對(duì)“同心協(xié)力”最佳擊球策略問(wèn)題的分析與探討

李帥君，張亞鵬，陳金光

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000；2.鄭州工商學(xué)院 工學(xué)院，河南 鄭州 451400）

1 引言

1.1 研究背景

本文問(wèn)題背景來(lái)源于2019年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題[1]。

“同心鼓”是團(tuán)隊(duì)成員之間練習(xí)團(tuán)隊(duì)合作技能的拓展項(xiàng)目。該拓展項(xiàng)目是由一面牛皮雙面鼓構(gòu)成，由多根繩子固定于鼓身，繩子的固定點(diǎn)均勻分布于鼓身一周，并且每根繩子的長(zhǎng)度相同。每位團(tuán)隊(duì)成員拉一根繩子使得鼓面處于水平狀態(tài)。在項(xiàng)目開(kāi)始時(shí)，球由鼓面中心正上方豎直落下，團(tuán)隊(duì)成員相互協(xié)作將球顛起，維持其在鼓面上的彈動(dòng)。顛球期間，隊(duì)員的手只能抓在繩子的尾部，不允許觸碰鼓或繩子的其他部分。項(xiàng)目中使用排球的重量為270g。鼓的質(zhì)量為3.6kg，鼓身的高度為22cm，鼓面的直徑為40cm。其中隊(duì)員人數(shù)大于或等于8人，相鄰隊(duì)員之間的最短距離應(yīng)大于或等于60cm。項(xiàng)目由初始狀態(tài)開(kāi)始時(shí)，球由鼓面中心正上方40cm處豎直落下，球顛起后距離鼓面的高度應(yīng)大于或等于40cm，如果小于40cm，則此次項(xiàng)目結(jié)束[2]。該項(xiàng)目的研究目標(biāo)是團(tuán)隊(duì)成員相互合作保持盡可能多的連續(xù)顛球次數(shù)。

經(jīng)過(guò)閱讀相關(guān)資料后，目前關(guān)于對(duì)“同心協(xié)力”擊球策略問(wèn)題的研究較少，其中鄭學(xué)謙在參考文獻(xiàn)[1]中通過(guò)使用VC++進(jìn)行編程求解，運(yùn)用相關(guān)參數(shù)關(guān)系表達(dá)式構(gòu)建鼓的運(yùn)動(dòng)模型，給出了鼓面在彈力一致且均勻的情況下，隊(duì)員在發(fā)力出現(xiàn)誤差時(shí)的最優(yōu)調(diào)整策略。毛紫陽(yáng)在參考文獻(xiàn)[2]中通過(guò)微分方程和慣量矩陣建立了鼓面傾斜模型，討論了在最小的力或最少的做功條件下的最優(yōu)策略，給出了隊(duì)員用力出現(xiàn)誤差時(shí)對(duì)鼓的影響與鼓面傾斜時(shí)精確的調(diào)整方案。本文通過(guò)建立排球和鼓的物理模型，對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行受力分析和力的合成，建立排球與鼓之間的功能關(guān)系，使用動(dòng)量定理和沖量表達(dá)式，分析排球與鼓在發(fā)生碰撞前后的運(yùn)動(dòng)情況并對(duì)得到的數(shù)據(jù)，最終給出在不同狀態(tài)下使排球顛球次數(shù)最多的最佳擊球策略。

1.2 問(wèn)題要求

（1）在理想狀態(tài)下，每位團(tuán)隊(duì)成員都可以準(zhǔn)確控制其自身的用力方向、時(shí)機(jī)和力度，嘗試討論團(tuán)隊(duì)成員之間的最佳協(xié)作策略，并得出此類策略下保持顛球的高度[2]。

（2）在實(shí)際情形中，每位團(tuán)隊(duì)成員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度是有缺陷的，不可能做到完全的精確控制，存在一定誤差，最終可能會(huì)導(dǎo)致鼓面出現(xiàn)傾斜的狀態(tài)。假設(shè)隊(duì)員人數(shù)為8人，繩子的長(zhǎng)度為1.7m，鼓面初始時(shí)刻的狀態(tài)是水平靜止的，初始位置的高度比繩子水平時(shí)的高度下降了11cm，表1中給出了每位團(tuán)隊(duì)成員的不同發(fā)力時(shí)機(jī)和力度，計(jì)算0.1s時(shí)鼓面的傾斜角度[2]。

表1 發(fā)力時(shí)機(jī)（單位：s）和用力大小（單位：N）取值

（3）當(dāng)鼓面發(fā)生傾斜時(shí)，球彈起的方向不再豎直，于是需要團(tuán)隊(duì)成員調(diào)整各自的拉繩方式。假設(shè)人數(shù)為10人，繩長(zhǎng)為2m，球的彈起高度為60cm，相對(duì)于豎直方向產(chǎn)生1°的傾斜角，并且傾斜的方向在水平面上的投影指向某兩位團(tuán)隊(duì)成員之間，與這兩位團(tuán)隊(duì)成員之間所產(chǎn)生的夾角比例為1:2。為了將球改變?yōu)樨Q直方向的彈跳狀態(tài)，給出在能夠精確控制的條件下每位團(tuán)隊(duì)成員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度[2]。

2 模型假設(shè)與理論基礎(chǔ)

根據(jù)問(wèn)題所提出的在不同運(yùn)動(dòng)環(huán)境下分析鼓與球在指定時(shí)間內(nèi)的狀態(tài)，做出如下假設(shè)：

（1）假設(shè)1：人靜止不動(dòng)。

（2）假設(shè)2：球不受空氣阻力，與鼓接觸面的摩擦力和彈力。

（3）假設(shè)3：?jiǎn)栴}(2)中的兩人為質(zhì)點(diǎn)。

基于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、牛頓第二定律、受力分析、力的合成與分解、功能關(guān)系、動(dòng)量定理和沖量表達(dá)式等基本定理，對(duì)排球和牛皮雙面鼓的物理運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行分析和計(jì)算，將最終得出的結(jié)果加以討論，解決上述最佳協(xié)作策略問(wèn)題，得出最優(yōu)擊球策略。文中使用的部分公式符號(hào)說(shuō)明如表2所示：

表2 符號(hào)說(shuō)明

符號(hào) 說(shuō) 明h2 排球末位置的高度（相對(duì)于地面）d 每位隊(duì)員發(fā)力為80N時(shí)所抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓之間的豎直高度差d0 牛皮雙面鼓處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中的任一位置與每位隊(duì)員抓住繩子末端位置的豎直高度差d' 每位隊(duì)員發(fā)力為90N時(shí)所抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓之間的豎直高度差FN 每位團(tuán)隊(duì)成員對(duì)繩子所施加的拉力F合 在某個(gè)簡(jiǎn)化的單一方向上的合力W d-d'到d所做的功I排球下落速度與牛皮雙面鼓上升速度的沖量v1 排球初始位置的速度v2 排球末位置的速度v3 排球與牛皮雙面鼓發(fā)生碰撞后排球的瞬時(shí)速度v4 排球與牛皮雙面鼓發(fā)生碰撞后牛皮雙面鼓的瞬時(shí)速度V2 牛皮雙面鼓在d-d'到d之間運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度V3 排球與牛皮雙面鼓發(fā)生碰撞前排球的瞬時(shí)速度V4 排球與牛皮雙面鼓發(fā)生碰撞前牛皮雙面鼓的瞬時(shí)速度α每位相鄰團(tuán)隊(duì)成員所拉的繩子之間的夾角

3 問(wèn)題分析

3.1 理想狀態(tài)下鼓與球的運(yùn)動(dòng)情況

要研究團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作策略，首先要清楚地分析出排球和鼓的運(yùn)動(dòng)（受力）情況。在理想狀態(tài)下，不計(jì)空氣阻力和排球與鼓面發(fā)生碰撞時(shí)所產(chǎn)生的摩擦力和彈力，并假設(shè)團(tuán)隊(duì)成員有8人，繩子長(zhǎng)度為1.7m。球從鼓面中心正上方40cm處豎直落下進(jìn)行自由落體運(yùn)動(dòng)（只受重力），鼓在受到人的拉力后上移，碰撞時(shí)產(chǎn)生的相互作用力促使球向上移動(dòng)。而當(dāng)隊(duì)員們拉鼓，鼓與球碰撞結(jié)束后，使得球能夠有最大的初始速度，這樣一定會(huì)使得球被顛起的高度大于40cm，換言之便是實(shí)現(xiàn)盡可能多的連續(xù)顛球次數(shù)。由于問(wèn)題涉及到力的方向、時(shí)機(jī)和力度，所以使用控制變量法轉(zhuǎn)換變量來(lái)討論最佳擊球時(shí)機(jī)，將三維問(wèn)題降級(jí)轉(zhuǎn)換為二維問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決。

3.2 隊(duì)員發(fā)力存在失誤時(shí)鼓面的傾斜狀態(tài)

通過(guò)表1中列出的每位團(tuán)隊(duì)成員不同的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度，計(jì)算在0.1s時(shí)鼓面所產(chǎn)生的傾角。實(shí)際上是通過(guò)對(duì)鼓在不同狀態(tài)下的受力分析（力的合成與分解），從而計(jì)算出牛皮雙面鼓鼓面的傾斜角度。假設(shè)人為質(zhì)點(diǎn)，已知鼓面的初始狀態(tài)是水平靜止的，此時(shí)鼓身周圍的拉力將會(huì)處在一個(gè)保持平衡的狀態(tài)。通過(guò)力的合成與分解，先統(tǒng)一每個(gè)力都相同，對(duì)俯視圖中鼓受到的力進(jìn)行分析，再將鼓受到的力合成豎直平面內(nèi)的兩個(gè)力，分別計(jì)算這兩個(gè)拉力與水平方向的夾角。當(dāng)拉鼓時(shí)的一個(gè)力發(fā)生變化，使用與平衡時(shí)的相同方法進(jìn)行分析，計(jì)算出拉力和水平面的夾角后進(jìn)而可計(jì)算出鼓的傾角。

3.3 球的彈跳發(fā)生偏移時(shí)球在鼓面的碰撞位置

當(dāng)鼓面發(fā)生傾斜時(shí)，球的落點(diǎn)就會(huì)發(fā)生偏移而不會(huì)處于鼓面中心，以及鼓面傾斜的角度與隊(duì)員拉繩子的力成反比。此時(shí)就需要隊(duì)員調(diào)整拉繩的策略和隊(duì)員的用力方向與力度。如果需要將球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)調(diào)整為豎直的彈跳狀態(tài)，需要團(tuán)隊(duì)成員調(diào)整鼓的位置使球與鼓面中心發(fā)生碰撞。當(dāng)團(tuán)隊(duì)成員進(jìn)行移動(dòng)或發(fā)力去改變鼓的位置以及鼓面的平衡狀態(tài)時(shí)，同時(shí)要考慮團(tuán)隊(duì)成員的移動(dòng)速度和發(fā)力時(shí)機(jī)。當(dāng)所有因素考慮周全且接近于最佳時(shí)，球最終將會(huì)在鼓面上豎直彈跳。

4 模型的建立與求解

4.1 理想狀態(tài)下的最佳擊球時(shí)機(jī)

4.1.1 定義最佳擊球時(shí)機(jī)

當(dāng)排球與鼓的碰撞過(guò)程完成后，如果排球獲得了較大的上升速度，也就是說(shuō)，在排球與牛皮雙面鼓碰撞時(shí)排球能夠獲得最大的能量，由簡(jiǎn)單的物理原理，我們可以確定出排球在獲取的能量最大時(shí)所上升的距離將成為排球可上升的最高高度。因?yàn)椴煌呐鲎矔r(shí)機(jī)會(huì)影響排球的上升高度，所以牛皮雙面鼓的鼓面和排球沖量的改變也不同，由圖1所示我們可以考慮牛皮雙面鼓的鼓面和排球的碰撞關(guān)系。

4.1.2 分析理想狀態(tài)下使得排球彈回至最大高度的碰撞時(shí)刻

圖1中，由項(xiàng)目初始狀態(tài)開(kāi)始釋放排球時(shí)，排球由鼓面中心正上方h=29cm處由靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始豎直落下，假設(shè)排球的初末位置距離地面的高度分別為h1、h2，排球初末位置的速度分別為v1、v2。重力加速度為g，排球的質(zhì)量為m，牛皮雙面鼓的質(zhì)量為M，牛皮雙面鼓鼓面的彈性系數(shù)μ=0，根據(jù)動(dòng)能守恒定律的表達(dá)式：

由式(1)可得排球在距離牛皮雙面鼓鼓面的高度為h=h2-h1處的瞬時(shí)速度為：

同理可得知排球由牛皮雙面鼓鼓面中心正上方h2=40cm處由靜止開(kāi)始豎直落下時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，到第t時(shí)刻排球的瞬時(shí)速度：

又因?yàn)樵陧?xiàng)目開(kāi)始之前需要每位隊(duì)員用力拉繩使牛皮雙面鼓保持靜止?fàn)顟B(tài)。假設(shè)團(tuán)隊(duì)成員人數(shù)x=8人，繩子長(zhǎng)度l=1.7m，每位隊(duì)員抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓中心的豎直高度差為d（規(guī)定牛皮雙面鼓中心高于每位隊(duì)員抓繩子末端位置為正，低于每位隊(duì)員抓繩子末端位置為負(fù)），每位隊(duì)員對(duì)繩子所施加的力FN=80N，每位隊(duì)員拉的繩子之間的夾角為α。故牛皮雙面鼓在項(xiàng)目開(kāi)始之前處于靜止?fàn)顟B(tài)下的受力情況俯視圖如圖2所示，側(cè)視圖如圖3所示（視牛皮雙面鼓為質(zhì)點(diǎn)）：

圖2 靜止?fàn)顟B(tài)下的受力情況俯視圖

圖3 靜止?fàn)顟B(tài)下的合力受力情況側(cè)視圖

并且滿足：

每位隊(duì)員抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓中心的豎直高度差：

牛皮雙面鼓靜止時(shí)繩子與水平面之間的夾角（F合為四位隊(duì)員單側(cè)方向的合力）：

項(xiàng)目由初始狀態(tài)開(kāi)始釋放排球時(shí)，排球由鼓面中心正上方h2=40cm處由靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始豎直落下，且每位隊(duì)員需要在各自作用力的方向上施加力的大小使牛皮雙面鼓上升，并使牛皮雙面鼓產(chǎn)生了豎直方向向上的加速度。假設(shè)當(dāng)每位員對(duì)繩子所施加的力為F'N=90N時(shí)，且當(dāng)牛皮雙面鼓靜止時(shí)，兩側(cè)隊(duì)員的合力大小為：

F'N=90N時(shí)每位隊(duì)員抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓中心的豎直高度差d'為：

F'N=90N時(shí)牛皮雙面鼓靜止時(shí)繩子與水平面的夾角（F'合為四位隊(duì)員單側(cè)方向的合力）：

假設(shè)隊(duì)員在排球下落時(shí)拉繩的力由FN=90N瞬間變?yōu)镕'N=90N的過(guò)程中，牛皮雙面鼓在豎直方向向上做加速度逐漸減小的變加速運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)F'N=90N時(shí)牛皮雙面鼓在-d處豎直向上運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)加速度為：

當(dāng)牛皮雙面鼓豎直方向向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，牛皮雙面鼓在繩子的作用下做加速度逐漸減小的變加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)牛皮雙面鼓與每位隊(duì)員抓繩子末端位置的高度差為d-d'時(shí)，牛皮雙面鼓將做勻減速運(yùn)動(dòng)。故排球在牛皮雙面鼓與每位隊(duì)員抓繩子末端位置的高度差為d-d'到d之間與排球發(fā)生碰撞可使排球吸收的能量最大。牛皮雙面鼓在d-d'到d之間運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為V2。設(shè)牛皮雙面鼓處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中的任一位置與每位隊(duì)員抓繩子末端的位置的豎直高度差為d0，可得出牛皮雙面鼓在d-d'到d之間的功能關(guān)系：

當(dāng)排球向下運(yùn)動(dòng)，且牛皮雙面鼓向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，排球下落速度與牛皮雙面鼓上升速度的沖量值最大時(shí)，排球向上彈回的速度最大。設(shè)排球與牛皮雙面鼓碰撞前的瞬時(shí)速度分別為v3，v4，排球與牛皮雙面鼓碰撞后的瞬時(shí)速度分別為v'3，v'4。根據(jù)動(dòng)量定理：

得出動(dòng)量定理表達(dá)式：

根據(jù)動(dòng)能守恒定律表達(dá)式：

動(dòng)量定理表達(dá)式與動(dòng)能守恒定律表達(dá)式聯(lián)立，推導(dǎo)得：

進(jìn)而與設(shè)定數(shù)據(jù)替換：

設(shè)牛皮雙面鼓豎直向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tp，假設(shè)隊(duì)員在排球下落時(shí)拉繩的力由FN=80N變?yōu)镕'N=90N的過(guò)程中在t'時(shí)刻所用的力為FN0，由做功關(guān)系式：

可以得出隊(duì)員在排球下落時(shí)拉繩的力由FN=80N逐漸變?yōu)镕N0的過(guò)程中的平均作用力：

將式(13)、式(26)聯(lián)立，可以得出牛皮雙面鼓向上運(yùn)動(dòng)時(shí)在瞬時(shí)速度為V4時(shí)的時(shí)間t'p：

代入得：

當(dāng)排球與牛皮雙面鼓碰撞后的瞬時(shí)速度v'3最大時(shí)，碰撞的時(shí)刻即為該團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作時(shí)間。即可確定v3的最佳值，假設(shè)排球由項(xiàng)目開(kāi)始時(shí)速度由v0開(kāi)始計(jì)時(shí)到v3時(shí)的時(shí)刻為tq，代入式(3)得：

可推導(dǎo)出：

即當(dāng)排球發(fā)出時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，每位隊(duì)員在排球發(fā)出后tq-t'p時(shí)刻同時(shí)增加力的大小拉動(dòng)繩子可使排球彈回到最高點(diǎn)。當(dāng)排球以v'3的速度彈回時(shí)，排球的顛球高度為最高。由速度-位移公式：

代入對(duì)應(yīng)變量可得顛球高度H：

代入式(21)得：

得出由排球發(fā)出時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，每位隊(duì)員在排球發(fā)出后的tq-t'p時(shí)刻同時(shí)增加力的大小拉動(dòng)繩子可使排球彈到最高點(diǎn)H處。

4.1.3 實(shí)現(xiàn)最多的顛球次數(shù)的最佳協(xié)作策略

綜合對(duì)排球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、牛皮雙面鼓的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、牛皮雙面鼓的鼓面與排球的碰撞關(guān)系進(jìn)行分析，由鼓面處于最佳速度時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)得出排球與鼓面的最佳碰撞時(shí)刻t'p（如圖4中所示），即為在理想狀態(tài)下每位隊(duì)員同時(shí)在tq-t'p時(shí)刻拉繩使得鼓面向上的速度最大時(shí)與排球碰撞后，排球彈回至最大高度以獲得更大的重力勢(shì)能來(lái)實(shí)現(xiàn)盡可能多的顛球次數(shù)。

圖4 理想狀態(tài)下牛皮雙面鼓在一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖像

4.2 現(xiàn)實(shí)情形中隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與某一特定時(shí)刻鼓面傾斜角度的關(guān)系

4.2.1 初始時(shí)刻鼓的狀態(tài)

由于在項(xiàng)目開(kāi)始前牛皮雙面鼓的受力不會(huì)發(fā)生變化，且團(tuán)隊(duì)成員人數(shù)x=8，繩子長(zhǎng)度l=1.7m，每位隊(duì)員抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓的豎直高度差d'=11cm，假設(shè)隊(duì)員之間的距離均勻分布并且每位隊(duì)員在項(xiàng)目開(kāi)始之前對(duì)繩子所施加的力為FN=80N，則在初始時(shí)刻牛皮雙面鼓受力均勻，同時(shí)鼓面處于水平靜止?fàn)顟B(tài)。

4.2.2 特定時(shí)刻鼓面傾斜角度的論證

在項(xiàng)目開(kāi)始時(shí)，每位隊(duì)員各自保持恒定的發(fā)力方向拉繩使得鼓面具有向上的加速度，拉繩期間隊(duì)員在對(duì)發(fā)力時(shí)機(jī)或發(fā)力大小的控制出現(xiàn)失誤便會(huì)導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜，并且鼓面的傾斜角度的大小因發(fā)力時(shí)機(jī)和每位隊(duì)員所產(chǎn)生作用力大小的不同而受到不同程度的影響。由表1中的數(shù)據(jù)做如下分析：

Step1序號(hào)1求解

由式(4)的論證可知隊(duì)員之間的夾角的為：

由式(5)的論證可知單側(cè)隊(duì)員的合力為：

由式(7)的論證可得出在項(xiàng)目開(kāi)始之前牛皮雙面鼓靜止時(shí)繩子與水平面方向的夾角：

當(dāng)其中一位隊(duì)員在同一時(shí)刻內(nèi)用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜，需要對(duì)鼓的受力情況進(jìn)行重新分析，如圖5所示。

圖5 一位隊(duì)員用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC方向升高并傾斜，對(duì)力進(jìn)行分析的合力側(cè)視圖如圖6所示：

圖6 一位隊(duì)員用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當(dāng)F合2cosβ'=F合cosθ'且F合2sinβ'+F合sinθ'=G時(shí)，鼓將會(huì)恢復(fù)平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設(shè)鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計(jì)算當(dāng)有一位隊(duì)員用力過(guò)大時(shí)鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時(shí)鼓面傾斜方向?yàn)橄蛴昧^(guò)大的隊(duì)員方向向上傾斜。

Step2序號(hào)2求解

當(dāng)其中兩位相鄰位置隊(duì)員在同一時(shí)刻內(nèi)用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜，需對(duì)鼓的受力情況進(jìn)行重新分析，如圖7所示：

圖7 兩位相鄰隊(duì)員用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向F合2方向升高并傾斜，對(duì)力進(jìn)行分析的合力側(cè)視圖如圖8所示：

圖8 兩位相鄰隊(duì)員用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當(dāng)F合4cosβ'=F合3cosθ'且F合4cosβ'+F合3sinθ'=G時(shí)，鼓將會(huì)恢復(fù)平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設(shè)鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計(jì)算當(dāng)有一位隊(duì)員用力過(guò)大時(shí)鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時(shí)鼓面傾斜方向?yàn)橄蛴昧^(guò)大的兩位隊(duì)員角平分線方向向上傾斜。

Step3序號(hào)3求解

當(dāng)其中兩位間二位隊(duì)員在同一時(shí)刻內(nèi)用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜，需對(duì)鼓的受力情況進(jìn)行重新分析，如圖9所示：

圖9 兩位間二位隊(duì)員用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC與F'NC夾角的角平分線方向升高并傾斜，對(duì)力進(jìn)行分析的合力側(cè)視圖如圖10所示。

圖10 兩位間二位隊(duì)員用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當(dāng)F合6cosβ'=F合5cosθ'且F合6sinβ'+F合5sinθ'=G時(shí)，鼓將會(huì)恢復(fù)平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設(shè)鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計(jì)算當(dāng)有一位隊(duì)員用力過(guò)大時(shí)鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時(shí)鼓面傾斜方向?yàn)橄騼晌魂?duì)員夾角的角平分線方向向上傾斜。

Step4序號(hào)4求解

當(dāng)其中一位隊(duì)員在比正常情況下提前0.1s發(fā)出80N的力導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜，需對(duì)鼓的受力情況進(jìn)行重新分析，如圖11所示：

圖11 一位隊(duì)員提前0.1發(fā)出80N的力導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC方向降低并傾斜，對(duì)力進(jìn)行分析的合力側(cè)視圖如圖12所示。

圖12 一位隊(duì)員提前0.1s發(fā)出80N的力導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當(dāng)F合8cosβ'=F合7cosθ'且F合8sinβ'+F合7sinθ'=G時(shí)，鼓將會(huì)恢復(fù)平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設(shè)鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計(jì)算當(dāng)有一位隊(duì)員用力過(guò)大時(shí)鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時(shí)鼓面傾斜方向?yàn)橄蛱崆俺隽Φ年?duì)員方向向上傾斜。

Step5序號(hào)5求解

當(dāng)其中兩位相鄰隊(duì)員在比正常情況下提前0.1s發(fā)出80N的力導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜，需對(duì)鼓的受力情況進(jìn)行重新分析，如圖13所示：

圖13 兩位相鄰隊(duì)員提前0.1發(fā)出80N的力導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC方向降低并傾斜，對(duì)力進(jìn)行分析的合力側(cè)視圖如圖14所示：由受力分析圖可得：

圖14 兩位相鄰隊(duì)員提前0.1s發(fā)出80N的力導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

當(dāng)F合10cosβ'=F合9cosθ'且F合10cosβ'+F合9sinθ'=G時(shí)，鼓將會(huì)恢復(fù)平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設(shè)鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計(jì)算當(dāng)有一位隊(duì)員用力過(guò)大時(shí)鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時(shí)鼓面傾斜方向?yàn)橄蛱崆俺隽Φ年?duì)員方向向上傾斜。

Step6序號(hào)6求解

當(dāng)其中兩位間二位隊(duì)員在比正常情況下提前0.1s發(fā)出80N的力導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜，需對(duì)鼓的受力情況進(jìn)行重新分析，如圖15所示：

圖15 兩位間二位隊(duì)員提前0.1s發(fā)出80N的力導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC與F'NC夾角的角平分線方向升高并傾斜，對(duì)力進(jìn)行分析的合力側(cè)視圖如圖16所示：

圖16 兩位間二位隊(duì)員比正常提前0.1s發(fā)出80N的力導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當(dāng)F合12cosβ'=F合11cosθ'且F合12sinβ'+F合11sinθ'=G時(shí)，鼓將會(huì)恢復(fù)平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設(shè)鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計(jì)算當(dāng)有一位隊(duì)員用力過(guò)大時(shí)鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時(shí)鼓面傾斜方向?yàn)橄蛱崆俺隽Φ膬晌婚g二位隊(duì)員夾角的角平分線方向向上傾斜。

Step7序號(hào)7求解

當(dāng)其中一位隊(duì)員在比正常情況下提前0.1s且用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜，需對(duì)鼓的受力情況進(jìn)行重新分析，如圖17所示：

圖17 一位隊(duì)員提前0.1s發(fā)出90N的力導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC方向升高并傾斜，對(duì)力進(jìn)行分析的合力側(cè)視圖如圖18所示：

圖18 一位隊(duì)員提前0.1s發(fā)出90N的力導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當(dāng)F合14cosβ'=F合13cosθ'且F合14sinβ'+F合13sinθ'=G時(shí)，鼓將會(huì)恢復(fù)平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設(shè)鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計(jì)算當(dāng)有一位隊(duì)員用力過(guò)大時(shí)鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時(shí)鼓面傾斜方向?yàn)橄蛴昧^(guò)大的隊(duì)員方向向上傾斜。

Step8序號(hào)8求解

當(dāng)其中兩位間二位隊(duì)員在比正常情況下提前0.1s且與之交叉相鄰的其他兩位隊(duì)員在比正常情況下用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜，需對(duì)鼓的受力情況進(jìn)行重新分析，如圖19所示：

圖19 兩位隊(duì)員提前0.1s用力且交叉相鄰的兩位隊(duì)員增加10N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向F合16方向升高并傾斜，對(duì)力進(jìn)行分析的合力側(cè)視圖如圖20所示：

圖20 兩位隊(duì)員提前0.1s用力且交叉相鄰的兩位隊(duì)員增加10N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當(dāng)F合16cosβ'=F合15cosθ'且F合16sinβ'+F合15sinθ'=G時(shí)，鼓將會(huì)恢復(fù)平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設(shè)鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計(jì)算當(dāng)有一位隊(duì)員用力過(guò)大時(shí)鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時(shí)鼓面傾斜方向?yàn)橄驗(yàn)橄騀合16方向向上傾斜。

Step9序號(hào)9求解

當(dāng)其中兩位間二位隊(duì)員在比正常情況下提前0.1s且與之對(duì)向相鄰的其他兩位隊(duì)員在比正常情況下用力過(guò)大至FN=90N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜，需對(duì)鼓的受力情況進(jìn)行重新分析，如圖21所示：

圖21 兩位隊(duì)員提前0.1s用力且對(duì)向相鄰的其他兩位隊(duì)員增加10N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向F合16方向升高并傾斜，合力側(cè)視圖對(duì)力進(jìn)行分析如圖22所示：

圖22 兩位隊(duì)員比正常提前0.1s用力且對(duì)向相鄰的其他兩位隊(duì)員增加10N導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當(dāng)F合17cosβ'=F合18cosθ'且F合17cosβ'+F合18sinθ'=G時(shí)，鼓將會(huì)恢復(fù)平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設(shè)鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計(jì)算當(dāng)有一位隊(duì)員用力過(guò)大時(shí)鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時(shí)鼓面傾斜方向?yàn)橄騀合17方向向上傾斜。

4.2.3 使得鼓面傾斜角度最小的論證結(jié)果

通過(guò)上述計(jì)算及論證得出的結(jié)果，在實(shí)際情形中每位團(tuán)隊(duì)成員在不同的發(fā)力時(shí)機(jī)和發(fā)力大小情況下所得出的鼓面傾角如表3所示。

由表3中得出鼓面傾角的數(shù)據(jù)和圖23中的3D顏色映射曲面圖可知，在現(xiàn)實(shí)情形中團(tuán)隊(duì)成員對(duì)繩子的控制存在一定誤差導(dǎo)致鼓面出現(xiàn)傾斜狀態(tài)時(shí)，當(dāng)所有隊(duì)員同時(shí)發(fā)力并且僅有兩位相鄰隊(duì)員增加10N的力時(shí)，鼓面產(chǎn)生的傾斜角度最小。

表3 發(fā)力時(shí)機(jī)（單位：s）和用力大?。▎挝唬篘）取值得出的鼓面傾角

圖23 鼓面傾斜角度與不同隊(duì)員個(gè)數(shù)出現(xiàn)誤差情況時(shí)的3D顏色映射曲面圖

4.3 鼓在傾斜狀態(tài)下調(diào)整鼓使球保持豎直彈跳狀態(tài)的策略

4.3.1 排球的彈跳方向發(fā)生偏移后鼓的調(diào)整策略

當(dāng)鼓面產(chǎn)生傾斜狀態(tài)時(shí)，排球與鼓面發(fā)生碰撞后，排球的跳動(dòng)方向發(fā)生偏移，需要每位隊(duì)員協(xié)作對(duì)各自的力進(jìn)行調(diào)整，從而使排球與豎直方向產(chǎn)生夾角。假設(shè)參加該項(xiàng)目的團(tuán)隊(duì)成員一共有10人，繩子的長(zhǎng)度為2m，排球與鼓面發(fā)生碰撞后所反彈的高度為60cm，同時(shí)產(chǎn)生相對(duì)于豎直方向偏移1°的傾斜角。通過(guò)隊(duì)員對(duì)各自的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度進(jìn)行控制使鼓面具有與球運(yùn)動(dòng)方向相反的偏移方向、讓鼓面中心與排球發(fā)生碰撞，實(shí)現(xiàn)使排球逐漸趨于豎直的彈跳狀態(tài)最終達(dá)到穩(wěn)定豎直向上彈的效果。

4.3.2 尋找排球與鼓面的位置關(guān)系

在排球與鼓面發(fā)生碰撞后，排球反彈高度為60cm時(shí)排球與鼓面之間的關(guān)系如圖24所示。

由圖24可知，當(dāng)排球彈回后需調(diào)整鼓的位置與角度，需要兩名隊(duì)員施力移動(dòng)牛皮雙面鼓至排球豎直下落中心，使得排球可以獲得最大的彈回速度。

圖24 發(fā)生碰撞后排球高度為60cm時(shí)排球與鼓面之間的關(guān)系圖

4.3.3 鼓面的最佳擊球位置

依據(jù)對(duì)牛皮雙面鼓鼓面的彈力示意圖可以得出排球下落時(shí)與鼓面發(fā)生碰撞的最佳位置，如圖25所示（顏色越淺表示的彈力越大，即為排球與鼓面的最佳碰撞位置）：

圖25 牛皮雙面鼓鼓面彈力示意圖

當(dāng)牛皮雙面鼓與排球發(fā)生碰撞前，牛皮雙面鼓在隊(duì)員的共同作用力下使得鼓面中心與排球發(fā)生碰撞時(shí)使排球產(chǎn)生最佳上彈速度，同時(shí)鼓面向與排球相反的傾斜方向進(jìn)行傾斜可使得排球逐漸趨向于豎直彈跳的狀態(tài)，最終達(dá)到穩(wěn)定豎直方向彈跳的效果。

5 總結(jié)

通過(guò)對(duì)排球與鼓面發(fā)生碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析，運(yùn)用基礎(chǔ)力學(xué)與能量動(dòng)力學(xué)知識(shí)，得出在理想狀態(tài)下控制牛皮雙面鼓使排球與鼓面發(fā)生碰撞后，產(chǎn)生最佳彈起角度與高度，以此得出對(duì)應(yīng)的拉繩時(shí)間以獲得最大顛球次數(shù)。同時(shí)討論了現(xiàn)實(shí)情況下，因隊(duì)員發(fā)力大小和發(fā)力時(shí)機(jī)出現(xiàn)失誤時(shí)，使鼓面傾角迅速恢復(fù)至最小的協(xié)作方法，由此使排球的彈跳狀態(tài)快速恢復(fù)到豎直彈跳狀態(tài)，最終實(shí)現(xiàn)最多的擊球次數(shù)。