攜手?jǐn)?shù)學(xué)文化，走進初中數(shù)學(xué)

文／郭源源

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)學(xué)是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的?！边@種多姿多彩包含數(shù)學(xué)本身具有的邏輯魅力，還包含數(shù)學(xué)發(fā)展過程中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)文化。在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，了解數(shù)學(xué)文化不僅能夠增加我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以幫助我們明晰知識的來龍去脈，從而有助于我們更好地去理解學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

一、數(shù)系的擴充

小學(xué)階段，我們已經(jīng)學(xué)過整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念。初中數(shù)學(xué)不僅對我們學(xué)習(xí)的數(shù)的范圍進行了擴充，而且還研究了其內(nèi)在關(guān)系，形成了數(shù)域結(jié)構(gòu)圖（如圖1）。對于初中“數(shù)”的學(xué)習(xí)，不能拘泥于單個概念，而是要厘清它們的關(guān)系，建構(gòu)一種結(jié)構(gòu)路線。

圖1

比如七（上）我們要學(xué)習(xí)“有理數(shù)”，我們就需要了解有理數(shù)和無理數(shù)的產(chǎn)生與演變過程。

有理數(shù)的字面意思是“有道理的數(shù)的集合”，無理數(shù)是“沒有道理的數(shù)的集合”。實際上，這是一個翻譯上的失誤。有理數(shù)這一數(shù)學(xué)名詞源于西方，用英語表述為rational number。rational的意思是“理性的”，我們便將rational number按字面意思譯成“有理數(shù)”。實際上，rational number這個詞來源于古希臘，rational的詞根為ratio，意思是“比率”。正確的翻譯應(yīng)該是：可以表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)。而與其相對應(yīng)的“無理數(shù)”指不能表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)。由于整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以寫成兩個整數(shù)的比，所以將它們統(tǒng)稱為有理數(shù)；像π這樣的無限不循環(huán)小數(shù)，由于不能寫成兩個整數(shù)的比，所以被稱為無理數(shù)。所以，這里的“理”只是個翻譯失誤。抓住“整數(shù)比”，我們可以更好地理解概念。

二、方程的出現(xiàn)

初中數(shù)學(xué)注重對事物“關(guān)系”的把握。特別在引入了字母之后，由“數(shù)”跨越到“代數(shù)”，使得“關(guān)系”的表示變得更加靈活和便捷。而方程的出現(xiàn)，又進一步優(yōu)化了我們的思維方式。

人們對方程的研究可以追溯到大約3600 年前，古埃及人寫在紙草書上的數(shù)學(xué)問題就涉及了含有未知數(shù)的等式。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽注釋“方程”的含義時，曾指出“方”字與數(shù)字方陣有密切的關(guān)系，而“程”字則指列出含未知數(shù)的等式，所以漢語中“方程”一詞最早指列一組含未知數(shù)的等式解決實際問題的方法。

《孫子算經(jīng)》記錄了很多淺顯且有趣的問題，如“雞兔同籠”等，還流傳到了很多國家。在小學(xué)，我們解決“雞兔同籠”問題，用了一些計算技巧，如假設(shè)籠子里的全是雞（或全是兔），再逆向推理分步列算式，而在初中，我們可以將其化歸成方程問題。同學(xué)們在后續(xù)內(nèi)容中就會學(xué)到。

三、幾何與證明

初中數(shù)學(xué)重操作、重探究、重推理。在幾何的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們不僅要重視圖形直觀，還要明晰背后的道理，這也是幾何證明的要點。

比如，后面我們會學(xué)到勾股定理。勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠。我國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一。我國古代數(shù)學(xué)家將直角三角形稱為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，而斜邊則稱為弦。公元前1000 年，西周時期的數(shù)學(xué)家商高發(fā)現(xiàn)了直角三角形的一個特例：勾三、股四、弦五。我國三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽構(gòu)造了弦圖，并利用面積相等，簡單又巧妙地證明了勾股定理。

初中的幾何學(xué)習(xí)對思維的全面性和嚴(yán)謹(jǐn)性提出了更高的要求，經(jīng)嚴(yán)謹(jǐn)證明的結(jié)論才具有說服力。比如，三角形的內(nèi)角和。在小學(xué)，我們通過度量和剪拼的方法已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和為180°，可是，到了初中，我們?yōu)槭裁催€要學(xué)呢？其關(guān)鍵點不是讓同學(xué)們知道這個結(jié)論，而是要同學(xué)們經(jīng)歷和體會規(guī)范的定理體系，即猜想、證明、應(yīng)用。所以，我們在初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，會做題僅僅是表象，明理才是根本。我們的每一步推理都要有理可循、有法可依，這樣才能學(xué)好幾何，練就好的思維品質(zhì)。

總之，初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅僅是數(shù)學(xué)知識的習(xí)得，更要結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，厘清知識的來龍去脈，注重內(nèi)容的結(jié)構(gòu)體系，從生長的視角去看待數(shù)學(xué)知識，這樣，初中數(shù)學(xué)會越學(xué)越清晰，越學(xué)越通透。