基于糾纏源的非線性貝爾不等式研究

戴攀,龐志廣,李劍,王琴

(南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,江蘇 南京 210003)

0 引言

作為量子力學(xué)中重要的物理資源,量子糾纏是一種多體系統(tǒng)之間的量子關(guān)聯(lián)性質(zhì),在量子隱形傳態(tài)、量子隨機(jī)數(shù)、量子計(jì)算、量子簽名等方面具有重要的應(yīng)用[1-5]。研究表明,量子關(guān)聯(lián)具有一種層次(或者層級(jí))結(jié)構(gòu),糾纏度從低到高依次為量子糾纏、量子導(dǎo)引以及貝爾非局域性[6,7]。量子力學(xué)基礎(chǔ)的相關(guān)研究途徑是尋找量子關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的界限[8-13],以及尋找這些界限的一些更深層次的物理原因[14-21]。非局域性是針對(duì)EPR佯謬發(fā)展而來(lái),為了解釋EPR佯謬,有物理學(xué)家試圖使用“隱變量理論”的定域?qū)嵲谡搧?lái)替換非局域性的量子理論[22]。

1964年Bell[23]提出一種不等式,首次為局域?qū)嵲谡摵土孔永碚撝疇?zhēng)提供了實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的可能。1969年,為了能夠?qū)嶒?yàn)檢驗(yàn)Bell不等式,Clauser等[24]提出了一種更為普適的Bell不等式—CHSH不等式。1981年,Aspect小組[25]首次完成了實(shí)驗(yàn)上的貝爾不等式驗(yàn)證,為后續(xù)各種實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證打開(kāi)了大門。2015年,Giustina小組[26]和Shalm小組[27]實(shí)現(xiàn)了無(wú)顯著漏洞Bell不等式驗(yàn)證。隨著量子理論的發(fā)展,已經(jīng)出現(xiàn)貝爾原始不等式的許多變化和推廣[27]。2019年,Te’eni等[28]提出了一種非線性貝爾不等式,引起了廣泛關(guān)注。2020年,Paneru小組實(shí)現(xiàn)了非線性貝爾不等式的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[29]。

相較于線性貝爾不等式,非線性不等式表現(xiàn)為各部分關(guān)聯(lián)函數(shù)乘積的形式,它將量子關(guān)聯(lián)與多維空間的特定體積聯(lián)系在一起,有助于更好地理解非局域關(guān)聯(lián)的幾何結(jié)構(gòu)。利用這種新型貝爾不等式,能夠相對(duì)容易地找到經(jīng)典與量子的界限,而且它能夠緩解實(shí)際貝爾實(shí)驗(yàn)中的檢測(cè)漏洞,在特定條件下表現(xiàn)出更強(qiáng)的魯棒性[30]。量子非局域性是量子力學(xué)中重要的物理資源,非線性不等式作為一種新型的判別量子非局域性的工具具有重要的研究?jī)r(jià)值。

實(shí)際應(yīng)用中,由于環(huán)境噪聲的影響,糾纏純態(tài)會(huì)轉(zhuǎn)化成統(tǒng)計(jì)混態(tài)。為了研究實(shí)際情況下糾纏態(tài)對(duì)于非線性貝爾不等式的違背情況,本文考慮了Werner態(tài)和另一種帶有噪聲的糾纏態(tài),這兩種態(tài)可以等效為環(huán)境噪聲影響下糾纏純態(tài)的退化,得到的結(jié)果更具有理論說(shuō)服力和實(shí)際可行性,對(duì)于現(xiàn)實(shí)情況下的非局域性研究具有重要的參考意義。

根據(jù)上述情況,本文重點(diǎn)討論了存在噪聲的糾纏態(tài)對(duì)非線性貝爾不等式的違背情況,對(duì)兩種帶噪聲的糾纏態(tài)和理論純態(tài)進(jìn)行了仿真,定量分析了測(cè)量基數(shù)量為2和3時(shí)非線性貝爾不等式違背情況的差異,同時(shí)研究了糾纏純態(tài)對(duì)于非線性貝爾不等式的違背情況。研究結(jié)果豐富了人們對(duì)貝爾不等式的理解,對(duì)于非局域性的研究有一定的理論和實(shí)驗(yàn)參考價(jià)值。

1 理論模型及分析

1.1 線性貝爾不等式

貝爾不等式給出了經(jīng)典局域?qū)嵲谡撆c量子非局域性的分界線,并可以在特定實(shí)驗(yàn)測(cè)量中加以驗(yàn)證,其具體內(nèi)容為:對(duì)兩個(gè)粒子的某個(gè)自由度進(jìn)行關(guān)聯(lián)強(qiáng)度測(cè)量,根據(jù)局域隱變量理論,則兩粒子組成的系統(tǒng)關(guān)聯(lián)強(qiáng)度必定小于等于某一定值,而按照量子力學(xué),系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度應(yīng)當(dāng)大于該定值?？紤]兩個(gè)相距非常遠(yuǎn)的粒子A和B組成的復(fù)合系統(tǒng),分別被兩個(gè)本地觀測(cè)者Alice和Bob測(cè)量,其中觀測(cè)者Alice對(duì)粒子A進(jìn)行測(cè)量,測(cè)量方式記為x,得到測(cè)量結(jié)果為a;觀測(cè)者Bob對(duì)粒子B進(jìn)行測(cè)量,測(cè)量方式記為y,得到測(cè)量結(jié)果為b(如圖1)。Alice和Bob雙方的測(cè)量方式相互獨(dú)立且隨機(jī)。通過(guò)重復(fù)地進(jìn)行該實(shí)驗(yàn),就會(huì)得到一系列a和b結(jié)果的集合,這些結(jié)果通常由概率分布p(ab|xy)決定。只要實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)足夠多,就能夠?qū)Ω怕史植紁(ab|xy)進(jìn)行合理的估計(jì)。

圖1 Bell驗(yàn)證方案Fig.1 Scheme of Bell verification

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)p(ab|xy)≠p(a|x)p(b|y),即使雙方相距足夠遠(yuǎn),測(cè)量過(guò)程也相互獨(dú)立,他們之間的測(cè)量結(jié)果也并非相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,這種情況說(shuō)明雙方在交互時(shí)有某種依賴將它們關(guān)聯(lián)在一起。根據(jù)局域?qū)嵲谡摷僭O(shè),本地的測(cè)量結(jié)果只受到本地測(cè)量及可能存在的隱變量λ的影響,即對(duì)A和B粒子的測(cè)量結(jié)果統(tǒng)計(jì)分別示為p(a|x,λ)和p(b|y,λ),如果將所有的隱變量都納入考慮范圍,那么得到的測(cè)量結(jié)果應(yīng)該是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的,即聯(lián)合測(cè)量概率滿足:p(ab|xy,λ)=p(a|x,λ)p(b|y,λ)。若局域隱變量理論成立,那么對(duì)于A和B構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng),其聯(lián)合概率分布滿足為隱變量集合。如果聯(lián)合概率統(tǒng)計(jì)分布不能表示成該形式,則A和B構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)無(wú)法用局域?qū)嵲谡摫硎?必然具有量子力學(xué)所允許的非局域性。

自Bell起,后續(xù)研究又發(fā)現(xiàn)了大量可以區(qū)分局域?qū)嵲谡摵土孔臃蔷钟蛐缘呢悹栴惒坏仁?其中在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中最經(jīng)常使用的是CHSH不等式。貝爾不等式考慮A粒子與B粒子構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng),該復(fù)合系統(tǒng)處于狀態(tài)Alice和Bob分別對(duì)其進(jìn)行測(cè)量,只不過(guò)CHSH不等式所選擇的測(cè)量方式是特定的,即

式中X、Z為量子力學(xué)中的Pauli算符。任何一個(gè)針對(duì)二能級(jí)量子體系的測(cè)量都可以用Pauli算符的線性組合表達(dá)出來(lái),這幾種算符分別表示為

測(cè)量時(shí),Alice隨機(jī)選取測(cè)量算符A1、A2中的一個(gè),Bob隨機(jī)選取測(cè)量算符B1、B2中的一個(gè),根據(jù)定域性描述,Alice與Bob測(cè)量結(jié)果之間是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的,那么根據(jù)經(jīng)典概率論可以得到E(A1B1+A2B1+A2B2-A1B2)≤2。另一種情況下,根據(jù)量子力學(xué)測(cè)量理論,可以算出各期望值

由此可得

依據(jù)量子力學(xué)的觀點(diǎn),最終結(jié)果會(huì)違背CHSH不等式,即大于2。通過(guò)CHSH不等式可以判斷非定域性的有無(wú)。

1.2 非線性貝爾不等式

最近,Te’eni[28]提出了一種新型貝爾不等式,將原先貝爾不等式中貝爾參數(shù)由測(cè)量所得關(guān)聯(lián)函數(shù)的線性組合形式拓展成關(guān)聯(lián)函數(shù)線性組合的乘積的形式,這種乘法貝爾參數(shù)與n維空間中的特定體積成比例,n代表每一方可選擇的測(cè)量數(shù)目。考慮每個(gè)觀測(cè)者都采用n個(gè)測(cè)量,其相對(duì)應(yīng)的乘法貝爾參數(shù)可以定義為[28]

式中cij=E(a,b|i,j)是沿ai和bj方向測(cè)量的期望值,i=1,2,...,j+1。在理想情況下,Bn能夠達(dá)到量子邊界|Bn|=n!。對(duì)于Alice和Bob各自測(cè)量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的最簡(jiǎn)單情況,類似于CHSH場(chǎng)景所對(duì)應(yīng)的線性貝爾不等式。非線性貝爾不等式可以通過(guò)

和線性貝爾不等式相聯(lián)系起來(lái),式中B′n為線性貝爾不等式中貝爾參數(shù)的經(jīng)典界(即局域?qū)嵲谡撍试S的極限值)。由線性貝爾不等式的經(jīng)典界可以得到乘法貝爾不等式經(jīng)典界的值[29]

通過(guò)該方法可以找到非線性Bell不等式的經(jīng)典界限。研究發(fā)現(xiàn)理想非定域性條件下的測(cè)量值Bn=n!是可以超越經(jīng)典界限的。同時(shí),當(dāng)測(cè)量數(shù)量大于3個(gè)時(shí),非線性貝爾不等式的經(jīng)典界要遠(yuǎn)高于線性貝爾不等式。

2 算符分析

本研究研究在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中,態(tài)純度不理想的情況下非線性貝爾參數(shù)的違背情況。為使用數(shù)值方法研究非線性貝爾參數(shù)的最大違背,現(xiàn)對(duì)每個(gè)測(cè)量用兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)進(jìn)行表示,通過(guò)確定兩個(gè)角度θ和φ用Bloch矢量來(lái)表示Ai和Bj,即

式中σx、σy、σz分別為相應(yīng)的Pauli算符。非線性貝爾參數(shù)中測(cè)量的期望值表示為

通過(guò)Bloch矢量的表示形式,可以利用優(yōu)化函數(shù)對(duì)測(cè)量算符進(jìn)行優(yōu)化,從而得到最優(yōu)貝爾參數(shù)。

3 結(jié)果與討論

在n=2時(shí),針對(duì)線性貝爾不等式和非線性不等式考慮了三種糾纏態(tài)的情況:第一種是Werner態(tài),這種態(tài)是帶有高斯白噪聲的混合糾纏態(tài),其形式為第二種是具有隱藏非局域性[31,32]的態(tài),這種態(tài)比較特殊,因?yàn)橥ㄟ^(guò)局域?yàn)V波操作能夠提取其隱藏非局域性,其形式為;最后是純態(tài)的情況,其形式為ρ3=cosθ|00〉+sinθ|11〉,按照上述過(guò)程可以得到的線性貝爾不等式與非線性貝爾不等式違背曲線如圖2、圖3所示,其中點(diǎn)線代表ρ1,虛線代表ρ2,+型線代表ρ3,實(shí)線代表經(jīng)典界。該曲線實(shí)現(xiàn)了歸一化,其中此時(shí)線性貝爾不等式經(jīng)典界為非線性貝爾不等式經(jīng)典界為

圖2 n=2時(shí)線性貝爾不等式與參數(shù)p的關(guān)系Fig.2 Linear Bell inequality versus p with n=2

圖3 n=2時(shí)非線性貝爾不等式與參數(shù)p的關(guān)系Fig.3 Non-linear Bell inequality versus p with n=2

可以發(fā)現(xiàn):態(tài)ρ1情況下的線性貝爾值隨著噪聲參數(shù)的減小單調(diào)遞增,且在純態(tài)比例大于0.707時(shí)違背經(jīng)典界;在噪聲參數(shù)為整個(gè)態(tài)的74%時(shí),態(tài)ρ2的貝爾參數(shù)存在最小值,態(tài)ρ2在純態(tài)比例大于0.579時(shí)違背經(jīng)典界;對(duì)于純態(tài)ρ3來(lái)說(shuō),當(dāng)非線性貝爾參數(shù)達(dá)到最大違背值時(shí),對(duì)應(yīng)的量子態(tài)為最大糾纏態(tài)。在特定條件下,這三種情況的線性貝爾不等式和非線性貝爾不等式均能違背經(jīng)典界限。

還考慮了n=3情況下的三種態(tài)對(duì)非線性貝爾不等式的違背情況,如圖4所示?，F(xiàn)使用貝爾參數(shù)的最大違背值對(duì)任意態(tài)的貝爾參數(shù)進(jìn)行歸一化處理,其中B3max=3!=6,非線性貝爾不等式經(jīng)典界為這種情況下,由于測(cè)量數(shù)量增加了一個(gè),經(jīng)典界也會(huì)相應(yīng)增大,三種態(tài)對(duì)于違背非線性貝爾不等式所要滿足的噪聲參數(shù)要求更為苛刻。態(tài)ρ1和ρ2中純態(tài)比例均要到達(dá)0.85以上,態(tài)ρ3越靠近最大糾纏態(tài)越容易違背經(jīng)典界。

圖4 n=3時(shí)非線性貝爾不等式與參數(shù)p的關(guān)系Fig.4 Non-linear Bell inequality versus p with n=3

4 結(jié)論

量子非局域性是量子信息技術(shù)中的重要資源,非線性不等式是一種判定量子非局域性的重要工具。帶有噪聲的糾纏態(tài)廣泛應(yīng)用于量子通信、量子計(jì)算等領(lǐng)域,因而研究該類糾纏態(tài)非線性貝爾不等式的違背情況具有重要意義。以Werner態(tài)、具有隱藏非局域性的態(tài)、純態(tài)這三種典型的糾纏態(tài)為例開(kāi)展相關(guān)研究,并進(jìn)行了相應(yīng)數(shù)值仿真。數(shù)值研究結(jié)果表明若噪聲參數(shù)小到一定程度,這種帶有噪聲的糾纏態(tài)仍然能夠違背非線性貝爾不等式,測(cè)量數(shù)量越多,違背不等式的條件也就越苛刻,噪聲參數(shù)也需要更小。即使對(duì)于單一糾纏純態(tài),糾纏達(dá)到特定強(qiáng)度才能夠違背非線性貝爾不等式。這些研究結(jié)果豐富了人們對(duì)貝爾不等式的認(rèn)識(shí),對(duì)于實(shí)際貝爾實(shí)驗(yàn)中態(tài)的制備和選取具有參考和借鑒意義。