水平電場下界面波的Hamilton 原理與多尺度建模

王 展

中國科學院力學研究所，北京 100190

中國科學院大學工程科學學院，北京 100049

1 引 言

現(xiàn)代電流體界面力學發(fā)軔于20 世紀六十年代, 美國的Melcher (1963)與英國的Taylor(1964)是該領域的開創(chuàng)者. Taylor 的出發(fā)點是研究水滴在強電場(如雷電)下的崩解, 隨后他將問題抽象成垂直作用于導電液體自由表面的電場對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響, 由此發(fā)現(xiàn)了“Taylor 錐”這一重要的物理現(xiàn)象. 垂直電場令導電流體失穩(wěn)這一發(fā)現(xiàn)在后來的靜電噴霧技術中發(fā)揮了重要作用, 被廣泛應用于涂層工藝、冷卻系統(tǒng)、微流控等工業(yè)領域. 與之相反, Melcher 則更關注平行于電介質流體間界面的電場對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響(Melcher 1968). 在無黏假設之下, 水平電場為界面上的線性波貢獻色散效應, 故可延緩液膜斷裂的形成, 甚至抑制Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性(Barannyk 2015, Guan 2022).

近二三十年來, 對電場下無黏液膜自由表面波/界面波的研究, 無論是基于對多尺度約化模型的理論分析還是對原始Euler 方程的直接數(shù)值模擬, 都越來越聚焦于界面波動的非線性特征.例如, 電場作用下液膜界面的觸壁奇異性(即形變界面觸碰到槽道上下壁)(Barannyk 2015)、電場作用下的Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性(Mohamed 1983)、完全非線性Euler 方程中任意大振幅的電毛細孤立波(Guan 2022)等. 在過去的幾十年間, 對電流體界面波非線性約化模型的研究往往集中于二維流體, 流體力學家和應用數(shù)學家建立了大量新的多尺度非線性模型, 感興趣的讀者可參看D. T. Papageorgiou 教授于2019 年發(fā)表在《流體力學年鑒》上的綜述文章(Papageorgiou 2019).

本文聚焦三維流體系統(tǒng)中非線性電流體界面波的多尺度建模. 研究對象限于無黏不可壓縮流體, 討論槽道內(nèi)上下疊放的兩種不相溶電介質流體在電場力、重力、界面張力共同作用下的界面波動問題. 為簡單起見, 假設每層流體的運動都是無旋的; 在界面有形變的情況下, 水平電場通過Maxwell 應力作用于界面; 第3 節(jié)證明該自由界面問題構成一個Hamilton 系統(tǒng). 第4 節(jié)引入處理位勢方程的關鍵-Dirichlet-Neumann算子,并在此基礎上重寫Hamilton量中的動能與電勢能. 第5 節(jié)提出一種利用Dirichlet-Neumann 算子的解析性質建立非線性多尺度模型的普適方法, 并以“上層深水、下層淺水”為例給出詳細的推導過程, 建立全新的約化模型. 結論與進一步的拓展在第6 節(jié)中討論.

2 問題的數(shù)學描述

圖1水平電場下兩層電介質流體間界面波問題的概圖.

從物理上來講, 有關電場的無穿透邊界條件用于模擬電絕緣壁(見Barannyk 2015, Guan 2022). 方程(1)(2)(4)(5)(7) ～ (11)構成水平電場下理想電介質流體界面問題的完整數(shù)學描述.

3 Hamilton 原理

這一節(jié)將證明, 在假定方程(1)(2)和(7) ～ (11)成立的前提下, 式(4)和式(5)構成一個Hamilton 系統(tǒng). V. E. Zakharov 在1968 年開創(chuàng)性地給出了水波動力學的Hamilton 原理(這一經(jīng)典工作的中譯本請見(Zakharov 2021), 讀者也可閱讀綜述(張寶善 1998)以了解更多相關內(nèi)容).以Zakharov 為代表的前蘇聯(lián)波動力學學派應該也知道電流體界面力學的Hamilton 原理, 盡管他們并沒有給出任何推導過程(如Zubarev 2013). 但事實上, 他們關于該問題在深水情形下的結論并非顯而易見, 這里我們給出任意水深情形下的詳細證明.

在不存在電場的情況下(等價于令E0=0 ), 式(4)和式(5)亦構成Hamilton 系統(tǒng), Hamilton 量為系統(tǒng)的總能量H, 而兩個正則變量則為界面形變η和廣義沖量ξ=ρ-φ-(x,y,η,t)-ρ+φ+(x,y,η,t)(界面上下速度位勢的線性組合), 即

其中動能Ek和勢能Ep的具體表達式為

比較式(21)和式(9), 即完成證明.

4 Dirichlet-Neumann 算子

ξ±=φ±(x,y,η,t)W=W±(x,y,η,t)

定義 和 為未知函數(shù)在界面上的值, 根據(jù)方程(1)(2)及上下壁處的無穿透條件式(10)、式(11), 界面上未知量的法向導數(shù)可表示為

其中 Δ =?xx+?yy是平面上的Laplace 算子. 利用Dirichlet-Neumann 算子, 方程(8)可改寫為

5 多尺度建模

約化模型(43)和(40)中存在“塊狀波”解(lump), 一種在三維空間中完全局域化的行進波(即局部波動在保持形狀不變的情況下以固定速度直線傳播). 這里采用修正的Petviashvili 迭代技巧計算塊狀波, 具體的數(shù)值格式可參看(Wang 2022), 此處只簡單敘述結果. 假設塊狀波沿x方向以速度c進行傳播, 圖2 給出了c=0.5 時塊狀波波形, 此時其他參數(shù)為:μ=0.1 ,Bo=10 ,Be=1,R=0.99 .

水平電場下的界面波表現(xiàn)出有趣的動力學行為, 尤其是在抑制Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性、界面的觸壁奇性、自相似解等方面(低維問題的相關結果可參看Barannyk 2015), 許多行為可以用目前建立的約化模型來展現(xiàn); 因篇幅原因, 關于方程組(43)和(40)的行波解全局分岔機理、系統(tǒng)穩(wěn)定性與動力學等問題的研究留待將來.

若假設界面振幅遠小于h-, 方程組(43)(40)可簡化為弱非線性的二維Benjamin 方程(感興趣的讀者可參看(Guan 2022), 盡管那篇文章中只給出了一維Benjamin 方程的推導過程). 從上面的例子可以看出, 在長波、短波、小振幅波、有限振幅波等不同尺度的假設之下, 利用Dirichlet-Neumann 算子的解析性質, 可合理展開Hamilton 量中的動能與電勢能, 截斷后取變分導數(shù)即可得到各類約化模型. 特別地, 不難得到“上層淺水、下層淺水”的弱非線性弱色散的Boussinesq 型方程組與Kadomtsev-Petviashvili 型方程, 以及“上層深水、下層深水”的全色散弱非線性的Whitham 型方程. 囿于篇幅, 這里不再一一贅述推導過程, 有興趣的讀者可自行驗證.

圖2典型的“塊狀波”波形圖, 波移動的速度為 c =0.5 , 其余的參數(shù)為: μ =0.1 , B o =10 , B e =1 , R =0.99 .

6 結論與討論

本文研究兩種電介質流體間的界面在水平電場作用下的波動問題. 證明了該自由邊界問題具有Hamilton 結構, 其Hamilton 量為總能量, 而正則變量為界面形變η與廣義沖量ρ-φ--ρ+φ+.引入位勢問題中至關重要的Dirichlet-Neumann 算子可改寫Hamilton 量中有關動能與電勢能的部分. 在此基礎上, 利用Dirichlet-Neumann 算子的解析性質, 可以將原來的三維問題簡化為二維問題. 最后, 按照所研究問題的時間與空間尺度的具體情況, 對Hamilton 量進行展開與截斷, 通過計算變分導數(shù)即可得到所需的約化模型. 這一套漸近方法具有一定的普適性, 可導出各類多尺度模型, 文章僅以“上層深水、下層淺水”為例進行了詳細說明. 相比于作者在(Guan 2022)中提出的多尺度建模方法, 本文提出的方法由于直接截斷Hamilton 量進行變分, 所得的約化模型天然具有Hamilton 結構, 是更為直截了當?shù)姆椒?

在無黏不可壓縮的假設之下, 因水平電場為電介質流體系統(tǒng)提供了更多的色散效應, 故起到了穩(wěn)定系統(tǒng)之作用. 但是水平電場的存在也破壞了系統(tǒng)的對稱性, 這一點非常明顯地展示在色散關系式(41)和式(44)中, 也就是說從線性理論層面來看, 水平電場的穩(wěn)定作用對那些垂直于電場方向傳播的波而言是無效的. 最后需要指出, 使用Hamilton 正則變量來構造模型并不一定是最優(yōu)的, 某些時候直接使用非正則變量所得到模型形式上更為簡潔(見(Guan 2022)中的討論).

致 謝 感謝中國科學院力學研究所的許葛幸在此領域與作者的有益討論. 本項目受中國科學院B 類戰(zhàn)略先導(XDB22040203)與中國科學院青年交叉團隊項目的資助.