基于L1-中位數(shù)邊信息的在線投資組合策略

□文/鄭麗娜

（廣東工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院 廣東·廣州）

［提要］ 在實(shí)際投資過(guò)程中，投資者往往根據(jù)各種信息動(dòng)態(tài)地調(diào)整資產(chǎn)頭寸。本文利用L1-中位數(shù)預(yù)測(cè)股票市場(chǎng)的漲跌趨勢(shì)，將其作為反映市場(chǎng)情況的邊信息引入到基于線性學(xué)習(xí)函數(shù)的在線投資組合策略中，構(gòu)造基于L1-中位數(shù)邊信息的在線投資組合策略。采用上海證券交易所股票構(gòu)造股票組合，從數(shù)值算例中證明策略在真實(shí)股票市場(chǎng)的表現(xiàn)，結(jié)果表明該策略具有較好的收益。

在線投資組合選擇問(wèn)題是計(jì)算金融領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。不同于傳統(tǒng)的均值-方差模型，在線投資組合模型不對(duì)資產(chǎn)價(jià)格做任何的概率假設(shè)，而是只利用過(guò)去的市場(chǎng)價(jià)格序列構(gòu)造投資比例。Cover 通過(guò)對(duì)所有的定常再調(diào)整策略（CRP）進(jìn)行加權(quán)平均，提出泛證券投資組合策略（UP），該策略首次將在線競(jìng)爭(zhēng)的思想引入投資組合問(wèn)題中。Helmbold 等基于指數(shù)梯度類(lèi)型算法和相對(duì)熵，利用乘法更新公式設(shè)計(jì)指數(shù)梯度策略（EG），該策略具有良好的表現(xiàn)，能夠追蹤上一期表現(xiàn)最佳的股票，同時(shí)使當(dāng)期與上一期投資比例之間的差距盡可能小，進(jìn)而減少交易費(fèi)用。張衛(wèi)國(guó)等考慮到UP 策略在股票數(shù)量較多時(shí)計(jì)算難度大，構(gòu)造基于線性學(xué)習(xí)函數(shù)的在線投資組合策略LFM，該策略具有計(jì)算復(fù)雜度低的優(yōu)勢(shì)。Li 等將上一期相對(duì)價(jià)格的倒數(shù)作為當(dāng)期相對(duì)價(jià)格的預(yù)測(cè)值，并利用在線主動(dòng)被動(dòng)學(xué)習(xí)技術(shù)構(gòu)造策略PAMR。Huang 等考慮到現(xiàn)有的均值回歸策略并未仔細(xì)處理數(shù)據(jù)中的噪聲和離群值，利用L1-中位數(shù)預(yù)測(cè)下一期的股票價(jià)格，設(shè)計(jì)策略RMR。Cover 和Ordentlich 考慮到投資者往往會(huì)參考各種市場(chǎng)信息做出投資決策，提出邊信息的概念，并將邊信息引入U(xiǎn)P 策略。楊興雨等將邊信息引入到EG 策略中，提出EGS 策略，該策略將邊信息定義為一個(gè)符號(hào)引入模型中，但是并沒(méi)有對(duì)邊信息進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

在已有的研究中，考慮邊信息的在線投資組合模型僅認(rèn)為邊信息是與未來(lái)市場(chǎng)趨勢(shì)相關(guān)的信號(hào)因子，而缺乏對(duì)邊信息內(nèi)容的研究。本文利用移動(dòng)窗口歷史相對(duì)價(jià)格數(shù)據(jù)的L1-中位數(shù)預(yù)測(cè)股票市場(chǎng)的漲跌趨勢(shì)，將其作為邊信息引入基于線性學(xué)習(xí)函數(shù)的在線投資組合策略LFM 中，構(gòu)造基于L1-中位數(shù)邊信息的在線投資組合策略。

一、相關(guān)概念與記號(hào)

Cover 提出的在線投資組合選擇模型如下：假設(shè)有m 只股票可以進(jìn)行投資，總共有n 個(gè)投資期，即投資者需要在n 個(gè)投資期結(jié)束后得到最優(yōu)的最終累積收益。具體符號(hào)如下：xt=（xt，1，xt，2，L，xt，m）表示市場(chǎng)中的m 只股票在第t 個(gè)交易期的相對(duì)價(jià)格向量，其中xt，i表示第i 只股票在第t 個(gè)交易期的相對(duì)價(jià)格，相對(duì)價(jià)格是指當(dāng)期期末股票價(jià)格與上一期期末股票的比值（1≤t≤n，1≤i≤m）；整個(gè)投資期的相對(duì)價(jià)格向量序列為｛xt｝nt=1，簡(jiǎn)記為x1n；給定移動(dòng)窗口長(zhǎng)度w，離第t 個(gè)交易期最近的移動(dòng)窗口歷史相對(duì)價(jià)格數(shù)據(jù)為xtt--1w=（xt-w，xt-w+1，L，xt-1）；bt=（bt，1，bt，2，L，bt，m）表示投資者在第t 個(gè)交易期的投資比例，其中bt，i表示第t 個(gè)交易期投資于第 i 只股票的比例；投資比例構(gòu)成的集合記為△m=｛b=（b1，b2，L，投資組合策略，簡(jiǎn)記為b1n。

在第一期期初，一般采用將資金平均地分配于各項(xiàng)資產(chǎn)的方式，即b1=1/m·1，其中1 表示所有分量均為1 的m 維向量。隨后每一期期初，通過(guò)利用當(dāng)前持有的信息進(jìn)行投資決策。若第t 個(gè)交易期投資者采初始財(cái)富值。不失一般性，取S0=1。

下面介紹一個(gè)常用的基準(zhǔn)策略，即最優(yōu)定常再調(diào)整策略BCRP。如果投資者在每一期期初都采用相同的b 作為當(dāng)期的投資決策，則稱(chēng)為定常再調(diào)整策略CRP，使用該策略實(shí)現(xiàn)的最終累積收益的計(jì)算公式為定常再調(diào)整策略，記為b*，即：

由式（1）可知，BCRP 策略是一個(gè)事后策略，即只有在獲得整個(gè)投資期的相對(duì)價(jià)格序列后才能確定。該策略往往被選作基準(zhǔn)策略來(lái)衡量在線投資組合策略的優(yōu)劣。如果在線投資組合策略累積收益的平均對(duì)數(shù)增長(zhǎng)率漸近于BCRP 策略累積收益的平均對(duì)數(shù)增長(zhǎng)率，那么稱(chēng)該策略為泛證券投資組合策略。

在實(shí)際投資過(guò)程中，投資者往往會(huì)從市場(chǎng)中獲取許多的信息，利用信息輔助投資決策，這些信息稱(chēng)為邊信息，能夠幫助投資者實(shí)現(xiàn)較好的收益。將第t 個(gè)交易期的邊信息狀態(tài)記為yt，整個(gè)投資期的邊信息狀態(tài)構(gòu)成的序列為｛yt｝nt=1，簡(jiǎn)記為y1n。假設(shè)將市場(chǎng)狀態(tài)分為k 個(gè)邊信息狀態(tài)，則集合記為Y=｛1，2，L，k｝。策略決策過(guò)程：在第t 個(gè)交易期期初，首先得到當(dāng)期邊信息，識(shí)別邊信息狀態(tài)yt，再根據(jù)邊信息狀態(tài)做出相應(yīng)投資決策，該期投資比例記為b（tyt），則整個(gè)投資期投資比例向量構(gòu)成

二、策略設(shè)計(jì)

本節(jié)在基于線性學(xué)習(xí)函數(shù)的在線投資組合策略LFM 中引入反映市場(chǎng)情況的邊信息，設(shè)計(jì)基于L1-中位數(shù)邊信息的在線投資組合策略。首先，對(duì)LFM 策略進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。LFM 策略是基于線性學(xué)習(xí)函數(shù)bt+1，i=ct，ibt，i構(gòu)造的在線投資組合策略，ct，i為線性因子，再對(duì)投資比例進(jìn)行歸一化得到LFM 投資比例更新公式，即：

其中，ct，i為區(qū)間［eσxt，i/bt·xt，1+（eσ/bt·xt-1）xt，i］的中點(diǎn)，σ∈［0，1］為學(xué)習(xí)率。易知，該區(qū)間的右端點(diǎn)大于等于左端點(diǎn)，當(dāng)σ=0 時(shí)左右端點(diǎn)相等。LFM 策略的主要思想是根據(jù)股票當(dāng)前期的表現(xiàn)確定下一期的投資權(quán)重，在下一期賦予當(dāng)期表現(xiàn)較好的股票較大的權(quán)重。當(dāng)前期股票的表現(xiàn)越好，即相應(yīng)的相對(duì)價(jià)格xt，i越大，則區(qū)間的左右端點(diǎn)均越大，故區(qū)間的中點(diǎn)也越大，從而該股票權(quán)重越大。該策略可以實(shí)現(xiàn)較好的收益且計(jì)算復(fù)雜度低，為在線投資者提供一種更為簡(jiǎn)單實(shí)用的投資策略。

下面設(shè)計(jì)基于近期固定長(zhǎng)度移動(dòng)窗口的L1-中位數(shù)邊信息。首先，考慮到過(guò)去較長(zhǎng)時(shí)間的股票價(jià)格信息對(duì)當(dāng)前的投資決策影響較小，甚至可能會(huì)對(duì)當(dāng)前的決策造成干擾，本文在設(shè)計(jì)邊信息時(shí)只考慮近期數(shù)據(jù)，設(shè)置移動(dòng)窗口的長(zhǎng)度為w。然后，計(jì)算移動(dòng)窗口長(zhǎng)度為w 的歷史相對(duì)價(jià)格數(shù)據(jù)的L1-中位數(shù)，將其作為下一期相對(duì)價(jià)格的預(yù)測(cè)值，得到市場(chǎng)的預(yù)期漲跌趨勢(shì)，將該趨勢(shì)作為邊信息應(yīng)用于在線投資組合問(wèn)題中。移動(dòng)窗口長(zhǎng)度為w 的相對(duì)價(jià)格數(shù)據(jù)的L1-中位數(shù)是與它們的歐幾里得距離之和最小的向量，即：

其中，‖·‖表示歐幾里得范數(shù)。

本文利用Vardi 和Zhang 提出的改進(jìn)的Weiszfed 算法求解移動(dòng)窗口長(zhǎng)度為w 的歷史相對(duì)價(jià)格數(shù)據(jù)的L1-中位數(shù)。該算法通過(guò)迭代計(jì)算求解，迭代的具體過(guò)程為：

將每只股票近w 期相對(duì)價(jià)格中位數(shù)構(gòu)成的向量設(shè)置為迭代初始值，即 μ1=median（xt-w+1，xt-w+2，L，xt）。在迭代過(guò)程中，迭代 r 次得到 μr+1。設(shè)迭代容忍度為v，最大迭代次數(shù)為M。當(dāng)‖μr+1-μr‖≤ν‖μr‖或r=M+1 時(shí)，終止迭代，返回 μr+1。取 L1-中位數(shù) μ=μr+1，將該向量的均值作為反映市場(chǎng)情況的邊信息，即：

在第t+1 期期初，根據(jù)得到的λt+1確定邊信息狀態(tài)，即：

其中，p 為閾值參數(shù)，邊信息狀態(tài)集合為Y=｛1，2｝。投資者利用所獲得的邊信息狀態(tài)確定第t+1 期的投資比例。過(guò)去所有邊信息狀態(tài)與第 t+1 期相同的期數(shù)構(gòu)成的集合為｛τ∶τ≤t，yτ=yt+1｝。若該集合為空集，取bt+1（yt+1）=1/m·1；若該集合非空，則記s=max｛τ∶τ≤t，yτ=yt+1｝，第t+1 期的投資比例為：

其中，cs，i=（eσxs，i/bs·xs+1+（eσ/bs·xs-1）xs，i）/2，稱(chēng)該策略為基于L1-中位數(shù)邊信息的在線投資組合策略LFMS。

三、數(shù)值分析

本文采用真實(shí)股票價(jià)格數(shù)據(jù)對(duì)LFMS 策略進(jìn)行數(shù)值分析，檢驗(yàn)其在真實(shí)股票市場(chǎng)上的表現(xiàn)。

（一）數(shù)據(jù)來(lái)源與參數(shù)設(shè)置。本文的測(cè)試數(shù)據(jù)來(lái)自上海證券交易所（Shanghai Stock Exchange，SSE），具體的測(cè)試數(shù)據(jù)如表 1 所示，其中每只股票包含了從2006 年1 月1 日到2019 年12 月31 日的交易數(shù)據(jù)，共 3，404 個(gè)交易日。（表 1）

表1 股票組合名稱(chēng)一覽表

本文構(gòu)造的LFMS 策略的參數(shù)主要有學(xué)習(xí)率、移動(dòng)窗口長(zhǎng)度和閾值參數(shù)等，參數(shù)設(shè)置如下：學(xué)習(xí)率σ=0.01，移動(dòng)窗口長(zhǎng)度w=30，閾值參數(shù)p=1，最大迭代次數(shù)M=200，容忍度ν=10-9。

為了觀測(cè)策略LFMS 的表現(xiàn)，同時(shí)列出了以下策略在相同數(shù)據(jù)下的表現(xiàn)，包括離線策略 Market、BCRP、在線策略 UP、EG、LFM，上述策略中的參數(shù)按照原文獻(xiàn)進(jìn)行取值。

（二）策略表現(xiàn)分析。首先，觀察策略在不同股票組合中的最終累積收益表現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2 所示。為了便于觀察，表2 中淺色數(shù)據(jù)在每個(gè)股票組合中表現(xiàn)最好的兩個(gè)策略的最終累積收益?？梢钥闯?，在組合1、組合2、組合3 和組合4 中，策略LFMS 最終累積收益優(yōu)于所有的對(duì)比策略，在組合5 和組合6 中，策略的表現(xiàn)僅次于事后策略BCRP，說(shuō)明LFMS 策略在中國(guó)市場(chǎng)中具有較好的表現(xiàn)，且具有穩(wěn)健性，可以幫助投資者實(shí)現(xiàn)較好的收益。（表2）

表2 不同策略在6 個(gè)股票組合上的最終累積收益一覽表

為了進(jìn)一步說(shuō)明策略LFMS 的性能，下面比較其與BCRP、UP 和LFM 策略在不同股票組合上的逐日累積表現(xiàn)。圖1 給出它們?cè)诠善苯M合3 和組合6 上的逐日累積對(duì)數(shù)收益。可以看出，當(dāng)投資期數(shù)較少時(shí)，各策略表現(xiàn)接近，隨著投資期數(shù)的增加，策略LFMS 的優(yōu)勢(shì)逐漸顯現(xiàn)出來(lái)。LFMS 策略在股票組合中能夠穩(wěn)定地優(yōu)于UP、LFM 策略，且能夠追蹤BCRP 策略，進(jìn)一步說(shuō)明策略的性能好、穩(wěn)定性強(qiáng)。（圖1、圖2）

圖1 不同策略在組合3 上的逐日累積對(duì)數(shù)收益圖

圖2 不同策略在組合6 上的逐日累積對(duì)數(shù)收益圖

綜上，本文將移動(dòng)窗口歷史相對(duì)價(jià)格數(shù)據(jù)的L1-中位數(shù)作為反映市場(chǎng)情況的信號(hào)因子引入到基于線性學(xué)習(xí)函數(shù)的投資組合策略中，構(gòu)造基于L1-中位數(shù)邊信息的在線投資組合策略。采用實(shí)際股票數(shù)據(jù)對(duì)策略進(jìn)行數(shù)值分析，結(jié)果表明具有較好的性能。在后續(xù)的研究中將嘗試設(shè)計(jì)包含更多信息的信號(hào)因子，進(jìn)一步提高策略的表現(xiàn)。