努森真空泵內(nèi)部流導(dǎo)的蒙特卡洛模擬

＊王范宇 柯杰坤 譚麗萍 盧葦

（廣西大學(xué)機械工程學(xué)院 廣西 530004）

微機電系統(tǒng)（MEMS）的興起要求真空泵逐步向微型化發(fā)展，結(jié)構(gòu)簡單且無運動部件的努森泵逐漸成為一種具有競爭力的微型真空泵[1]。Vargo and Muntz[2]定性研究了努森泵的運行特性，并且證實了將努森泵用作微尺度和宏觀尺度真空泵的可行性。Kugimoto等[3]指出需要多級串并聯(lián)提高泵送性能?？紤]努森真空泵抽速問題，通常采用多個微通道并聯(lián)或者多孔膜來增加真空泵的抽吸能力。

流導(dǎo)對于真空系統(tǒng)有著重要意義。鑒于努森真空泵內(nèi)部的微通道中也存在流導(dǎo)，可見其流導(dǎo)性能也是此類真空泵固有的重要參數(shù)。王博韜等[4]研究熱流逸效應(yīng)抽真空特性后發(fā)現(xiàn)，微通道的流導(dǎo)在很大程度上影響著抽氣時間、抽速等性能指標(biāo)。當(dāng)前大多運用半經(jīng)驗公式來計算流導(dǎo)，場合不同，修正系數(shù)也要隨之校正，使得計算結(jié)果較復(fù)雜且容易受其他因素產(chǎn)生較大影響。故嘗試采用蒙特卡洛方法計算流導(dǎo)，或?qū)⒂兄谖覀兏钊氲卣J(rèn)識這類真空泵的運行機制，進(jìn)而為其優(yōu)化設(shè)計及應(yīng)用提供指導(dǎo)。

1.努森真空泵內(nèi)部流導(dǎo)的蒙特卡洛模擬建模

(1)模擬對象

圖1為努森真空泵的結(jié)構(gòu)示意圖，當(dāng)微通道的特征尺寸與氣體分子平均自由程度相當(dāng)或更小且沿壁面切線方向存在溫度梯度時，內(nèi)壁周圍的氣體分子會自發(fā)地向溫度升高的方向進(jìn)行蠕動，隨著流動的發(fā)展，熱端與冷端形成壓差后又產(chǎn)生由熱端流向冷端的壓力驅(qū)動流，這一現(xiàn)象稱為熱流逸效應(yīng)。根據(jù)該效應(yīng)，當(dāng)微通道冷端連接密閉空間而熱端連接外界（可以是大氣、也可以是另一空間）時，密閉空間內(nèi)的氣體分子會源源不斷被抽出，從而使其內(nèi)的壓力不斷降低而形成真空。

圖1 努森真空泵的結(jié)構(gòu)及熱流逸效應(yīng)

微通道的流導(dǎo)是影響努森真空泵效率的一個重要因素。當(dāng)熱流逸效應(yīng)發(fā)生時，氣體流動處于稀薄狀態(tài)，分子之間的碰撞可以忽略，此時計算相對較為簡單。

本文只考慮矩形截面微通道內(nèi)氣流的幾何要素，氣體的溫度和壓力等其他非幾何要素折合為管口入口流導(dǎo)Cmk處理[5]。這樣便能夠把幾何要素和非幾何要素分別研究。矩形微通道管口流導(dǎo)就是氣體分子通過微孔的流導(dǎo)，即：

式中，Aa為微通道的截面積，m2；k為玻爾茲曼常數(shù)，k=1.380649×10-23J/K；Tavg為微通道的平均溫度，K；m為氣體分子的質(zhì)量，kg。

幾何要素包括微通道的特征尺寸和氣體分子的幾何運動。氣體分子的流動區(qū)域與微通道特征尺寸相關(guān)，根據(jù)努森數(shù)Kn來劃分。Kn定義為：

式中，λ為氣體分子平均自由程，m；Lr為微通道的特征尺寸，m。

微通道內(nèi)氣體運動達(dá)到平衡時兩端的壓力和溫度關(guān)系可參考文獻(xiàn)[6]。

(2)蒙特卡洛模擬過程

參考圖2，入射點為入射面XOZ上的隨機一點，對應(yīng)坐標(biāo)（x0,0,z0）；分子入射遵循余弦定律；μ1、μ2、μ3分別代表分子入射方向向量在X、Y、Z軸上的向量分量；L、W、H分別為微通道截面矩形的長、寬、高；①②③④分別為矩形微通道的4個壁面。

圖2 氣體分子碰撞模型及其入射參數(shù)

對于上述入射參數(shù)，建立如下隨機數(shù)量關(guān)系：x0=Wδ1，z0=Hδ2；μ1=sinδ3·cosδ4，μ2=sinδ3·sinδ4，μ3=cosδ3，式中的δi均為[0,1]區(qū)間的隨機數(shù)。再根據(jù)x1=x0+α1μ1，y1=y0+α1μ2z1=z0+α1μ3（α1為第一次運動步長）計算出第一次運動后的碰撞點（x1，y1，z1）。如此時y1≥L，則說明未產(chǎn)生碰撞直接從出口面射出。否則，再以此點作為新的入射點，建立新的入射方向向量，模擬一次新的運動，以此類推，直至yi超出[0，1]的區(qū)間。

圖3為模擬流程，取模擬分子總數(shù)N= 100000；n為射出出口面的分子數(shù)；k為射入入口面的分子數(shù)；Cmk為管口入口的流導(dǎo)，m3/s；Cm為矩形微通道的流導(dǎo)（自由分子流下），m3/s。第一次運動氣體分子有4種碰撞情況未從出口面射出，第二次運動及往后均有3種情況，因此經(jīng)過M次運動每個分子一共有4×3M-1種情況。

圖3 模擬流程

2.微通道流導(dǎo)的模擬結(jié)果分析

(1)矩形微通道流導(dǎo)的模擬結(jié)果分析

蒙特卡羅模擬僅與微通道的相對尺寸相關(guān)。本文取微通道的W為定值，以微通道的L/W和H/W作為變量進(jìn)行分析。

不同長寬比下矩形微通道高寬比對流導(dǎo)的影響見圖4，若L/W一定，隨著H/W的增大，矩形微通道的流導(dǎo)也將基本趨于線性增大。例如，當(dāng)L/W=20時，取H/W=1到10的區(qū)間，其流導(dǎo)增長率為4.60×10-24m3/s。此外，隨著L/W值越大（即管路越長的時候），流導(dǎo)雖然也會隨著H/W增大而增大，但是增長率卻越來越小，如在L/W=800時，流導(dǎo)的平均變化率僅為2.45×10-25m3/s。

圖4 矩形微通道高寬比對流導(dǎo)的影響

不同高寬比下矩形微通道長度對流導(dǎo)的影響見圖5，矩形微通道的流導(dǎo)隨L的增大而減??；當(dāng)L較小時，H/W越大流導(dǎo)越小，但隨著L的增大，H/W對流導(dǎo)的影響越小。如以L=20nm為例，當(dāng)H/W=1、5、100時，其流導(dǎo)分別為5.39×10-23m3/s、5.07×10-23m3/s、9.71×10-24m3/s，取H/W=1為參照，H/W=5和H/W=100時相對于參照的變化率約為-6.02%和-81.99%。若以L=800nm為例，當(dāng)H/W=1、5、100時，其流導(dǎo)分別為1.91×10-24m3/s、1.84×10-24m3/s、1.17×10-24m3/s，取H/W=1為參照，H/W=5和H/W=100時相對于參照的變化率約為-3.51%和-61.40%。

圖5 矩形微通道長度對流導(dǎo)的影響

因此由流導(dǎo)性能作為切入點，增大努森真空泵微通道的截面積能更好地提升流導(dǎo)性能；且在截面積相同的情況下令H/W盡可能接近1，此時短微通道具有顯著優(yōu)勢。

(2)不同形狀微通道流導(dǎo)的模擬結(jié)果對比分析

三種截面形狀下微通道長度對流導(dǎo)的影響見圖6?？梢姛o論何種截面形狀的微通道，流導(dǎo)都隨著L的增加而減小且變化率基本一致；圓形截面的流導(dǎo)性能要優(yōu)于橢圓形和矩形，但隨著L的增加截面形狀對流導(dǎo)的影響越小。如L=20nm時，矩形和橢圓形微通道的流導(dǎo)與圓形微通道的流導(dǎo)分別相差約1.13×10-23m3/s和1.44×10-23m3/s；而L=800nm時，矩形和橢圓形微通道的流導(dǎo)與圓形微通道的流導(dǎo)分別相差僅約5.70×10-25m3/s和1.40×10-25m3/s。

圖6 三種截面形狀下微通道長度對流導(dǎo)的影響

因此在設(shè)計努森真空泵時，應(yīng)采用圓形截面微通道。

(3)模擬結(jié)果與計算結(jié)果對比分析

矩形微通道流導(dǎo)模擬結(jié)果與計算結(jié)果對比見圖7。微通道長度Lx=10-9m時，蒙特卡洛模擬結(jié)果與公式計算結(jié)果相對誤差僅僅為1.31%，但是在微通道長度Lx=3×10-8m時，模擬結(jié)果與公式計算結(jié)果相對誤差為9.58%。這是因為蒙特卡洛模擬是一種概率統(tǒng)計的模擬，這種誤差會隨著模擬分子數(shù)的增加而減小，但模擬無限個分子僅限于理想理論假設(shè)，是無法實現(xiàn)的，故本身就會存在固有誤差；其次，在短微通道的流導(dǎo)計算中，微通道的管口效應(yīng)是不可忽略的，且短微通道的流導(dǎo)計算只能用近似方法進(jìn)行計算，無明確公式?？梢妰煞N結(jié)果之間還存在一定的誤差，但是模擬結(jié)果與公式計算結(jié)果的趨勢基本相同且誤差在允許范圍之內(nèi)，因此蒙特卡洛模擬方法用于研究微通道流導(dǎo)是可行的。

圖7 模擬結(jié)果與公式計算對比

3.結(jié)論

本文研究了矩形微通道高寬比和長度對其流導(dǎo)的影響，比對了三種截面形狀流導(dǎo)性能，并驗證了蒙特卡洛模擬方法計算微通道流導(dǎo)的可行性。主要結(jié)論如下：

（1）長度一定時，流導(dǎo)會隨著高寬比的增大而近乎線性增大，但隨著長度增大，其變化率越??；高寬比一定時，流導(dǎo)會隨著長度的增加而衰減，但隨著長度增大，由高寬比對流導(dǎo)產(chǎn)生的影響越來越??；此外，無論何種形狀截面的微通道，其長度對流導(dǎo)的影響趨勢基本一致；蒙特卡洛模擬結(jié)果與公式計算結(jié)果還存在一定誤差，但變化趨勢大體相同。

（2）運用蒙特卡洛模擬方法求微通道流導(dǎo)是可行的；短微通道較長微通道的流導(dǎo)性能更優(yōu)，增大截面積并盡可能令高寬比等于1可顯著提升流導(dǎo)性能；三種截面形狀對比下圓形截面微通道的流導(dǎo)性能總是最佳。