圖7 工況1模糊量

圖8 工況2關(guān)節(jié)跟蹤軌跡

圖9 工況2關(guān)節(jié)跟蹤誤差

圖10 工況2關(guān)節(jié)跟蹤力矩

圖11 工況2模糊量

從工況1、工況2的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤圖可以看出，繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)在NTSM-Fuzzy控制器下對(duì)理想軌跡的擬合性更好，證明了其優(yōu)越性。從關(guān)節(jié)跟蹤誤差圖可以看出，當(dāng)機(jī)械臂處于開始和換向階段時(shí)系統(tǒng)誤差放大，但由于引入了模糊控制項(xiàng)δ，誤差e的增大使輸出的δ也相應(yīng)地增大，從而抑制了誤差，由此可以看出本文所設(shè)計(jì)的NTSM-Fuzzy控制器的有效性。對(duì)比關(guān)節(jié)跟蹤力矩可以看出，NTSM-Fuzzy控制器下的關(guān)節(jié)力矩波動(dòng)較大，說明良好的控制效果也是以犧牲更多的關(guān)節(jié)力矩為代價(jià)得到的。

以關(guān)節(jié)1為例，從關(guān)節(jié)的控制誤差指標(biāo)Rms與Max值可以看出。工況1在NTSM-Fuzzy控制器下均方差Rms減小了85%左右，峰值誤差Max減小了75%左右，證明了NTSM-Fuzzy控制器的魯棒性。雖然在工況2下NTSM-Fuzzy控制器的控制效果與其他控制器的控制效果對(duì)比優(yōu)勢(shì)不明顯，但也還算差強(qiáng)人意。

5 結(jié)束語(yǔ)

為了增加旋翼飛行器主動(dòng)作業(yè)能力，本文設(shè)計(jì)了一款可供旋翼飛行器搭載的輕量化繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂。設(shè)計(jì)了一款基于時(shí)延估計(jì)的模糊非奇異終端滑?？刂破?，用于繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)控制。通過李雅普諾夫理論，證明了控制器的穩(wěn)定性與誤差收斂性。最后在兩種工況下，設(shè)計(jì)對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性、魯棒性。

下一階段將針對(duì)繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂空中作業(yè)能力進(jìn)行研究。在多干擾、多自由度的集成環(huán)境下，可能需要改進(jìn)機(jī)械臂的控制方法，減少作業(yè)誤差，高效完成空中作業(yè)。