基于PSO算法的磁偶極子陣列艦艇磁場模擬研究

侯希晨，孫玉東，吳江海

(中國船舶科學研究中心 船舶振動噪聲重點實驗室，江蘇 無錫214082)

0 引 言

現(xiàn)代艦艇的船體以及武器裝備等一般由鐵磁性物質(zhì)制造而成，鐵磁性物質(zhì)在磁場環(huán)境中將被磁化，在地磁場的磁化作用下，艦艇周邊會產(chǎn)生固定磁場與感應磁場。固定磁場是在艦艇建造過程中鐵磁性材料受到地磁場長期作用產(chǎn)生的長期磁特征，艦艇停泊時具備良好的測量與消磁條件可在航行前削弱固定磁場；感應磁場是在地磁場短期作用下產(chǎn)生的磁場增量，受艦艇航向與行駛海域等因素影響動態(tài)變化，僅能通過艦載消磁設備降低感應磁場。艦艇磁場是艦艇重要的暴露源，掌握艦艇磁場分布情況十分重要。

目前主要的艦艇磁場模擬方法有解析法、數(shù)值法等，其中數(shù)值法有邊界元法、積分方程法與有限元法等。由于艦艇型線與鐵磁物質(zhì)分布情況復雜，采用解析方法難以計算艦艇感應磁場。目前更為成熟的方法是利用敷設在船體下方某平面磁探頭陣列測量艦艇周邊的部分磁場，使用磁體模擬法反演出相應的磁體模型，進而通過深度換算得出艦艇周圍感應磁場分布情況。常用的磁體模擬法模型有：磁偶極子模型、旋轉(zhuǎn)橢球體模型、磁偶極子陣列模型、旋轉(zhuǎn)橢球體陣列模型、旋轉(zhuǎn)橢球體與磁偶極子陣列混合模型等。其中，磁偶極子陣列模型可通過設置磁偶極子的位置與磁矩實現(xiàn)對艦艇鐵磁性物質(zhì)分布特征的精確模擬，實現(xiàn)簡單且擬合效果理想，文獻[7 - 8]中分別將磁偶極子均勻分布在艦艇的吃水面與艦艇所處的橢球空間中上，但是依賴經(jīng)驗固定磁偶極子位置與數(shù)量，容易增大擬合誤差使得建模失敗。

目前，艦艇磁場在2.5倍船長距離外的全空間的一致性已經(jīng)過證明，艦艇的整體磁特征覆蓋了局部磁特征，艦艇遠場磁場可用單個磁偶極子進行模擬；近場磁場的模擬則采用磁偶極子陣列模型與旋轉(zhuǎn)橢球體模型等，能在一定精度內(nèi)反映鐵磁性物質(zhì)分布特征的模型。出于擬合精度與外推應用范圍需求以及淺水域水深、噪聲條件等因素的限制，磁探頭陣列距離船體較近。在這種測量環(huán)境下，艦艇的垂向非對稱結(jié)構(gòu)將引起在上、下方向等距平面上的磁場幅差異，進而影響數(shù)值模型的換算結(jié)果。在應對艦艇上方的航空磁探測時，需要量化非對稱結(jié)構(gòu)對艦艇磁場分布的影響。隨著智能優(yōu)化算法（退火算法、粒子群算法等）的進步，智能優(yōu)化算法廣泛應用于磁體模擬法模型參數(shù)的優(yōu)化中，逐步取代了以往依賴經(jīng)驗確定模擬體參數(shù)的方法。通過在一定限制條件下參照某一目標函數(shù)確定模擬體的位置與磁矩，得到理想的磁模型。其中，粒子群算法易于實現(xiàn)、全局與局部求解能力均衡且便于求解多維問題，在艦艇磁場建模中展現(xiàn)出優(yōu)越的性能。

為探究非對稱結(jié)構(gòu)艦艇上、下方感應磁場差異與衰減規(guī)律，本文使用某非對稱潛艇簡化模型在COMSOL Multiphysics環(huán)境下進行仿真實驗，對模型上、下方磁場幅值進行定量分析。進一步研究使用三維偶極子陣列模型對非對稱艦艇進行磁性建模，以均方根誤差為目標函數(shù)，依據(jù)艇模上、下方兩平面感應磁場數(shù)據(jù)，使用動態(tài)權重參數(shù)的PSO優(yōu)化算法計算獲得艦艇磁偶極子陣列模型，外推艦艇上、下方平面的磁場分布，并與艇模仿真結(jié)果進行分析比較。實驗結(jié)果表明，艇模上、下方感應磁場分布規(guī)律一致，但在單倍船長內(nèi)幅值差距較為顯著，若采用某單一近場平面進行磁場建模，在近場與遠場的磁場換算中均會帶來較大誤差。使用動態(tài)權重參數(shù)的PSO優(yōu)化算法獲得的三維磁偶極子陣列擬合與換算效果良好，能準確反映非對稱艦艇結(jié)構(gòu)的感應磁場分布規(guī)律。

1 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)源于鳥群的捕食行為研究。粒子群優(yōu)化算法的原理是通過群體中個體之間的協(xié)作與信息共享來尋找最優(yōu)解。粒子群算法通過設計一種粒子來模擬鳥群中的鳥，粒子僅具有速度和位置2個屬性，速度代表行進的快慢與方向，位置代表粒子當前所搜尋到的解。單個粒子在求解空間中單獨搜尋最優(yōu)解，并將其記為當前個體的最優(yōu)解。將個體最優(yōu)解與整個粒子群里的其他粒子共享，根據(jù)當前所有粒子的個體最優(yōu)解找到整個粒子群中的最優(yōu)最優(yōu)解作為當前全局最優(yōu)解。粒子群中的所有粒子根據(jù)各自的當前個體最優(yōu)解和整個粒子群的當前全局最優(yōu)解來調(diào)整自身的速度和位置，并添加一些隨機因素拓寬搜索范圍，不斷更新個體極值與全局最優(yōu)解，最終粒子群收斂于最佳位置。PSO算法的迭代公式如下：

式中：為慣性權重，和為學習因子，和為0～1之間的隨機數(shù)，和為個體最優(yōu)解與全局最優(yōu)解。

式（1）右側(cè)可分為3部分，第一部分代表粒子保持行進慣性，每個粒子在每一次的迭代中都將繼承上一次迭代中的一部分速度。第二部分代表粒子自身歷史最佳位置的影響，粒子根據(jù)在歷次迭代中獲得的最優(yōu)解調(diào)整粒子在當前迭代中的行進方向。第三部分代表粒子之間協(xié)同合作，根據(jù)整個粒子群在歷次迭代中的所得到全局最優(yōu)解調(diào)整粒子在當前迭代中的行進方向。3部分分量使得各個粒子有目的性地向可能存在相對最優(yōu)解的區(qū)域行進，隨著迭代次數(shù)的增加，各個粒子會收斂至最優(yōu)解附近。

通過改變慣性權重與學習因子的大小來決定粒子慣性、個體最優(yōu)解與全局最優(yōu)解對粒子行進方向的影響程 度。一 般，，取 固定 值。和兩 項 隨 機 數(shù)是為了在迭代中提供一定程度的擾動從而使得各個粒子在全局范圍內(nèi)向最優(yōu)解前進的同時保持一定的隨機性，提升搜索可能存在的更優(yōu)解的機率。

圖1 粒子群算法示意圖Fig. 1 Particle swarm optimization schematic

粒子群算法操作簡單，收斂速度快，具備多個粒子間的合作功能，作為非確定算法能有更多機會求解全局最優(yōu)解。粒子群算法在磁防護領域已經(jīng)有了較為成熟的應用，如用于確定磁體模擬法中模擬體的分布與磁矩以及艦載消磁系統(tǒng)固定繞組的分布與安匝數(shù)等。

2 艇模上、下方感應磁場定量分析

常見艦艇在兩舷側(cè)都具備良好的對稱性，在船長方向和垂直方向則常為非對稱形式，通常采用敷設在水底的磁探頭陣列測量沿舷側(cè)與船長方向的磁場分布特性，并通過該測量結(jié)果建立分布在某橢圓平面上的磁偶極子陣列，經(jīng)深度換算獲得其他目標平面的磁場分布。而這種建模方法僅在二維平面上進行，獲得的磁場關于建模平面對稱，反映的是艦艇的遠場磁特性，在近場磁場的模擬中無法反映垂向鐵磁性材料的分布特點。

在COMSOL Multiphysics環(huán)境中對某一潛艇簡化模型上、下方感應磁場的衰減與分布規(guī)律進行定量分析。潛艇簡化模型船長26 m，船體部分高為4 m，圍殼高出船體頂部1 m。船首部分為一個半徑為2 m的半球殼，船體中部為一個長為20 m的空心圓柱，尾部使用一個高為4 m，底面半徑為2 m，頂面半徑為1 m的圓臺殼體模擬，上述殼體的厚度均為0.2 m。圍殼為由半長軸為2 m，半短軸為1 m的橢圓拉伸而成的實心柱體，用以模擬潛艇垂向的非對稱因素。模型材料采用內(nèi)置材料庫中的鋼鐵材料，相對磁導率為4 000。地磁場設置為 5×10A/m，方向垂直向下。以潛艇簡化模型的感應磁場垂直分量為例，潛艇簡化模型與仿真測試結(jié)果如圖2所示。

圖2 簡化潛艇模型Fig. 2 Simplified submarine model

圖3 艇模上、下方單倍船長處平面磁感應強度Fig. 3 Magnetic induction intensity of plane at single length of the ship above and below the model

圖4 模型上、下方1.5倍船長處平面磁感應強度Fig. 4 Magnetic induction intensity of plane at 1.5 times the length of the ship above and below the model

可知，場點距離大于在1.5倍船長時，潛艇上、下方的感應磁場已經(jīng)十分接近，2.5倍船長距離外的磁場全空間一致性理論在僅考慮感應磁場時完全適用。在單倍船長處，磁感應強度最大相對誤差為6.26%，最大絕對誤差為 5.5×10T；而在0.5倍船長處，磁感應強度最大相對誤差達到21.3%，最大絕對誤差為3.6×10T。若在磁場建模過程中，僅采用艇下方某近場平面數(shù)據(jù)作為輸入?yún)?shù)，近場平面與艇距離越小，則由于艇垂向非對稱結(jié)構(gòu)帶來的誤差將越大，將大大降低艇磁場數(shù)值模型的精確度，也限制了深度換算方法的應用范圍。

圖5 模型上、下方2倍船長處平面磁感應強度Fig. 5 Magnetic induction intensity of plane at double length of the ship above and below the model

圖6 模型上、下方 z 分量磁感應強度Fig. 6 z component of magnetic induction intensity above and below the model

3 磁偶極子陣列模型優(yōu)化

潛艇的近場感應磁場可以用一系列磁偶極子進行模擬，隨著場點與船體距離的增加，潛艇感應磁場的局部特征逐漸被整體特征所覆蓋，使用的磁偶極子數(shù)量逐步減小，當場點與船體距離大于2.5倍船長時，艇感應磁場可以用一個磁偶極子來等效。位于原點的磁偶極子在某場點產(chǎn)生的三分量磁場為：

假設使用個磁偶極子來擬合艇感應磁場，各磁偶極子的位置為 (x,y,z)，艇在場點產(chǎn)生的感應磁場的垂向分量為H:

式中：，，為場點與磁偶極子的坐標差，為場點與磁偶極子的距離。

則個磁偶極子的系數(shù)矩陣為：

為進行對磁偶極子陣列參數(shù)的優(yōu)化，需要選擇目標函數(shù)作為優(yōu)化的參考。選用感應磁場垂向分量的均方根誤差作為目標函數(shù)，表達式如下：

式中：為磁場測量數(shù)據(jù)，為磁偶極子陣列系數(shù)矩陣，為磁矩向量。

均方根誤差作為目標函數(shù)直接對迭代過程中的擬合誤差進行優(yōu)化，使獲得的磁偶極子陣列在每個測量點擬合誤差達到最小值，優(yōu)先保證模型的擬合精度，在系數(shù)矩陣的維度低、測量誤差小且信噪比較高的情況下，能獲得較為理想的模型。

實驗中為了模擬艦艇鐵磁材料空間分布的非對稱性，以艇模的船長與船寬為橢圓的長軸與短軸，以此橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)橢球體，磁偶極子陣列分布于該旋轉(zhuǎn)橢球體中。

具體實驗采用艇上、下方0.5倍船長處兩平面感應磁場測量數(shù)據(jù)作為輸入?yún)?shù)換算單倍船長處兩平面的磁場分布情況。以均方根誤差為目標函數(shù)，對8個磁偶極子的位置與磁矩進行優(yōu)化計算獲得磁偶極子陣列模型，在COMSOL Multiphysics的磁場接口中建立磁偶極子陣列幾何模型，通過磁場數(shù)值仿真實現(xiàn)對目標平面的深度換算。PSO算法中初始參數(shù)為：最大迭代次數(shù)為200，粒子群數(shù)量為50，學習因子和為2，慣性權重則采取隨迭代次數(shù)變化的動態(tài)權重:

式中：為權重系數(shù)，為 當前迭代次數(shù)， T為最大迭代次數(shù)。

使用動態(tài)權重系數(shù)時，隨著迭代次數(shù)增加，局部搜索能力逐漸增強。在接近迭代末期的時候能保留一定的全局搜索能力，避免算法收斂于局部最優(yōu)解。提升了算法的尋優(yōu)能力。

均方根誤差隨迭代次數(shù)變化、磁偶極子分布情況、潛艇模型各平面測量數(shù)據(jù)、磁偶極子陣列模型換算情況如圖7所示。

圖7 均方根誤差的變化Fig. 7 The change in average square root error

圖8 磁偶極子分布情況Fig. 8 Distribution of magnetic dipoles

由圖7可知，在200次迭代后，擬合均方根誤差收斂至 2.5×10，模型擬合精度較高。重復求解得到的磁偶極子分布位置與磁矩不同，而均方根誤差能保持穩(wěn)定水平。磁偶極子陣列中旋轉(zhuǎn)橢球體中部位置的磁偶極子的磁矩相對較大，與潛艇模型中部位置鐵磁性物質(zhì)集中的圍殼對應，符合實際情況。

由圖9～圖12可知，由磁偶極子陣列模型根據(jù)0.5倍船長處平面數(shù)據(jù)換算得到的單倍船長平面上的感應磁場垂向分量分布規(guī)律與艇模測量數(shù)據(jù)一致，龍骨與左右舷側(cè)的測量線均呈一個半波，在相應圖像半波的波谷處可以明顯觀察到感應磁場幅值差異，有效地表征了艇模中鐵磁性材料的分布特點。由表1可知，3條測量線上的感應磁場換算誤差均能控制在5%以內(nèi)，模型換算精度較高。隨著場點與艇模距離的增加，上、下方感應磁場的幅值差的數(shù)量級將逐步遞減，直至可用單個磁偶極子進行模擬。

圖9 艇下方感應磁場測量情況Fig. 9 Measurements of the induced magnetic field below the submarine

圖10 艇上方感應磁場測量情況Fig. 10 Measurements of the induced magnetic field above the submarine

圖11 磁偶極子陣列下方感應磁場換算情況Fig. 11 Conversion of the induced magnetic field below the magnetic dipole array

圖12 磁偶極子陣列上方感應磁場換算情況Fig. 12 Conversion of the induced magnetic field above the magnetic dipole array

最后對擬合精度與磁偶極子數(shù)目的關系進行探究。隨著磁偶極子數(shù)目的增加，均方根誤差呈指數(shù)式下降。本次仿真實驗數(shù)據(jù)采用艇模上、下0.5倍船長處平面的共78個測量點數(shù)據(jù)。由于求解的磁偶極子三分量磁矩是3倍磁偶極子數(shù)目的列向量，在磁偶極子數(shù)目小于26時，矩陣的求解為一超定方程問題，精度隨著磁偶極子數(shù)目提升。當磁偶極子數(shù)目為26時，矩陣的求解為一定解方程問題，理論上不存在誤差，即為精確解。磁偶極子數(shù)目超過26時則為欠定方程問題，方程有無窮多組解。在定解與超定方程問題范圍內(nèi)，測量點與磁偶極子數(shù)量越多則擬合精度越高。

表1 艇上、下方單倍船長平面感應磁場 z 分量換算誤差Tab. 1 Conversion error of the induced magnetic field’sz component of plane at single length of the ship above and below the submarine

圖13 擬合精度與磁偶極子數(shù)目的關系Fig. 13 The relationship between the fitting accuracy and the number of magnetic dipoles

但由于系數(shù)矩陣復雜度的提高，對測量數(shù)據(jù)質(zhì)量敏感度上升，易出現(xiàn)過擬合問題使建模失敗。故需要通過正則化方法或逐步回歸方法對磁矩向量進行優(yōu)化，提升模型的魯棒性與穩(wěn)定性。

4 結(jié) 語

本文對鐵磁材料非對稱分布艦艇上、下方感應磁場分布規(guī)律進行定量分析，完善艦艇磁場全空間一致性理論。探究采用單個測量平面數(shù)據(jù)進行磁場建模方法存在的缺陷，并提出了依據(jù)艇上、下方等距近場平面磁場測量數(shù)據(jù)的三維磁偶極子陣列磁場模型，模型基于粒子群算法，以擬合均方根誤差為目標函數(shù)對含有磁偶極子位置參數(shù)的系數(shù)矩陣進行優(yōu)化得到最優(yōu)磁偶極子陣列。通過比對磁偶極子陣列模型深度換算平面上的換算結(jié)果與簡化模型仿真數(shù)據(jù)，驗證了該磁偶極子陣列模型的有效性與精確性。本文研究成果可應用于艦艇磁場的高精度建模，并為艦艇磁防護中磁場測量、磁性目標探測與定位等工作提供參考。