拓撲自旋光子晶體中螺旋邊界態(tài)單向傳輸調(diào)控研究*

隋文杰 張玉 張紫瑞 王小龍 張洪方 史強 楊冰?

1) (聊城大學物理科學與信息工程學院,聊城 252000)

2) (山東省光通信科學與技術(shù)重點實驗室,聊城 252000)

利用二維拓撲自旋光子晶體中的螺旋邊界態(tài)可以實現(xiàn)贗自旋鎖定的光波的單向傳輸.盡管已有很多關(guān)于拓撲自旋光子晶體的研究,但對于其螺旋邊界態(tài)的單向傳輸調(diào)控研究卻很少.本文基于二維C6v 對稱的拓撲自旋光子晶體結(jié)構(gòu),通過調(diào)整原胞中介電圓柱直徑D 以及圓柱與原胞中心的距離R,詳細研究了系統(tǒng)的幾何參數(shù)對拓撲自旋光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)、拓撲性質(zhì)及其螺旋邊界態(tài)單向傳輸性質(zhì)調(diào)控的影響.結(jié)果表明,參數(shù)R 對拓撲自旋光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)和拓撲性質(zhì)有顯著影響,D的改變會影響自旋光子晶體的帶隙位置.螺旋邊界態(tài)的結(jié)構(gòu)及其單向傳輸性質(zhì)與邊界兩側(cè)自旋光子晶體帶隙的拓撲性質(zhì)及頻帶結(jié)構(gòu)密切相關(guān).在拓撲性質(zhì)不變的情況下,改變邊界兩側(cè)的光子晶體結(jié)構(gòu),也會改變螺旋邊界態(tài)的結(jié)構(gòu)及其單向傳輸性質(zhì).調(diào)整拓撲自旋光子晶體結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)R 和D,就可以實現(xiàn)對螺旋邊界態(tài)的單向傳輸性質(zhì)的調(diào)控.該研究為拓撲自旋光子晶體螺旋邊界態(tài)的選擇和應用提供了參考.

1 引言

拓撲學是數(shù)學的一個重要分支,主要研究系統(tǒng)的某些性質(zhì)在其參數(shù)連續(xù)變化下的某種不變性[1].量子霍爾效應的發(fā)現(xiàn)開啟了以拓撲性質(zhì)研究為核心的凝聚態(tài)物理學研究新篇章[2].在拓撲性質(zhì)不同的系統(tǒng)的交界面上,可以存在無背向散射的單向傳輸?shù)倪吔鐟B(tài).由于拓撲保護,這種單向傳輸?shù)倪吔鐟B(tài)具有很好的魯棒性[3],使其在自旋電子學和量子計算等領(lǐng)域具有廣闊的應用前景[4-6].

2005 年,美國普林斯頓大學的Haldane 等[7]首次將拓撲概念引入光學領(lǐng)域,開創(chuàng)了拓撲光子學研究的先河.他們在理論上展示了在旋電材料圓柱構(gòu)成的二維光子晶體中,通過加入沿圓柱軸向的外場來打破電磁波在其中傳播的時間反演對稱性,可以獲得類似于電子系統(tǒng)量子霍爾效應中的手性邊界態(tài).但由于受限于旋電材料微弱的旋電性能,這種光學拓撲態(tài)在實驗上沒有被觀察到.2008 年,麻省理工學院的Wang 等[8]提出另外一種方案,即利用旋磁材料圓柱代替旋電材料圓柱,可以在較寬的頻率范圍內(nèi)獲得拓撲保護的無帶隙的手性邊界態(tài).第2 年,他們就在實驗上首次觀察到了這種拓撲保護的單向傳播的光學拓撲態(tài)[9].自此以后,在旋磁材料中通過打破時間反演對稱性構(gòu)造光學拓撲態(tài)就一直是人們的研究熱點[10-14].但是,由于打破旋磁材料系統(tǒng)的時間反演對稱性需要外加磁場,并且受限于旋磁材料本身的磁響應速度,旋磁材料中的拓撲態(tài)只能在微波頻率范圍實現(xiàn),無法擴展到可見光及紅外光區(qū)域,這使得這種光學拓撲態(tài)很難和當前應用廣泛的光通信和光計算技術(shù)相融合[15].為此,研究者們嘗試在其他光學結(jié)構(gòu)中尋求和設計新的光學拓撲態(tài),其中包括在耦合環(huán)形波導中實現(xiàn)贗自旋保護的光學拓撲態(tài)[16],在波導陣列結(jié)構(gòu)中實現(xiàn)的Floquet 光學拓撲態(tài)[17-19],以及在雙各向異性超材料結(jié)構(gòu)中設計的贗自旋光學拓撲態(tài)[20]等.

在眾多的光學拓撲態(tài)中,由日本材料研究院的Hu 等[21]于2015 年提出的一種贗自旋光學拓撲態(tài),因其全介電材料設計、結(jié)構(gòu)簡單、易于在可見光和紅外光波段實現(xiàn),并能與當前光子學技術(shù)相融合等特點而備受人們關(guān)注.他們的設計是基于二維三角晶格光子晶體結(jié)構(gòu),每個原胞中包含6 個相同的介電圓柱,每個圓柱距離原胞中心具有相同的距離.通過調(diào)整圓柱與原胞中心的距離可以實現(xiàn)原胞中6 個圓柱結(jié)構(gòu)的收縮和放大,從而設計光子晶體的頻帶結(jié)構(gòu).結(jié)合電磁波的時間反演對稱性及晶格本身所具有的C6v對稱性,可以構(gòu)造贗時間反演對稱操作,并通過將系統(tǒng)中的光學模式類比于電子系統(tǒng)的p 軌道和d 軌道結(jié)構(gòu),設計了由贗時間反演對稱操作保護的橫磁模式(TM)的光學贗自旋態(tài)p+,p—,d+和d—.將贗自旋拓撲性質(zhì)不同的光子晶體結(jié)構(gòu)相拼接,就可以實現(xiàn)在其拼接界面處贗自旋鎖定的螺旋邊界態(tài)的單向傳播.利用這種方法構(gòu)造的贗自旋光學拓撲態(tài)結(jié)構(gòu)不需要外加磁場,容易在可見光及紅外光波段實現(xiàn),并且易于工業(yè)制造及光學集成,因而具有獨特的研究價值和應用前景[22].

近幾年來,人們已經(jīng)提出了很多基于C6v對稱性介電結(jié)構(gòu)的贗自旋光學拓撲態(tài),也在理論上設計了其他一些結(jié)構(gòu)實現(xiàn)贗自旋光學拓撲態(tài)[23-26],并在實驗上觀測到了贗自旋鎖定的螺旋邊界態(tài)的單向傳輸[27,28].盡管如此,大部分研究是集中在設計不同的光子晶體對稱結(jié)構(gòu)實現(xiàn)贗自旋光學拓撲態(tài),而對于贗自旋光學拓撲結(jié)構(gòu)中螺旋邊界態(tài)的單向傳輸性能調(diào)控研究卻很少.因此,本文基于C6v對稱介電光子晶體結(jié)構(gòu),研究了系統(tǒng)的幾何參數(shù)(光子晶體結(jié)構(gòu)原胞中圓柱的縮放程度、圓柱直徑)對贗自旋光學拓撲態(tài)帶隙的影響,詳細討論了幾何參數(shù)對螺旋邊界態(tài)的演化及其單向傳輸性能的調(diào)控作用.該研究為設計和調(diào)控C6v對稱介電光子晶體中贗自旋光學拓撲態(tài)的單向傳輸提供了理論參考.

2 模型結(jié)構(gòu)及頻帶計算

該研究模型是基于文獻[21]的二維三角晶格光子晶體結(jié)構(gòu),其示意如圖1(a)和(b)所示,其中圖1(a)為其原胞結(jié)構(gòu)示意圖,圖1(b)為其周期結(jié)構(gòu),圖中綠色圓形區(qū)域為介電圓柱,圓柱周圍為空氣.原胞中包含6 個相同的介電圓柱,圓柱直徑為D,與原胞中心具有相同的距離R,a1和a2為晶格矢量,其大小為晶格常數(shù)a.該結(jié)構(gòu)具有C6v點群對稱性,圖1(c)為其第一布里淵區(qū).在本文的研究中,取圓柱的相對介電常數(shù)ε=11.7,相對磁導率μr=1,空氣的相對介電常數(shù)為εA=1,相對磁導率μr=1[21].當R=a/3,D=2a/9 時,其頻帶結(jié)構(gòu)如圖1(e)所示,圖中的數(shù)字標記了頻帶序號.從頻帶圖可以看出,在布里淵區(qū)中心Γ點處,第2—5 頻帶形成雙重簡并狄拉克點.實際上,這時的頻帶結(jié)構(gòu)也可以看作是石墨烯結(jié)構(gòu)的頻帶在布里淵區(qū)折疊的結(jié)果[27].在圖1(e)的基礎上,增大或減小R,都可以使雙重簡并狄拉克錐打開,從而產(chǎn)生帶隙.圖1(d)和(f)分別是R=a/3-0.02a和R=a/3+0.02a時對應的頻帶圖.由圖1(d)中插圖可以看出,R=a/3—0.02a時,布里淵區(qū)Г點處第2,3 頻帶形成簡并p 軌道,第4,5 頻帶形成簡并d 軌道,此時形成的帶隙是贗自旋拓撲平庸的(綠色區(qū)域).而R=a/3+0.02a時,圖1(f)中布里淵區(qū)Г點處第2,3 頻帶形成簡并d 軌道,第4,5 頻帶形成簡并p 軌道,即在Г點發(fā)生了頻帶反轉(zhuǎn),此時形成的帶隙是贗自旋拓撲非平庸的[21](青色區(qū)域).圖中縱坐標ωa/(2πc)為約化頻率,ω為圓頻率,c為光在真空中的速率.

圖1 (a)二維三角晶格光子晶體原胞;(b)光子晶體周期結(jié)構(gòu);(c)三角晶格光子晶體的第一布里淵區(qū);(d)—(f)當D=2a/9 時,R 分別取a/3 — 0.02a,a/3 和a/3+0.02a 時,光子晶體的頻帶結(jié)構(gòu);(d)和(f)中插圖為相應的Г點處p 軌道和d 軌道的本征模場|Ez|Fig.1.(a) Primitive cell of two-dimensional triangular lattice;(b) periodic structure of photonic crystal;(c) the first Brillouin zone of the periodic structure;(d)—(f) frequency band structures as D=2a/9 and R takes values of a/3—0.02a,a/3 and a/3+0.02a,respectively;inserts in (d) and (f) show the distributions of eigenfields |Ez| of p and d orbits at point Г.

將具有共同帶隙的兩種贗自旋拓撲性質(zhì)不同的光子晶體結(jié)構(gòu)相拼接,在其交界面處就會存在贗自旋保護的螺旋邊界態(tài)[29,30].圖2(a)是將上述圖1(d)和(f)中兩種光子晶體結(jié)構(gòu)沿Zigzag 邊界拼接時的投影帶圖.其中灰色區(qū)域為體態(tài),紅色曲線是螺旋邊界態(tài).圖2(b)是計算該投影帶圖的超原胞結(jié)構(gòu)示意圖,中間紫色折線為兩種光子晶體結(jié)構(gòu)的zigzag 交界面,交界面兩側(cè)各有16 個光子晶體結(jié)構(gòu)原胞,界面下側(cè)為拓撲平庸光子晶體(R=a/3—0.02a),界面上側(cè)為拓撲非平庸光子晶體(R=a/3+0.02a).由圖2(a)可以看出,螺旋邊界態(tài)在Г點處有一個微小帶隙,使得螺旋邊界態(tài)分為上、下邊界態(tài)兩個分支.這是因為在兩種光子晶體的交界面處,C6v對稱性受到了一定程度的破壞[2].在圖2(a)中kx=±0.03(2π/a) 處,取螺旋邊界態(tài)上的4 個點A,B,C,D(圖中用藍色三角符號標記).A,C兩點所對應的本征模場|Ez|以及相位圖φ=arg(Ez)分別如圖2(c)和(d)所示.為清楚起見,邊界處的相位分布圖在圖2(c)和(d)中分別作了放大顯示.可以看出,A,C對應的螺旋邊界態(tài)的確局域在兩種光子晶體結(jié)構(gòu)的交界面附近,并且,由相位圖可以看出,它們的相位φ增大方向相反,這正對應不同的贗自旋特征.另外,根據(jù)對稱性,下邊界態(tài)A點和B點,上邊界態(tài)C點和D點所形成的本征場的贗自旋性質(zhì)是各自分別相反的[31].由具有不同贗自旋特征的光源激發(fā)這些螺旋邊界態(tài),就可以實現(xiàn)贗自旋鎖定的光波的單向傳輸.根據(jù)電場相位分布,定義Ez相位逆時針方向減小為贗自旋向上,Ez相位順時針方向減小為贗自旋向下.則可以看出,A點和D點對應贗自旋向上的態(tài),其傳播方向是沿交界面+x方向傳播(斜率為正);B點和C點對應贗自旋向下的態(tài),其傳播方向是沿界面—x方向傳播(斜率為負).圖2(e)和(f)分別為用自旋向上和自旋向下的贗自旋光源激發(fā)A點和C點處的螺旋邊界態(tài)單向傳播的計算結(jié)果,可以清楚看出界面處贗自旋鎖定的螺旋邊界態(tài)的單向傳輸,其中環(huán)形箭頭表示贗自旋光源所在的位置.

圖2 (a)贗自旋拓撲性質(zhì)不同的光子晶體結(jié)構(gòu)界面處的投影邊界態(tài),陰影部分為體態(tài),紅色曲線為螺旋邊界態(tài);(b)用于計算投影邊界態(tài)的超原胞結(jié)構(gòu)示意圖;(c)和(d)分別與(a)圖中A 點和C 點邊界態(tài)對應的本征模場|Ez|及相位分布φ=arg(Ez);(e)和(f)分別與(a)圖中A 點和C 點邊界態(tài)對應的由贗自旋光源激發(fā)的光傳播模擬圖,其中環(huán)形箭頭表示贗自旋光源所在的位置,箭頭旋轉(zhuǎn)方向表示光源的自旋方向Fig.2.(a) Projected diagram of edge state at boundary of two photonic crystals with different pseudospin topological properties,shaded areas are bulk states,and red curves are helical edge states;(b) supercell for calculation of projected diagram;(c) and (d)the eigenfield |Ez| and phase distribution φ=arg(Ez) of edge states A and C in (a),respectively;(e) and (f) propagation simulation of edge states A and C excited by pseudospin sources,the yellow circular arrows denote locations of sources,and rotation directions of arrows indicate spin directions of sources.

3 幾何參數(shù)對螺旋邊界態(tài)單向傳輸調(diào)控的影響

改變上述光子晶體結(jié)構(gòu)中圓柱與原胞中心的距離R及圓柱的直徑D等幾何參數(shù),就會改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),從而改變光子晶體的頻帶結(jié)構(gòu)及帶隙的拓撲性質(zhì),進而影響和調(diào)控光子晶體結(jié)構(gòu)中贗自旋拓撲邊界態(tài)的單向傳輸性質(zhì).

3.1 幾何參數(shù)對拓撲自旋光子晶體帶隙的影響

系統(tǒng)的幾何參數(shù)R和D會影響圖1(d)和(f)中p 軌道和d 軌道間(第3,4 頻帶間)帶隙的位置、寬度及其拓撲性質(zhì).設此帶隙上部頻帶的最低約化頻率為ωt,帶隙下方頻帶的最高約化頻率為ωb,則可將該帶隙的完全帶隙寬度定義為Δω=ωt—ωb,并定義帶隙位置為該帶隙中心所對應的頻率ωc=(ωt+ωb)/2.在滿足原胞中各圓柱不重疊的情況下,當R和D改變時,該帶隙的帶隙寬度Δω和帶隙高度ωc隨R和D變化的結(jié)果分別如圖3(a)和(b)所示.

由圖3(a)可以看出,在R=a/3 處(圖中豎直紅色虛線所示),在結(jié)構(gòu)允許的范圍內(nèi),無論D如何變化,其帶隙寬度Δω始終為0.R=a/3的結(jié)構(gòu)正是對應于石墨烯結(jié)構(gòu),由于石墨烯頻帶結(jié)構(gòu)的折疊,使得石墨烯頻帶結(jié)構(gòu)中K點和K'點處的狄拉克簡并點在本文三角晶格結(jié)構(gòu)的布里淵區(qū)Г點形成了雙重簡并的狄拉克點[32].當R＞a/3 時,帶隙會被打開,隨R的增大,帶隙寬度也逐漸增大,并且,此時的帶隙是拓撲非平庸的[20].當R＜a/3時,帶隙也會被打開.有意思的是,在D較小的情況下,帶隙寬度會隨著R的減小先是增大,而后再減小.其原因在于,當R減小時,圖1(d)中Г點處組成d 軌道的第4 和第5 簡并頻帶會向高頻移動,而它們上側(cè)的頻帶會向低頻移動,導致當R減小到某一數(shù)值時,p 軌道和d 軌道之間插入了一個頻帶,使得組成d 軌道的頻帶標號變成5 和6,p 軌道和d 軌道之間插入的頻帶就標記為第4 個頻帶,如圖8(c)所示.插入的頻帶4 在Г點的頻率會隨著R的減小而減小,導致帶隙寬度隨R的減小而逐漸減小.由圖3(b)可以看出,R的變化對帶隙高度ωc的影響很小,而隨著圓柱直徑D的增大,帶隙高度ωc是逐漸降低的,這也符合光子晶體頻帶結(jié)構(gòu)變化的一般規(guī)律[33].由圖3(a)還可以看出,p 軌道和d 軌道之間的帶隙一旦打開,其拓撲性質(zhì)就是確定的,不會隨著帶隙高度和寬度的變化而改變,這為利用不同贗自旋拓撲性質(zhì)的光子晶體構(gòu)造和調(diào)控螺旋邊界態(tài)提供了便利.

圖3 (a) p 軌道和d 軌道間帶隙寬度隨R 和D 變化結(jié)果;(b) p 軌道和d 軌道間帶隙位置隨R 和D 變化結(jié)果Fig.3.(a) Variation of the bandgap width between orbits p and d with parameters R and D;(b) variation of the bandgap position with parameters R and D.

3.2 幾何參數(shù)對拓撲自旋光子晶體螺旋邊界態(tài)單向傳輸調(diào)控的影響

當兩種具有不同贗自旋拓撲性質(zhì)的光子晶體拼接在一起時,若它們的帶隙具有共同的頻率范圍,由于拓撲保護,在它們的邊界處會形成拓撲保護的螺旋邊界態(tài).這些邊界態(tài)與邊界兩側(cè)的光子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙寬度、頻帶結(jié)構(gòu)及拓撲性質(zhì)有關(guān).在下面的研究中,為便于敘述,標記邊界兩側(cè)的光子晶體結(jié)構(gòu)分別為C1和C2結(jié)構(gòu),它們具有共同的帶隙區(qū)域,其中C1結(jié)構(gòu)的帶隙是贗自旋拓撲非平庸的,C2結(jié)構(gòu)帶隙是贗自旋拓撲平庸的.改變邊界兩側(cè)C1和C2的幾何參數(shù)R和D,可以改變它們的帶隙寬度和帶隙位置,從而調(diào)控它們交界面處的螺旋邊界態(tài).標記C1和C2的幾何參數(shù)分別為R1,D1和R2,D2,研究由C1和C2結(jié)構(gòu)相拼接的Zigzag邊界上的螺旋邊界態(tài),其結(jié)構(gòu)示意圖如圖4(a)所示,其中橫向虛線為Zigzag 邊界所處的位置.

3.2.1R改變對螺旋邊界態(tài)單向傳輸調(diào)控的影響

在這部分研究中,固定C1和C2結(jié)構(gòu)中圓柱的直徑,并取D1=D2=0.13a[34],改變光子晶體幾何參數(shù)R1和R2,研究圓柱與原胞中心距離R改變時對螺旋邊界態(tài)的影響.為了使C1和C2結(jié)構(gòu)具有近似的頻帶高度和帶隙寬度,根據(jù)計算結(jié)果,設定R1=a/3+r,R2=a/3 — 1.5r,r=0 對應雙重簡并的狄拉克錐結(jié)構(gòu)(帶隙沒有打開).隨著r的增大,R1增大,R2減小,邊界兩側(cè)C1和C2光子晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生變化,其相應的拓撲邊界態(tài)也發(fā)生變化.圖4(b)—(f)中每個圖的最左側(cè)一列對應r取值分別為0.01a,0.02a,0.04a,0.06a和0.08a時的投影帶圖,其中灰色區(qū)域為投影體態(tài),紅色曲線為螺旋邊界態(tài).

可以看出,隨著r的增大,上、下投影體態(tài)之間的完全帶隙范圍也在增大.當r=0.01a時,完全帶隙范圍約是ωa/(2πc)=0.65—0.68,當r增大到0.08a時,完全帶隙范圍增大到ωa/(2πc)=0.62—0.73.這是容易理解的,邊界兩側(cè)的光子晶體結(jié)構(gòu)C1和C2的帶隙寬度均隨r的增大而增大,又由于它們的帶隙中心位置大致相同,因此,在它們的交界面上,隨著r的增大,完全帶隙范圍就會逐漸增大.另一方面,可以看出,隨著r的增大,上、下邊界態(tài)間帶隙的頻率范圍也逐漸增大.并且,當r增大到0.04a左右時,上邊界態(tài)和上體態(tài)之間形成一個新的帶隙.新帶隙的帶隙范圍也隨著r的增大相應地增大.上述兩個帶隙均來源于C1和C2結(jié)構(gòu)邊界處C6v對稱性的破缺.當r較小時,C1和C2結(jié)構(gòu)交界面處的C6v對稱性破缺程度較小,因而只在上、下邊界態(tài)間形成一個較小的帶隙[2],如圖4(b)和(c)所示.隨著r的增大,C1和C2結(jié)構(gòu)交界面處的C6v對稱性破缺程度越來越大,導致了上、下邊界態(tài)間的帶隙范圍也越來越大,并且,在上邊界態(tài)和上體態(tài)間也形成了新的帶隙,如圖4(d)—(f)所示.

圖4 (a)模型結(jié)構(gòu)示意圖;(b)—(f)當D=0.13a 時,分別取r 值為0.01a,0.02a,0.04a,0.06a 和0.08a 時系統(tǒng)的投影邊界態(tài)以及贗自旋光波在邊界處的單向傳輸效果圖,左側(cè)圖: 投影邊界態(tài),中間圖: 光波能量wA 和wB,右側(cè)圖: 單向隔離率β;(e)中藍、黑、綠、洋紅、紅色虛線(由上至下)分別對應上體態(tài)帶底、上邊界態(tài)帶頂、上邊界態(tài)帶底、下邊界態(tài)帶頂和下體態(tài)帶頂處的頻率位置;(c)中M 和N 兩點分別對應頻率0.648的下邊界態(tài)和頻率0.684的上邊界態(tài);(f)中O 點對應頻率0.622的下邊界態(tài)、P 和Q 點對應頻率0.685的兩上邊界態(tài)Fig.4.(a) Schematic diagram of calculation model;(b)—(f) projected diagram of edge states and unidirectional propagation of pseudospin wave at boundaries as D=0.13a and r takes values of 0.01a,0.02a,0.04a,0.06a and 0.08a,respectively.Left panel: projected diagram,central panel: optical energy wA and wB, right panel: unidirectional isolation rate β.In (e),the blue,black,green,magenta and red dashed lines (top to bottom) represent frequency positions of bottom of upper body state,top of upper edge state,bottom of upper edge state,top of lower edge state and top of lower body state,respectively.In (c),points M and N mark the lower edge state with frequency 0.648 and upper edge state with frequency 0.684,respectively.In (f),point O marks the lower edge state with frequency 0.622,points P and Q mark the upper edge states with frequency 0.685.

上述帶隙及邊界態(tài)隨r增大時頻率變化的詳細結(jié)果如圖5 所示.圖中顯示了r從r=0.01a增至r=0.09a過程中的數(shù)值結(jié)果,其中藍色曲線表示上體態(tài)底的頻率,黑色曲線表示上邊界態(tài)帶頂?shù)念l率,綠色曲線表示上邊界態(tài)帶底的頻率,洋紅色曲線表示下邊界態(tài)帶頂?shù)念l率,紅色曲線表示下體態(tài)頂?shù)念l率.不同顏色類型曲線位置分別對應圖4(e)左側(cè)圖中相應顏色虛線所標注的位置.可以看出,隨著r的增大,上、下邊界態(tài)間的帶隙范圍逐漸增大;當r＞ 0.035a左右時,上體態(tài)與上邊界態(tài)間出現(xiàn)新的帶隙,該帶隙隨著r的增大也逐漸增大.從圖中還可以看出,隨著r的增大,上邊界態(tài)頻率范圍逐漸減小(圖中黑色曲線和綠色曲線間的頻率區(qū)間),但中心頻率變化很小,下邊界態(tài)帶頂向低頻方向移動.

圖5 隨著r的增大,C1 和C2 結(jié)構(gòu)交界面處螺旋邊界態(tài)的演化Fig.5.Variation of helical edge states at the boundary of C1 and C2 as r increases.

螺旋邊界態(tài)的存在支持贗自旋光波在界面處的單向傳輸.為了研究贗自旋光波在邊界處的單向傳輸效果,計算了界面處距離贗自旋光源左、右方向一定距離處的光波能量w,并計算了相應的單向隔離率.計算模型如圖4(a)所示,其中環(huán)形箭頭標明贗自旋光源(自旋向下)位置.在光源左、右兩側(cè)各為15a距離處,沿y方向選取寬度為5a的截線A和B(圖中縱向虛線),計算了通過截線A和B的光波能量wA和wB,其歸一化結(jié)果分別如圖4(b)—(f)中間列洋紅色曲線和藍色曲線所示.相應的贗自旋邊界態(tài)的單向隔離率為其結(jié)果如圖4(b)—(f)中最右側(cè)圖形所示,單向隔離率的大小反映了邊界處贗自旋光波的單向傳輸性能.

可以看出,當r較小時(r≤0.04a),上、下邊界態(tài)都具有較好的單向傳輸性質(zhì).如在r=0.02a時,如圖4(c)所示,在上、下邊界態(tài)的頻率范圍內(nèi),贗自旋鎖定的光波單向隔離率β大都大于10 dB,說明向左傳播的贗自旋光波能量遠大于向右傳播的光波能量.為直觀顯示贗自旋光波在邊界處的這種單向傳輸性質(zhì),圖6(a)和6(b)中顯示了r=0.02a時贗自旋光源激發(fā)的螺旋邊界態(tài)在邊界處的單向傳輸結(jié)果,其中圖6(a)是頻率0.648的贗自旋光源激發(fā)的下邊界態(tài)在邊界處的傳輸結(jié)果,圖6(b)是頻率0.684的贗自旋光源激發(fā)的上邊界態(tài)在邊界處的傳輸結(jié)果.兩種情況所激發(fā)的螺旋邊界態(tài)分別對應于圖4(c)中M,N點邊界態(tài)位置.很明顯,這兩種情況下,贗自旋鎖定的光波都具有很好的單向傳輸性質(zhì).

隨著r的增大,如圖4(d)—(f)所示,上邊界態(tài)和上體態(tài)之間出現(xiàn)的帶隙以及上、下邊界態(tài)之間的帶隙限制了贗自旋光波向左、右方向的傳播,導致wA和wB在這些頻率范圍內(nèi)迅速減小,也使得單向隔離率在這些頻率區(qū)域保持在0 值附近,這實際是由于這些頻率范圍是贗自旋光波的禁帶區(qū)域的原因.另外,由圖(4)和圖(5)還可以看出,隨著r的增大,上邊界態(tài)帶寬逐漸減小,并且對贗自旋光波的單向隔離率也逐漸減小.例如,當r增至0.08a時,如圖4(f)所示,上邊界態(tài)的頻帶寬度僅0.01 左右,邊界態(tài)對贗自旋光波的單向隔離率也趨于在0 值附近變化.單向隔離率趨于0 值附近表明由贗自旋光源發(fā)出的光波會耦合到邊界處向右的通道中[35].對于下邊界態(tài)而言,在r的整個變化范圍內(nèi)都體現(xiàn)了螺旋邊界態(tài)較好的單向傳播特性.圖6(c)和(d)顯示了r=0.08a時,頻率分別為0.622 和0.685的贗自旋光源激發(fā)的下、上邊界態(tài)光波在邊界處的傳輸結(jié)果.兩種情況下所激發(fā)的邊界態(tài)分別對應于圖4(f)中O點和P點螺旋邊界態(tài)的位置.明顯地,贗自旋光源在下邊界態(tài)上可以激發(fā)贗自旋鎖定的單向傳輸?shù)倪吔鐟B(tài),而在上邊界態(tài)上,卻可以同時激發(fā)出向左和向右兩個方向傳播的邊界態(tài).

圖6 贗自旋光源激發(fā)的不同的螺旋邊界態(tài)在邊界處的傳輸 (a)—(d)分別對應圖4(c)中M,N 點和圖4(f)中O,P 點邊界態(tài)Fig.6.Propagation of helical edge state excited by pseudopospin sources at the boundary: (a)—(d) Corresponding to the edge states of points M and N in Fig.4(c),and points O and P in Fig.4(f),respectively.

3.2.2d改變對螺旋邊界態(tài)單向傳輸調(diào)控的影響

當C1和C2結(jié)構(gòu)中各自的R不變而改變圓柱直徑D時,系統(tǒng)的螺旋邊界態(tài)也會受到影響.圖7(a)—(c)所示為R1=0.21a,R2=0.41a,D1=D2=D,并分別取D=0.1a,0.13a,0.16a時系統(tǒng)的投影邊界態(tài)圖以及贗自旋光波在邊界處的單向傳輸結(jié)果.

可以看出,隨著D的增大,由上體態(tài)和下體態(tài)確定的完全帶隙區(qū)間有所增大,并整體向低頻方向移動,這與圖2 中計算的結(jié)果相一致.另外,隨著D的增大,上體帶與上邊界態(tài)之間的帶隙區(qū)間逐漸增大,但上、下邊界態(tài)之間的帶隙范圍卻變化很小,上邊界態(tài)的形狀和帶寬也基本保持不變.為更清楚顯示D變化情況下螺旋邊界態(tài)的這些變化特征,圖7(d)中給出了圓柱直徑D由0.1a增大到0.18a過程中,螺旋邊界態(tài)的頻率范圍在完全帶隙區(qū)間中的演化過程,其中曲線類型及顏色標記含義與圖5 中標記含義相同.

圖7 (a)—(c)當R1=0.21a,R2=0.41a 時,D1=D2=D,并分別取D為0.1a,0.13a,0.16a 時系統(tǒng)的投影邊界態(tài)圖及贗自旋光波在邊界處的單向傳輸效果圖,左側(cè)圖: 投影邊界態(tài),中間圖: 光波能量wA 和wB,右側(cè)圖: 單向隔離率β;(d)隨著D 增大,螺旋邊界態(tài)的演化,圖中曲線類型及顏色標記同圖5;(e)和(f)贗自旋光源激發(fā)的(b)圖中E 和F 點處邊界態(tài)在界面處的傳播Fig.7.(a)—(c) Projected diagram of edge states and unidirectional propagation of pseudospin wave at boundaries as R1=0.21a,R2=0.41a,D1=D2=D and D takes values of 0.1a,0.13a and 0.16a,respectively.Left panel: projected diagram,central panel: optical energy wA and wB,right panel: unidirectional isolation rate β.(d) Variation of helical edge states as D increases,the curve types and color legends are the same as those in Fig.5.(e) and (f) Propagation simulation of the edge states of points E and F in (b),respectively,exited by pseudospin sources.

圖8 上行圖邊界處激發(fā)光源附近本征場Ez的相位分布(a)—(d)分別對應圖4(c)中M,N 點和圖4(f)中O,P 點邊界態(tài)相位分布;(e)自由空間中贗自旋光源的電場相位分布.下行各圖對應上行各圖中白色圓圈路徑上的光場的相位變化,激發(fā)光源位于白色圓圈中心Fig.8.Upper panels: Phase distributions φ=arg(Ez) of the eigenfield around excited sources at boundaries,(a)—(d) corresponding to the edge states of points M and N in Fig.4(c),and points O and P in Fig.4(f),respectively;(e) pseudospin source in free space,lower panels: variation of the phase distributions along the white circle in each upper panel,the excited source locates at the center of each white circle.

從圖7(a)—(c)右側(cè)兩圖的能量分布w及單向隔離率β的結(jié)果還可以看出,在設定的D變化的范圍內(nèi),下邊界態(tài)有較好的贗自旋單向傳輸性質(zhì),而上邊界態(tài)在不同D的情況下其贗自旋螺旋邊界態(tài)的單向傳輸效果都不理想.圖7(e)和(f)所示為頻率分別為0.632 和0.686的贗自旋光源激發(fā)的圖7(b)中E點和F點螺旋邊界態(tài)在邊界處的傳播結(jié)果.可以看出,下邊界態(tài)有較好的贗自旋鎖定的單向傳輸,而在上邊界態(tài)上,贗自旋光源卻可以同時激發(fā)出左、右兩個方向的邊界態(tài).

為了理解圖6、圖7(e)和(f)中不同螺旋邊界態(tài)的傳輸差異,以圖4(c)和(f)中的螺旋邊界態(tài)為例作一個直觀定性說明.為此,在圖8(a)和(b)中分別給出了圖4(c)中M點和N點的本征電場Ez在激發(fā)光源附近的相位分布情況;在圖8(c)和(d)中分別給出了圖4(f)中O點和P點的本征電場在激發(fā)光源附近的相位分布情況.作為對比,在圖8(e)中給出了贗自旋光源在自由空間的電場的相位分布.光源的位置位于各圖中白色圓圈中心相位渦旋點的位置.為了更清晰比較,在圖8(a)—(e)電場相位分布圖下方,分別顯示了電場相位φ=arg(Ez)沿渦旋點周圍白色圓圈隨極角θ增加時的變化情況,其中θ=0的位置選取在電場相位為φ=—π的位置.可以看出,圖8(a)—(c)中M,N,O點邊界態(tài)對應的本征電場相位分布在光源位置附近與圖8(e)中贗自旋光源的電場相位分布十分接近.因此,用相應頻率的贗自旋光源激發(fā)邊界態(tài)時,贗自旋光源僅激發(fā)相位相同的螺旋邊界態(tài)實現(xiàn)光波單向傳播.而圖8(d)中P點的本征電場相位分布與圖8(e)中贗自旋光源電場相位分布有明顯差異.所以,頻率為0.685的贗自旋光源在激發(fā)P點處邊界態(tài)的同時,也會耦合到與P點同頻率的Q點處的邊界態(tài)上,如圖4(f)所示,從而激發(fā)出邊界附近向左和向右雙向傳播的光波,如圖6(d)所示.圖7(e)和(f)中情況與此相似.

3.2.3 頻帶結(jié)構(gòu)對螺旋邊界態(tài)單向傳輸調(diào)控的影響

由上述研究可知,螺旋邊界態(tài)的分布及單向傳播情況與邊界兩側(cè)的光子晶體的具體結(jié)構(gòu)有關(guān),邊界兩側(cè)光子晶體的帶隙寬度及拓撲性質(zhì)決定了螺旋邊界態(tài)的單向傳輸性質(zhì).有時候,即便邊界兩側(cè)光子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙寬度和拓撲性質(zhì)都沒有發(fā)生變化,但頻帶結(jié)構(gòu)不同,也會影響螺旋邊界態(tài)的性質(zhì).為此,構(gòu)造了三種光子晶體結(jié)構(gòu)C1,C2和C3,它們相應的R取值分別為R1=a/3+0.04a,R2=a/3—0.06a和R3=a/3—0.17a,圓柱直徑均為D=0.13a.3 種光子晶體的頻帶結(jié)構(gòu)如圖9(a)—(c)所示,它們在頻率0.65 附近都有一個帶寬和帶隙高度近似相同的完全帶隙.其中C1結(jié)構(gòu)帶隙為贗自旋拓撲非平庸帶隙,C2和C3結(jié)構(gòu)帶隙均為贗自旋拓撲平庸帶隙.將C1結(jié)構(gòu)分別和C2結(jié)構(gòu)與C3結(jié)構(gòu)沿Zigzag 邊界拼接形成C12結(jié)構(gòu)和C13結(jié)構(gòu),在它們各自的交界面處,贗自旋螺旋邊界態(tài)及其單向傳輸性質(zhì)分別如圖9(d)和(e)所示.

圖9 (a)—(c) C1,C2 和C3 結(jié)構(gòu)光子晶體的頻帶結(jié)構(gòu),(c)中插圖為其第4 個頻帶Г點處的本征模場|Ez|;(d)和(e) C12 結(jié)構(gòu)和C13 結(jié)構(gòu)的贗自旋螺旋邊界態(tài)及其單向傳輸效果圖.左側(cè)圖: 投影邊界態(tài),中間圖: 光波能量wA 和wB,右側(cè)圖: 單向隔離率β.(f)—(i)分別對應C12 結(jié)構(gòu)中贗自旋光源激發(fā)的(d)圖中S 點和T 點邊界態(tài)以及C13 結(jié)構(gòu)中贗自旋光源激發(fā)的(e)圖中U 點和V 點邊界態(tài)在界面處的傳播Fig.9.(a)—(c) Band structures of the photonic crystals of C1,C2 and C3,respectively,insert in (c) shows the eigenfield |Ez| of Гof the 4th band;(d) and (e) projected diagram of edge states and unidirectional propagation of pseudospin wave at boundaries of C12 and C13 structures,respectively.Left panel: projected diagram,central panel: optical energy wA and wB,right panel: unidirectional isolation rate β.(f)—(i) Propagation simulation of the edge states of points S and T in (d) of C12 structure,and edge states of points U and V in (e) of C13 structure,respectively,exited by pseudospin sources.

可以看出,C12結(jié)構(gòu)和C13結(jié)構(gòu)中的螺旋邊界態(tài)有明顯的不同.C12結(jié)構(gòu)中上、下邊界態(tài)占據(jù)的頻率范圍較大,上、下邊界態(tài)間的帶隙范圍及上邊界態(tài)與上體態(tài)間的頻率區(qū)域均小于C13結(jié)構(gòu)的數(shù)值.并且,相比較于C13結(jié)構(gòu),C12結(jié)構(gòu)中的上邊界態(tài)具有更好的單向傳播性質(zhì).這種不同是由C2結(jié)構(gòu)和C3結(jié)構(gòu)不同的頻帶特點決定的.從圖9(b)和(c)可以看出,C2結(jié)構(gòu)中第2 和第3 個頻帶在Г點處形成p 軌道簡并點,第4 和第5 個頻帶在Г點處形成d 軌道簡并點,兩個簡并點在Г點被拓撲平庸帶隙隔開.而在C3結(jié)構(gòu)中,第2 和第3 個頻帶在Г點形成的p 軌道簡并點與第5 和第6 個頻帶在Г點形成d 軌道簡并點之間還存在第4 個頻帶(s軌道,如插圖所示).這就使得當C3結(jié)構(gòu)同C1結(jié)構(gòu)構(gòu)成邊界態(tài)波導時,波導內(nèi)的螺旋邊界態(tài)會受到C3結(jié)構(gòu)中第4 個頻帶的影響,從而影響螺旋邊界態(tài)的形成及其單向傳播性質(zhì).圖9(f)和(g)為C12結(jié)構(gòu)中頻率分別為0.633 和0.692的贗自旋光源激發(fā)的光波在邊界處的傳播,兩種情況下所激發(fā)的邊界態(tài)分別對應于圖9(d)中S點和T點的螺旋邊界態(tài).圖9(h)和(i)為C13結(jié)構(gòu)中頻率為0.634 和0.680的贗自旋光源激發(fā)的光波在邊界處的傳播,兩種情況下所激發(fā)的邊界態(tài)對應圖9(e)中U點和V點的螺旋邊界態(tài).很明顯,C13結(jié)構(gòu)中上邊界態(tài)V點處贗自旋光波的單向傳輸效果較差.

4 結(jié)論

本文研究了幾何參數(shù)對C6v對稱介電光子晶體結(jié)構(gòu)中贗自旋拓撲態(tài)的影響.通過改變光子晶體結(jié)構(gòu)原胞中介電圓柱與原胞中心的距離R及介電圓柱的直徑D,研究了C6v對稱光子晶體結(jié)構(gòu)中帶隙的寬度、高度及其拓撲性質(zhì)隨幾何參數(shù)R和D的變化規(guī)律;利用具有不同贗自旋拓撲性質(zhì)的光子晶體構(gòu)造了贗自旋螺旋邊界態(tài),討論了螺旋邊界態(tài)的結(jié)構(gòu)及其贗自旋鎖定的光波單向傳輸性能與邊界兩側(cè)光子晶體結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的關(guān)系.該研究為贗自旋光子晶體中螺旋邊界態(tài)的選擇和調(diào)控提供了理論基礎,并為實際應用光學螺旋邊界態(tài)構(gòu)建新型光學器件提供了理論支撐.例如,利用適當R和D參數(shù)下螺旋邊界態(tài)中上邊界態(tài)的窄帶性質(zhì),可以設計窄帶帶通濾波器;利用上、下邊界態(tài)的單向隔離性質(zhì),制作贗自旋光波的單向傳輸光波導等.