具有階段結(jié)構(gòu)種群模型的局部穩(wěn)定性分析

于倩

(吉林師范大學(xué) 吉林長春 130000)

廣義系統(tǒng)又可以叫作奇異系統(tǒng)，該系統(tǒng)理論的產(chǎn)生，已經(jīng)被諸多領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，比如電路系統(tǒng)理論、經(jīng)濟(jì)學(xué)系統(tǒng)理論、航天工程系統(tǒng)理論等。近年來，很多學(xué)者用廣義系統(tǒng)理論來研究多種生物種群動(dòng)力系統(tǒng)。文獻(xiàn)[1]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的食餌——捕食者系統(tǒng)以及具有階段結(jié)構(gòu)的單種群模型系統(tǒng)，并分析了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的是否具有穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[2-5]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的廣義食餌—捕食者系統(tǒng)，在這些文獻(xiàn)中所建立的系統(tǒng)，有考慮到食餌的幼年和成年的問題，也有考慮到捕食者的幼年和成年的問題，同樣的，也分析了系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)附近的局部動(dòng)態(tài)行為。

該文將繼續(xù)研究具有階段結(jié)構(gòu)的廣義食餌——捕食者系統(tǒng)。在該文中，系統(tǒng)中對(duì)于食餌和捕食者而言，考慮到了食餌的幼年和成年的問題，且捕食者僅捕獲成年的食餌。為了后續(xù)研究捕獲行為產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益問題系統(tǒng)中也將對(duì)捕食者進(jìn)行捕獲的經(jīng)濟(jì)因素考慮在內(nèi)。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1 勞斯-霍爾維茨判據(jù)[6]若系統(tǒng)的特征方程為

其中，當(dāng)k＞n時(shí)有ak=0，則q(λ)=0 根的實(shí)部均為負(fù)的充要條件是Ak＞0并且ak＞0。

引理2（奇異誘導(dǎo)分岔定理[7]）對(duì)于廣義系統(tǒng)

其中，x為n維系統(tǒng)變量，y為m維系統(tǒng)變量，λ表示p維數(shù)的系統(tǒng)參數(shù)。令D表示微分算子，Δ=det(Dyg),如果該系統(tǒng)在(0,0,δ0)滿足下列條件。

（1）f(0,0,δ0)=0,g(0,0,δ0)=0,Dyg在(0,0,δ0)附 近有一個(gè)零特征值并且trace(Dyfadj(Dyg)Dxg) ≠0。

在Rn+m+1空間內(nèi)，在系統(tǒng)式（1）的平衡點(diǎn)附近存在一個(gè)光滑曲面，該曲面通過并且與奇異曲面相切于(0,0,δ0)，系統(tǒng)式（1）在該平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)奇異誘導(dǎo)分岔。

當(dāng)δ增加通過δ0時(shí)，如果U/I＞0，那么系統(tǒng)式（1）在該平衡點(diǎn)的線性化矩陣的一個(gè)特征值從C-平面變化到C+平面，如果U/I＜0，那么系統(tǒng)式（1）在該平衡點(diǎn)的線性化矩陣的一個(gè)特征值從C+平面變化到C-平面；而系統(tǒng)式（1）其他特征值保持有界性并。其中

2 系統(tǒng)建立

假設(shè)該系統(tǒng)生存在一個(gè)特定的環(huán)境中，此環(huán)境中部分資源是有限的，而這部分資源又是系統(tǒng)內(nèi)各種群生存的必要條件；又假定生物群體的生長不受季節(jié)的影響；再假定在任何時(shí)期內(nèi)，對(duì)于具有階段結(jié)構(gòu)的種群的種群密度，幼年種群與成年種群成正比，則食餌的內(nèi)稟增長率為n，種群的死亡率與種群密度成比例，其中幼食餌種群的死亡比例系數(shù)為d1。成年食餌種群的死亡比例系數(shù)為d2，捕食者種群的死亡比例系數(shù)為d3；根據(jù)前面對(duì)于特定環(huán)境的假定，可以說明幼食餌種群內(nèi)部存在競爭，同樣，捕食者種群內(nèi)部也存在競爭，且種群的競爭行為和種群密度是成比例的，則令幼食餌的競爭比例系數(shù)為s1，捕食者的競爭比例系數(shù)為s2；該文對(duì)具有階段結(jié)構(gòu)的種群進(jìn)行研究，但只針對(duì)食餌種群的階段結(jié)構(gòu)，還未考慮捕食者種群的階段結(jié)構(gòu)因素，且僅對(duì)成年食餌進(jìn)行捕獲，捕食率為m。上述提到的各個(gè)參數(shù)均為正的常數(shù)，w表示捕食者種群的市場單位價(jià)格，c表示捕獲捕食者所產(chǎn)生的單位成本，v表示捕獲捕食者所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)收益。

根據(jù)以上的假設(shè)，可以建立如下廣義種群系統(tǒng)模型。

該系統(tǒng)滿足如下初值條件：

其中，x1(t)與x2(t)分別表示幼年食餌種群密度與成年食餌種群密度，y(t)表示捕食者種群密度，E(t)表示捕食者種群的捕獲努力量。

根據(jù)H.S.Gordon 提出有關(guān)公共資源理論[8]，該理論中指出，當(dāng)經(jīng)濟(jì)利益為零時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)“生態(tài)經(jīng)濟(jì)平衡”現(xiàn)象。在系統(tǒng)式（2）中，在正平衡點(diǎn)[9]處出現(xiàn)“生態(tài)經(jīng)濟(jì)平衡”現(xiàn)象，此時(shí)，可求得

系統(tǒng)局部穩(wěn)定性分析如下。

通過引理2，可令Δ=det(DEh)=wy(t) -c，通過簡單計(jì)算有

顯然，

通過以上的分析，可以整理得到以下4點(diǎn)：

（1）顯然f(0,0,0)=0,g(0,0,0)=0,DEh在正平衡點(diǎn)附近有一個(gè)零特征值且trace(DEfadj(DEh)DGh)|P*≠0。

（4）顯然可得

由以上內(nèi)容可得引理2中的3個(gè)條件均可滿足，所以系統(tǒng)式（2）在正平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)奇異誘導(dǎo)分岔，而且可以看出v等于0是分岔值。

經(jīng)過簡單計(jì)算可以得到

所以，由引理2 可以得到，當(dāng)v由小于0 增加到大于時(shí)0，如果U/I＞0，那么系統(tǒng)式（2）在該平衡點(diǎn)的線性化矩陣的一個(gè)特征值從C-平面變化到C+平面。

系統(tǒng)式（2）在正平衡點(diǎn)附近的線性化矩陣為

所以，系統(tǒng)式（2）在平衡點(diǎn)附近的特征方程為

由建立系統(tǒng)模型的條件以及式（3）可知，以下兩式成立

因此，根據(jù)引理1可以得知系統(tǒng)式（2）在正平衡點(diǎn)的線性化矩陣的其余兩個(gè)特征值λ2,λ3都具有負(fù)實(shí)部.又通過以上證明可知，當(dāng)v由小于0 增加到大于0 時(shí)，只有特征值λ1從C-平面變化到C+平面，而λ2,λ3這兩個(gè)特征值一直處在在C-平面，并且他們的變化是連續(xù)且有界的，也就是說，只有λ1的變化對(duì)系統(tǒng)式（2）在正平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性有影響，而λ2,λ3不影響系統(tǒng)式（2）在正平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性。如表1中給出當(dāng)v由負(fù)到正通過0時(shí)，λi(i=1,2,3)實(shí)部的變化情況。

表1 系統(tǒng)式（2）在正平衡點(diǎn)附近的線性化矩陣特征值實(shí)部符號(hào)

根據(jù)表1可以得出當(dāng)v＜0時(shí)，系統(tǒng)式（2）在正平衡點(diǎn)附近穩(wěn)定；當(dāng)v＞0 時(shí)，系統(tǒng)式（2）在正平衡點(diǎn)附近不穩(wěn)定[10,11]。

3 結(jié)語

上述證明結(jié)論表明，當(dāng)v由小于0 增加到大于0時(shí)，系統(tǒng)式（2）正平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)SIB分岔并且不具有穩(wěn)定性，且分岔值為v=0。而SIB 分岔會(huì)導(dǎo)致脈沖現(xiàn)象，這可能會(huì)使模型系統(tǒng)式（2）崩潰，也就是說，當(dāng)經(jīng)濟(jì)利益為正時(shí)，會(huì)阻礙生態(tài)系統(tǒng)捕獲的可持續(xù)發(fā)展，因此為了使生物資源的可持續(xù)發(fā)展，應(yīng)該在經(jīng)濟(jì)上能夠獲取收益時(shí)，消除奇異誘導(dǎo)分岔引起的脈沖現(xiàn)象，使模型系統(tǒng)式（2）穩(wěn)定，此部分內(nèi)容將作為筆者的后續(xù)研究內(nèi)容。