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    重磁三維數(shù)據(jù)的模糊聚類聯(lián)合快速反演

    2021-08-23 07:15:20葉險(xiǎn)峰
    科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新 2021年23期
    關(guān)鍵詞:物性梯度反演

    陳 強(qiáng) 葉險(xiǎn)峰

    (湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院,湖南 湘潭 411105)

    反演具有多解性,單一的反演方法很難反演出準(zhǔn)確且清晰的地下模型,Vozoff 和Jupp(1975)[1]首次提出聯(lián)合反演的概念,通過聯(lián)合反演來耦合不同的物性信息。在此之后聯(lián)合反演經(jīng)過不斷的發(fā)展,Gallardo 和Meju(2003、2004)[2-3]基于不同的物性參數(shù)具有同一地質(zhì)結(jié)構(gòu)的特性,提出了交叉梯度聯(lián)合反演方法。在Bezdek(1974)[4]提出的模糊c-均值聚類算法的基礎(chǔ)上,研究者們提出了模糊c-均值(FCM)聚類聯(lián)合反演算法,后來Sun和Li(2015,2016)[5-6]又做出了一些改進(jìn),加入了先驗(yàn)地質(zhì)物性信息,隨后Sun 和Li(2016)[7]又提出了模糊c-回歸(FCRM)聚類方法。Sun 和Li 在FCRM 聚類反演中使用高斯牛頓法解方程組,計(jì)算效率低,所以本文采用共軛梯度法實(shí)現(xiàn)FCRM 聚類反演。共軛梯度法的概念是Hestenes[8]與Stiefel[9]于1950 年首次提出的,由于收斂速度快、內(nèi)存需求小,在地球物理反演中被廣泛采用[10]。近年來,預(yù)條件共軛梯度法[11]和重加權(quán)共軛梯度法[12]也被廣泛應(yīng)用于反演中。

    本文在模型目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建中采用了光滑約束,使用有限差分法計(jì)算模型加權(quán)矩陣,所以,在求解大型線性方程組的計(jì)算中,核函數(shù)和大型稀疏矩陣的存儲(chǔ)與計(jì)算是一個(gè)不容忽視的問題。本文在涉及核函數(shù)矩陣的運(yùn)算中采用了矩陣分解算法[13],用三元組的形式表示大型二維稀疏矩陣。除此之外,本文在編程時(shí)用OpenMP 指令實(shí)現(xiàn)CPU 多核環(huán)境下的多線程計(jì)算,用于提高計(jì)算效率。

    1 反演理論

    重磁反演的基礎(chǔ)是正演基本原理,本文使用的是一般直立六面體的正演計(jì)算公式[14]。

    1.1 光滑約束

    1.2 模糊c-回歸聚類聯(lián)合反演

    聯(lián)合反演可以有效的耦合多種物性信息,降低反演多解性。模糊聚類聯(lián)合反演的目標(biāo)函數(shù)如下:預(yù)期的線性聚類的距離,引導(dǎo)反演結(jié)果的線性聚類靠近預(yù)期的線性聚類,達(dá)到預(yù)期的地質(zhì)分化效果。

    1.3 重加權(quán)共軛梯度法

    1.4 核函數(shù)矩陣的分解運(yùn)算

    1.5 大型稀疏矩陣的優(yōu)化存儲(chǔ)與運(yùn)算

    2 模型試驗(yàn)

    2.1 簡(jiǎn)單模型

    加入所述的約束條件后,反演結(jié)果如圖1(c)(g)所示,根據(jù)它們可以看出傳統(tǒng)約束反演的結(jié)果雖然顯示出了中心直立長(zhǎng)方體的位置,但是它的邊界是發(fā)散的,模型和圍巖的邊界模糊不清。相比于磁力反演的結(jié)果,重力反演的結(jié)果很明顯地下沉了,這是由于假設(shè)的地下空間的底層圍巖仍有剩余密度,這就相當(dāng)于存在一個(gè)擁有小剩余密度的模型,深度分辨率較差的重力反演的結(jié)果就出現(xiàn)了下沉的情況。

    圖1(d)(h)是模糊c-回歸聚類聯(lián)合反演得到的地下空間的密度分布圖和磁化強(qiáng)度分布圖,相比于單獨(dú)反演的結(jié)果,聯(lián)合反演加強(qiáng)了兩種反演結(jié)果的共同部分,削弱了它們之間的差異部分,在圖中呈現(xiàn)出的現(xiàn)象就是直立長(zhǎng)方體所在的位置的密度值和磁化強(qiáng)度值更為密集,且高于圍巖。而密度模型中底層的物性聚類是傳統(tǒng)的約束反演得到的密度模型的向下發(fā)散導(dǎo)致,在底層位置,傳統(tǒng)約束反演得到的密度模型和磁化強(qiáng)度模型在底層位置的物性產(chǎn)生了線性關(guān)系,這被模糊c-回歸聚類聯(lián)合反演誤識(shí)別為模型間物性的線性關(guān)系,所以使密度模型的下沉部分加強(qiáng)了。

    圖1

    2.2 復(fù)雜模型

    圖2(a)(b)是根據(jù)湖南省有色地質(zhì)勘查研究院提供的坪寶-黃沙坪鉛鋅銀多金屬礦某處的地下剖面建模建立的復(fù)雜剖面模型。為了進(jìn)行三維的反演試驗(yàn),對(duì)該剖面模型進(jìn)行了理想化的假設(shè):XZ 剖面模型在Y 方向進(jìn)行復(fù)制,獲得多層完全相同的XZ 剖面模型。為了減少數(shù)據(jù)量,減少三維的反演試驗(yàn)的時(shí)間,我們?cè)赮 方向只設(shè)置了5 層。

    圖2(c)(g)是傳統(tǒng)約束反演的結(jié)果,圖2(d)(h)是模糊c-回歸聚類聯(lián)合反演得到的結(jié)果,可以看出聯(lián)合反演加強(qiáng)了密度模型和磁化強(qiáng)度模型之間共同的部分,削弱了它們之間差異的部分,改善了磁化強(qiáng)度模型的物性分布。雖然三維反演的多解性問題仍然嚴(yán)重,約束條件遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于未知條件,但是總體來說,F(xiàn)CRM 聚類聯(lián)合反演方法相比于傳統(tǒng)約束反演方法是有所改進(jìn)的。

    圖2

    3 結(jié)論

    針對(duì)重、磁反演問題的趨膚現(xiàn)象,本文采用了深度加權(quán)函數(shù)抵消核函數(shù)隨深度幾何衰減的影響;針對(duì)重、磁反演的多解性,本文采用了光滑約束、正定約束等多種約束;針對(duì)大型線性方程組的計(jì)算難度問題,本文對(duì)核函數(shù)矩陣進(jìn)行矩陣分解計(jì)算,采用三元組實(shí)現(xiàn)大型稀疏矩陣的存儲(chǔ)和計(jì)算,采用基于PRP 公式的重加權(quán)共軛梯度最優(yōu)化方法,同時(shí)采用OpenMP 并行計(jì)算技術(shù)實(shí)現(xiàn)CPU 多線程加速,最后,采用模糊c-回歸聚類算法實(shí)現(xiàn)重、磁數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演,并先后采用簡(jiǎn)單直立長(zhǎng)方體模型和復(fù)雜模型進(jìn)行驗(yàn)證,得出以下結(jié)論:

    3.1 矩陣分解方法和三元組數(shù)組的引入改善了大型二維數(shù)組的存儲(chǔ)內(nèi)存大和計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)的問題,特別是在對(duì)兩個(gè)二維數(shù)組間的計(jì)算中,這種改善尤為明顯,達(dá)到了減少算法運(yùn)行時(shí)間的目的;

    3.2 光滑約束、正定約束等方法的引入改善了重、磁物性反演的多解性問題,深度約束和重加權(quán)反演方法很好的解決了反演的趨膚效應(yīng);

    3.3 根據(jù)直立長(zhǎng)方體模型和復(fù)雜模型的試驗(yàn),對(duì)比重、磁單獨(dú)反演和聯(lián)合反演的結(jié)果,重、磁數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演加強(qiáng)了兩種物性數(shù)據(jù)中一致的特征,同時(shí)又對(duì)差異的部分進(jìn)行了互補(bǔ)和改善,聯(lián)合反演得到的結(jié)果相比單獨(dú)反演的結(jié)果更加真實(shí)準(zhǔn)確。

    附錄A

    糊聚類聯(lián)合反演的目標(biāo)函數(shù)如下:

    為了使目標(biāo)函數(shù)在線性聚類上最小化,我們求出(A-1)式對(duì)線性聚類參數(shù)vk1的導(dǎo)數(shù),然后令導(dǎo)數(shù)方程等于0,求解得到線性聚類參數(shù)(斜率)的計(jì)算公式:

    同理,線性聚類參數(shù)vk2(截距)的計(jì)算公式如下:

    求出(A-1)式對(duì)隸屬度函數(shù)ujk的導(dǎo)數(shù),然后令導(dǎo)數(shù)方程等于0,求解得到隸屬度函數(shù)ujk的計(jì)算公式:

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