關(guān)于一類(lèi)高階復(fù)微分方程解的增長(zhǎng)性

譚 暉,肖麗鵬

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江西 南昌 330022)

0 引言與結(jié)果

注1若f(z)是整函數(shù),則它的級(jí)和下級(jí)分別定義為

回顧亞純函數(shù)f(z)零點(diǎn)序列聚值線的定義, 可在文獻(xiàn)[5]中找到.

其中nα,β(r,0,g)表示g(z)在區(qū)域{z:α

若λθ(g)=σ(g),則稱(chēng)射線argz=θ是g(z)零點(diǎn)序列的聚值線.

注2根據(jù)定義1和下面的引理3可知,對(duì)于2階線性微分方程

ω″+P(z)ω=0

(1)

(其中P(z)=anzn+an-1zn-1+…+a0,an≠0)的任一個(gè)非平凡解f(z),它的零點(diǎn)序列的聚值線條數(shù)不超過(guò)n+2且是集合{θj:0≤j≤n+1}的子集,其中θj=(2jπ-argan)/(n+2).

定義2[6]設(shè)ω(z)是方程(1)的非平凡解,用p(ω)記射線argz=θj不是ω(z)零點(diǎn)序列的聚值線總條數(shù),其中θj=(2jπ-argan)/(n+2),j=0,1,…,n+1.

注3根據(jù)定義2和下面的引理3可知,p(ω)一定是偶數(shù).

眾所周知,2階線性微分方程

f″+A(z)f′+B(z)f=0

(2)

的所有解都是整函數(shù),其中A(z)、B(z)(?0)是有限級(jí)整函數(shù).一方面,若B(z)是超越的,f1、f2是方程(2)的2個(gè)線性無(wú)關(guān)解,則f1、f2至少有1個(gè)是無(wú)窮級(jí).另一方面,對(duì)于形如(2)的方程可能會(huì)存在有限級(jí)非零整函數(shù)解.如方程f″+e-zf′-(e-z+1)f=0有一個(gè)解f(z)=ez,可知σ(f)=1.

一個(gè)自然的問(wèn)題是:若方程(2)的所有非零解都是無(wú)窮級(jí),A(z)和B(z)需要滿足什么條件?有許多學(xué)者研究了這一個(gè)問(wèn)題,得到了重要的結(jié)果.如G.G. Gundersen[7]和S. Hellerstein等[8]證明了:若σ(A)<σ(B),或者A(z)是多項(xiàng)式且B(z)是超越的,或者σ(B)<σ(A)≤1/2,則方程(2)的所有非零解都是無(wú)窮級(jí).文獻(xiàn)[9]給出了定理A和定理B.

定理A[9]設(shè)A(z)、B(z)是方程(2)的2個(gè)線性無(wú)關(guān)解,若A(z)的零點(diǎn)序列的聚值線條數(shù)小于n+2,則方程(3)的任意解f(z)(?0)具有無(wú)窮級(jí).

定理B[9]設(shè)A(z)、B(z)分別是方程ω″+Q1(z)ω=0和ω″+Q2(z)ω=0的非平凡解,其中Q1(z)=anzn+an-1zn-1+…+a0(an≠0),Q2(z)=bmzm+bm-1zm-1+…+b0(bm≠0),若滿足下列任一個(gè)條件:

(i)m>n;

(ii)m

(iii)m=n,argan=argbm,A(z)的零點(diǎn)序列的聚值線條數(shù)小于n+2;

(iv)m=n,an=cbm,其中0

則方程(2)的任意解f(z)(?0)具有無(wú)窮級(jí).

自然地會(huì)問(wèn):對(duì)于高階線性微分方程,當(dāng)方程系數(shù)滿足什么條件時(shí),也能夠保證方程的任意解f(z)(?0)具有無(wú)窮級(jí)?對(duì)于這個(gè)問(wèn)題,陳宗煊等[10]證明了定理C.

定理C[10]設(shè)A0,A1,…,Ak-1是整函數(shù),滿足

(i)σ(Aj)<σ(A0)<∞(j=1,2,…,k-1)

或者

(ii)A0(z)是有限級(jí)超越整函數(shù),A1,A2,…,Ak-1是多項(xiàng)式,

則線性微分方程

f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=0

(3)

的所有非零解具有無(wú)窮級(jí).

受以上結(jié)果的啟發(fā),本文考慮在高階線性微分方程(3)系數(shù)滿足一定條件時(shí)解的增長(zhǎng)性問(wèn)題,同時(shí)還考慮方程(3)對(duì)應(yīng)的非齊次方程,得到了如下結(jié)論.

定理1設(shè)A0,A1,…,Ak-1是整函數(shù),若滿足下列條件:

(i)A0、A1是方程(1)的2個(gè)線性無(wú)關(guān)解,A1的零點(diǎn)序列的聚值線條數(shù)小于n+2;

(ii)max{σ(A2),σ(A3),…,σ(Ak-1)}<(n+2)/2,則微分方程(3)的任意解f(z)(?0)具有無(wú)窮級(jí)且σ2(f)=(n+2)/2.

定理2若A0,A1,…,Ak-1同定理1的假設(shè),F(z)(?0)是有限級(jí)整函數(shù),則

(i)微分方程

f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=F(z)

(4)

至多有1個(gè)可能的有限級(jí)例外解f0,其他所有解f滿足

(ii)若存在(i)中的1個(gè)有限級(jí)例外解f0,則f0滿足

σ(f0)≤max{σ(F),λ(f0),(n+2)/2}.

定理3設(shè)A0,A1,…,Ak-1是整函數(shù),滿足max{σ(A2),σ(A3),…,σ(Ak-1)}<(n+2)/2,A1、A0分別是方程ω″+Q1(z)ω=0和ω″+Q2(z)ω=0的非平凡解,其中Q1(z)=anzn+an-1zn-1+…+a0(an≠0),Q2(z)=bmzm+bm-1zm-1+…+b0(bm≠0),若滿足下列任一個(gè)條件:

(i)m>n;

(ii)m=n,argan=argbm,A1的零點(diǎn)序列的聚值線條數(shù)小于n+2;

(iii)m=n,an=cbm,其中0

則微分方程(3)的任意解f(z)(?0)具有無(wú)窮級(jí).進(jìn)一步,當(dāng)條件(ii)成立時(shí),有σ2(f)=(n+2)/2.

定理4若A0,A1,…,Ak-1同定理3的假設(shè),F(z)(?0)是有限級(jí)整函數(shù),且滿足在定理3中任一個(gè)條件,則

(i)微分方程(4)至多有1個(gè)可能的有限級(jí)例外解f0,其他所有解f滿足

(ii)若存在(i)中的1個(gè)有限級(jí)例外解f0,則f0滿足

σ(f0)≤max{σ(F),λ(f0),(m+2)/2}.

定理5設(shè)A0,A1,…,Ak-1是整函數(shù),A1、A0同定理3的假設(shè)且滿足m

定理6若A0,A1,…,Ak-1同定理5的假設(shè),F(z)(?0)是有限級(jí)整函數(shù),則

(i)微分方程(4)至多有1個(gè)可能的有限級(jí)例外解f0,其他所有解f滿足

(ii)若存在(i)中的1個(gè)有限級(jí)例外解f0,則f0滿足

σ(f0)≤max{σ(F),λ(f0),(n+2)/2}.

1 證明所需引理

引理1[11]設(shè)f是超越亞純函數(shù)且σ(f)=σ<∞,Γ={k1,j1),(k2,j2),…,(km,jm)}是由不同整數(shù)對(duì)組成的有限集,滿足ki>ji≥0,i=1,2,…,m,又設(shè)ε>0是給定的常數(shù),則

(i)存在1個(gè)零測(cè)度集E1?[0,2π),使得若ψ0∈[0,2π)E1,則存在常數(shù)R0=R(ψ0)>1,對(duì)于滿足argz=ψ0且|z|≥R0的所有z及所有(k,j)∈Γ,有

(5)

(ii)存在1個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的集合E2?(1,∞),使得對(duì)于滿足|z|?E2∪[0,1]的所有z及所有(k,j)∈Γ,有式(5)成立;

(iii)存在1個(gè)線性測(cè)度有限集合E3?[0,∞),使得對(duì)于滿足|z|?E3的所有z及所有(k,j)∈Γ,有

引理2[11]設(shè)f是超越亞純函數(shù),α>1為一個(gè)給定的常數(shù),k、j為整數(shù)且滿足k>j≥0.

(i)存在1個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度有限的集合E1?[1,∞)和1個(gè)常數(shù)K>0,使得對(duì)于所有滿足|z|=r?[0,1]∪E1的所有z,有

|f(k)(z)/f(j)(z)|≤K(T(αr,f)(logαr)logT(αr,f)/r)k-j;

(6)

(ii)存在零測(cè)度集E2?[0,2π),使得若θ∈[0,2π)E2,則存在常數(shù)R=R(θ)>0,對(duì)于滿足argz=θ及|z|≥R的所有z,有式(6)成立.

在證明結(jié)果的過(guò)程中,2階線性微分方程(1)解的漸進(jìn)性質(zhì)有著重要的作用.下面介紹一些記號(hào),令r>0,α<β且有β-α<2π,記

S(α,β)={z:α

S(α,β,r)={z:α

引理3[6]若A(z)是微分方程(1)的非平凡解,其中P(z)=anzn+an-1zn-1…+a0,an≠0,令θj=(2jπ-argan)/(n+2)和Sj=S(θj,θj+1),其中j=0,1,2,…,n+1,θn+2=θ0+2π,則A(z)有下列性質(zhì):

(i)在每個(gè)角域Sj上,A呈指數(shù)爆破或者呈指數(shù)衰減到0;

(ii)若對(duì)于某個(gè)j,A在角域Sj上呈指數(shù)衰減到0,則A在角域Sj-1和Sj+1上一定呈指數(shù)爆破;然而,A可能在許多相鄰的角域上呈指數(shù)爆破;

引理4[6]設(shè)A(z)是微分方程(1)的非平凡解,其中P(z)=anzn+an-1zn-1+…+a0(an≠0),則當(dāng)r→∞時(shí),有

引理5[10]設(shè)A0,A1,…,Ak-1,F(z)(?0)是整函數(shù),f滿足微分方程

f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=F(z)

且

max{σ(F),σ(Aj):j=0,1,…,k-1}<σ(f)=σ(0<σ≤∞),

引理6[7]設(shè)f(z)是整函數(shù),若|f(k)(z)|在射線argz=θ上無(wú)界,則存在一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)列zn=rneiθ(n=1,2,…),其中rn→∞,滿足f(k)(zn)→∞和

|f(j)(zn)/f(k)(zn)|≤|zn|k-j(1+o(1))(j=0,1,…,k-1).

引理7[12]設(shè)f(z)是整函數(shù)且σ(f)=σ<∞,假設(shè)存在線測(cè)度為0的子集E?[0,2π),滿足對(duì)于任意射線argz=θ0∈[0,2π)E,有|f(reiθ)|≤Mrk,其中M=M(θ0)>0是常數(shù),k(>0)是與θ0無(wú)關(guān)的常數(shù),則f(z)是多項(xiàng)式且degf≤k.

利用Wiman-Valiron理論,不難得出引理8.

引理8設(shè)A0,A1,…,Ak-1是有限級(jí)整函數(shù),若f是微分方程(3)的解,則有

σ2(f)≤max{σ(Ai):i=0,1,…,k-1}.

2 定理的證明

定理1的證明首先,證明方程(3)沒(méi)有非零多項(xiàng)式解.假設(shè)f是方程(3)的非零多項(xiàng)式解,若f是非零常數(shù),則由方程(3)和定理1的條件可得矛盾.因此,可令degf=m≥1,有

|f(j)(z)/f(z)|=o(1),j=1,2,…,k.

(7)

由ρ=max{σ(A2),σ(A3),…,σ(Ak-1)}<(n+2)/2和級(jí)的定義知,?ε>0,當(dāng)r充分大時(shí),有

|Aj(z)|≤exp(rρ+ε),j=2,3,…,k-1.

(8)

根據(jù)引理3和定理1的條件,可設(shè)θj=(2jπ-argan)/(n+2)和Sj={z:θj

由亞純函數(shù)零點(diǎn)序列的聚值線的定義可知p(A1)≥2.又由引理3可知,在上述n+2個(gè)角域中,至少存在某角域使得A1(z)在該角域內(nèi)呈指數(shù)衰減到0.不失一般性,可設(shè)該角域?yàn)镾j0={z:θj0

(9)

斷言,A1(z)、A0(z)在同一角域上都呈指數(shù)衰減到0是不可能的.不失一般性,假設(shè)A1(z)、A0(z)在角域Sj0上都呈指數(shù)衰減到0,令h=A1/A0,根據(jù)在文獻(xiàn)[6]中的引理3可知,當(dāng)r充分大時(shí),有

其中α=(n+2)/2,b是可能除去有限個(gè)例外值的任意復(fù)數(shù).又令ω=A1-bA0,易知ω是方程(1)的非零解.又根據(jù)在文獻(xiàn)[6]中的定理5可知,當(dāng)r充分大時(shí),有

(10)

由式(9)和式(10)知p(ω)=0.由引理3可知,ω在每個(gè)角域Sj(j=0,1,…,n+1)上呈指數(shù)爆破.這同假設(shè)ω在角域Sj0上呈指數(shù)衰減到0矛盾.因此,A0在角域Sj0上呈指數(shù)爆破,即?θ∈(θj0,θj0+1),有

(11)

可取zt=rteiθ′,其中θ′∈(θj0,θj0+1),使式(7)～(9)和式(11)同時(shí)成立.由方程(4)可知,當(dāng)rt→∞時(shí),有

(12)

其中ε>0是任意給定的常數(shù).取0<2ε<(n+2)/2-ρ,則式(12)是矛盾的.

下面證明σ2(f)=(n+2)/2.由引理8可知σ2(f)≤(n+2)/2.根據(jù)在引理2中的(ii)可知,存在1個(gè)零測(cè)度集E2?[0,2π)和一個(gè)常數(shù)B>0,滿足:若ψ∈[0,2π)E2,則存在常數(shù)R=R(ψ)>0,對(duì)于滿足argz=ψ及|z|=r≥R的所有z,有

|f(j)(z)/f(z)|≤B(T(2r,f))k+1,j=1,2,…,k.

(13)

因此,存在一點(diǎn)列zn=rneiθ,其中當(dāng)n→∞,有rn→∞,θ∈(θj0,θj0+1)E2,使得式(9)、式(11)、式(13)同時(shí)成立.又由方程(3)可知,對(duì)充分大的n,有

其中C>0是常數(shù),ε>0是任意給定的常數(shù).取0<2ε<(n+2)/2-ρ,根據(jù)超級(jí)的定義可知σ2(f)≥(n+2)/2.

綜上,證得σ2(f)=(n+2)/2.根據(jù)超級(jí)和級(jí)的定義可知σ(f)=∞.

定理2的證明(i)假設(shè)f0是方程(4)的解,滿足σ(f0)<∞.若方程(4)還有另一個(gè)有限級(jí)解f1(?f0),則σ(f1-f0)<∞.又f1-f0是方程(4)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(3)的解,這與方程(3)的所有解f(?0)都是無(wú)窮級(jí)矛盾,即證得方程(4)至多有1個(gè)可能的有限級(jí)例外解f0,其他所有解f滿足σ(f)=∞.根據(jù)定理2的條件和引理5,有

(ii)假設(shè)f0是方程(4)的有限級(jí)例外解,則f0滿足

(14)

將式(14)改寫(xiě)為

f0+A0)/F.

(15)

由式(15)可知,若z0為f0的大于k階的α階零點(diǎn),則z0必為F的α-k階零點(diǎn),從而有

(16)

又由定理2的條件可知max{σ(Ai):i=0,1,…,k-1}=(n+2)/2.根據(jù)級(jí)的定義知,?ε>0,當(dāng)r充分大時(shí),有

T(r,Ai)≤r(n+2)/2+ε(i=0,1,…,k-1).

(17)

又根據(jù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理,最多除去1個(gè)有限線測(cè)度的r值集E外,有

(18)

由式(16)～(18)可得

(19)

根據(jù)級(jí)的定義和式(19),有σ(f0)≤max{σ(F),λ(f0),(n+2)/2}.

定理3的證明假設(shè)f(?0)是方程(3)的有限級(jí)解.

情形1條件(i)成立.有σ(Aj)<σ(A0)=(m+2)/2(j=1,2,…,k-1).根據(jù)定理C可知σ(f)=∞.

情形2條件(ii)成立.由條件(ii)和注2可知A1、A0零點(diǎn)序列的聚值線集合不同.則存在一個(gè)角域S(α,β)={z:α

情形3條件(iii)成立.假定f是超越的,由在引理1中的(ii)可知,存在一個(gè)有限對(duì)數(shù)測(cè)度集E2?(1,∞),使得對(duì)于滿足|z|?E2∪[0,1]的所有z,有

|f(i)(z)/f(z)|≤rkσ,i=1,2,…,k.

(20)

根據(jù)定理3的條件和引理4可知,當(dāng)r→∞時(shí),有

(21)

其中α=(n+2)/2.由ρ=max{σ(A2),σ(A3),…,σ(Ak-1)}<(n+2)/2知,?ε>0,取0<2ε<(n+2)/2-ρ,當(dāng)r充分大時(shí),有式(8)成立.取一個(gè)滿足|zl|=rl∈(1,∞)E2的無(wú)窮點(diǎn)列{zl},使得

|A0(zl)|=M(rl,A0).

(22)

由式(3)、式(8),式(20)～(22)知,當(dāng)l→∞時(shí),

因此,可推得|bm|≤|an|.這與在條件(iii)中的|bm|>|an|矛盾,所以σ(f)=∞.

下面證明方程(3)沒(méi)有非零多項(xiàng)式解.假設(shè)f是方程(3)的非零多項(xiàng)式解,若f是非零常數(shù),則由方程(3)和定理3的條件可得矛盾.因此,可令degf=t≥1,則有式(7)成立.由式(3)、(7)、(8)、(21)、(22)知,當(dāng)l→∞時(shí),

由此,也可推得|bm|≤|an|.這與在條件(iii)中|bm|>|an|矛盾,所以方程(3)沒(méi)有非零多項(xiàng)式解.

綜上,可證得σ(f)=∞.

定理4的證明使用與定理2相同的證法.

定理5的證明假設(shè)f(?0)是方程(3)的有限級(jí)解.比較方程(3)兩邊的增長(zhǎng)級(jí),可知σ(f)=σ≥σ(A1)=(n+2)/2.令

FA1={θ∈[0,2π):θ=(2pπ-argan)/(n+2)},p=0,1,…,n+1,

FA0={θ∈[0,2π):θ=(2qπ-argbm)/(m+2)},q=0,1,…,m+1.

由引理1的(i)可知,存在一個(gè)零測(cè)度集E3?[0,2π),滿足:若ψ0∈[0,2π)E3,則存在常數(shù)R0=R(ψ0)>1,對(duì)于滿足argz=ψ0及|z|=r≥R0的所有z,有

|f(j1)(z)/f(j2)(z)|≤rkσ,0≤j2

(23)

設(shè)F=E3∪FA1∪FA0,?θ∈[0,2π)F,A1、A0在射線argz=θ上可能有4種增長(zhǎng)類(lèi)型:

(a)A1(reiθ)滿足

(24)

A0(reiθ)滿足

(25)

(b)A1(reiθ)滿足式(25),A0(reiθ)滿足

(26)

(c)A1(reiθ)滿足

(27)

A0(reiθ)滿足式(25).

(d)A1(reiθ)滿足式(27),A0(reiθ)滿足式(26).

不失一般性,假設(shè)l=k-1,則有

ρ=max{σ(Aj):2≤j≤k-2}<μ(Ak-1)≤σ(Ak-1)<(m+2)/2.

根據(jù)級(jí)的定義知,?ε>0,當(dāng)r充分大時(shí),有

|Aj(z)|≤exp(rρ+ε),j=2,3,…,k-2.

(28)

(i)若A1(reiθ)、A0(reiθ)在射線argz=θ上滿足類(lèi)型(a)時(shí)，取點(diǎn)列zl=rleiθ(l→∞,有rl→∞),其中θ∈[0,2π)F,使式(23)～(25)、(28)同時(shí)成立.由方程(3)知,對(duì)充分大的l,有

(29)

其中M>0是常數(shù),ε>0是任意給定的常數(shù).取0<2ε<(m+2)/2-ρ,則式(29)矛盾.即證得σ(f)=∞.

(ii)若A1(reiθ)、A0(reiθ)在射線argz=θ上滿足類(lèi)型(b)時(shí),可假設(shè)|f(k-1)(z)|在射線argz=θ上無(wú)界,由引理6知,存在一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)列zt=rteiθ,當(dāng)t→∞時(shí),有f(k-1)(zt)→∞和

(30)

由式(3)、(23)、(28)、(30),當(dāng)t→∞時(shí),有

f(k-1)(zt)|+|Ak-2(zt)||f(k-2)(zt)/f(k-1)(zt)|+…+|A1(zt)||f′(zt)/f(k-1)(zt)|+|A0(zt)||f(zt)/

(31)

其中M>0是常數(shù),取0<2ε<μ(Ak-1)-ρ,可知式(31)矛盾.所以,|f(k-1)(z)|在射線argz=θ上有界.因此,在射線argz=θ上有|f(z)|≤C1·|z|k-1,其中C1>0是常數(shù).

(iii)若A1(reiθ)、A0(reiθ)在射線argz=θ上滿足類(lèi)型(c)時(shí),可先假設(shè)|f′(z)|在射線argz=θ上無(wú)界,由引理6可知,存在一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)列zt=rteiθ,當(dāng)t→∞時(shí),有f′(zt)→∞和

|f(zt)/f′(zt)|≤rt(1+o(1)).

(32)

根據(jù)式(3)、(23)、(28)、(32),當(dāng)t→∞時(shí),有

(33)

其中C>0是常數(shù),取0<4ε0是常數(shù).

(iv)若A1(reiθ)、A0(reiθ)在射線argz=θ上滿足類(lèi)型(d)時(shí),類(lèi)似(iii)的方法,同樣可證得在射線argz=θ上有|f(z)|≤C3|z|,其中C3>0是常數(shù).

定理6的證明使用與定理2相同的證法.