內(nèi)置有水平擋板的矩形儲液器非線性晃動分析

鐘文坤，吳玖榮，傅繼陽，孫連楊，黃 鵬

(廣州大學風工程與工程振動研究中心，廣州 510006)

部分充液儲液器內(nèi)液體的晃動常見于航空航天、海洋船舶及液罐車等領域，在較大外激勵作用下，儲液器內(nèi)液體會出現(xiàn)明顯的非線性晃動現(xiàn)象。液體的非線性晃動包含非常復雜的動力學機理[1-4]，不同模態(tài)之間相互耦合，高階模態(tài)被激發(fā)，使得高階模態(tài)對液面波高的貢獻成分變大甚至超過最低價模態(tài)，進而也導致了線性模態(tài)理論的失效。儲液器內(nèi)液體發(fā)生非線性晃動后，會對儲液器內(nèi)壁產(chǎn)生較大的壓力及作用力矩，嚴重影響結構的穩(wěn)定性和安全性，因此，進一步了解儲液器內(nèi)液體的非線性晃動特性有著重要的意義。

對于儲液器內(nèi)液體的非線性晃動問題，已有大量學者進行了研究。FALTISEN 等[5-6]利用Bateman-Luke 變分原理和模態(tài)方法推導了液體非線性晃動的模態(tài)方程，并利用該模態(tài)方程研究了二維矩形儲液器內(nèi)液體晃動的非線性問題。LOVE 等[7]利用FALTISEN 等的理論研究了內(nèi)置有格柵的二維矩形儲液器內(nèi)液體的非線性晃動，結果表明：考慮三階與五階模態(tài)方程組合得到的液面波高、晃動力基本一致，且與試驗值較接近，而線性解卻明顯低估了液面波高；同時他還研究了內(nèi)置有十字柱的二維矩形儲液器內(nèi)液體的非線性晃動，并利用振動臺試驗進行了驗證，結果表明：利用多維模態(tài)方程求解的值與試驗值較接近[8]。李遇春等[9]利用FALTISEN 等的理論進一步研究了二維矩形儲液器分別在地震激勵、水平簡諧激勵、豎向簡諧激勵下液體的非線性晃動響應，結果表明：多模態(tài)方法在求解長時間非線性響應分析上具有較好的優(yōu)勢。GURUSAMY 等[10]利用試驗研究了淺水水箱在不同水深比、長寬比、激勵幅值及激頻比下液體的非線性晃動問題；YAN 等[11]采用基于速度勢的Boussinesq方程求解了淺水矩形水池中的三維非線性晃動運動問題，并利用數(shù)值模擬進行了驗證；XIN 等[12]基于笛卡爾網(wǎng)格的三維多相流模型，利用數(shù)值方法研究了帶或不帶擋板的棱柱形儲罐中的大振幅晃動問題。余延生等[13-14]把FALTISEN 等的理論進一步應用到求解二維圓柱形儲液器液體的非線性晃動問題，并利用漸進關系把無窮維的模態(tài)系統(tǒng)降價為五維的模態(tài)系統(tǒng)，結果表明：利用五維模態(tài)方程求解后得到的液面波高與實驗結果較吻合。張海濤等[15]針對矩形儲液器的非線性晃動問題，提出了一種基于有限差分算法的數(shù)值模擬方法，結果表明：該方法具有較好的收斂性和準確性；同時，他還利用振動臺試驗研究了矩形儲液器內(nèi)液體非線性晃動的拍振和共振問題[16]。王佳棟等[17]基于流體子域法建立了流體非線性晃動的無窮模態(tài)系統(tǒng)，并通過模態(tài)漸進關系得到有限維的模態(tài)系統(tǒng)，最后利用有限維模態(tài)系統(tǒng)研究了地震激勵下帶有多層剛性隔板圓柱形儲液器內(nèi)液體晃動的非線性響應，結果表明：防晃板的設計不能忽略液體晃動非線性效應。

為減小儲液器內(nèi)液體的非線性晃動響應，可在儲液器內(nèi)部安裝水平擋板、豎直擋板、格柵及立柱等耗能裝置[18-19]。該類裝置可有效提高儲液器的阻尼，進而可有效抑制液體的晃動。盡管已有大量的學者對儲液器內(nèi)液體的非線性晃動進行了研究，儲液器的減晃工作也得到進一步完善，但仍存在以下兩方面不足：一方面，對于水平擋板類的耗能裝置，由于其制作簡單且便于安裝，被廣泛應用于儲液器的減晃，但在利用多模態(tài)方程研究儲液器的非線性晃動響應過程中，基本都忽略了擋板所提供的附加非線性阻尼項；另一方面，儲液器內(nèi)安裝了耗能裝置后，會給儲液器帶來附加質(zhì)量，附加質(zhì)量會降低儲液器的晃動頻率，也會影響阻尼比估算公式的準確性。附加質(zhì)量的定義為：與淹沒或者部分淹沒的結構元件一起運動的水所夾帶的質(zhì)量，一般由勢流理論來確定[20]。

基于此，本文以內(nèi)置有水平擋板的矩形儲液器為研究對象，利用勢流理論、虛功原理推導了由水平擋板所提供的非線性阻尼比表達式，同時考慮水平擋板對儲液器晃動頻率的影響對非線性阻尼比進行了修正，再利用FALTISEN 等的非線性模態(tài)理論，研究了不同水平擋板位置、長度下儲液器內(nèi)液體的非線性晃動響應特性，并利用Fluent軟件進行數(shù)值模擬，并與理論模型的分析結果進行對比。

1 非線性阻尼比推導

1.1 流體勢流理論

以矩形儲液器為研究對象，假定儲液器安裝有多塊水平擋板，且只考慮x、z兩個方向，如圖1所示。圖1 中：h為儲液器靜止水深；L為長度；lb為水平擋板長度；zi為水平擋板位置；η(x,t)為液面晃動波高。

1.2 虛功原理

ζn為非線性阻尼比，表示為：

2 非線性晃動三階模態(tài)方程

本節(jié)采用FALTINSEN 等[5]推導的二維矩形儲液器非線性晃動三階模態(tài)方程，該篇文獻中所推導的某些方程系數(shù)存在錯誤，但在他的著作《Sloshing》[24]中已經(jīng)進行了更正，所以以下所給的方程系數(shù)是已經(jīng)更正的系數(shù)[24]：式中，X¨為儲液器底部的加速度激勵，該方程并未考慮儲液器中阻尼項的影響，而對于安裝有水平擋板等耗能裝置的儲液器，其阻尼由液體的粘滯阻尼及耗能裝置所提供的阻尼兩部分組成。與耗能裝置所提供的阻尼相比，由水的粘性所提供的阻尼較小，可忽略不計，但對于小縮尺比的儲液器，水的粘滯阻尼影響卻比較大[23]，為提高理論的估算效果，把水的粘滯阻尼值一并計入儲液器的總阻尼值中。考慮阻尼項的儲液器非線性晃動三階模態(tài)方程為：

式中：ν為水的粘度；b為儲液器的寬度；SC為水的表面光滑因子，通常取1。

把式(24)轉化為標準的一階常微分方程組后，再用Runge-Kutta 法進行求解，求解后的值代入式(6)可得到矩形儲液器的液面波高，儲液器晃動力的計算公式為[7]：

3 液體晃動的數(shù)值模擬

為驗證上述理論模型的可靠性，本節(jié)利用Fluent 軟件進行數(shù)值模擬，對應的矩形儲液器儲液器模型如圖2 所示。計算過程中，采用VOF 多相流模型來追蹤自由液面波高，模型受到的底部激勵為正弦加速度激勵y=ω2X0sin(ωt)，X0為激勵幅值，通過UDF(用戶自定義函數(shù))施加，方向為沿儲液器長度方向。模型的尺寸為：0.6 m (長)×0.375 m (寬) ×0.8 m (高)，在左右側壁對稱安裝單塊水平擋板。采用的有限體積法模型的網(wǎng)格尺寸大小為2 mm，時間步長為0.002 s，分別在儲液器中設置不同的水平擋板位置、長度進行仿真計算，具體見表1。

圖2 矩形儲液器模型Fig. 2 Rectangular storage tank model

表1 數(shù)值模擬工況Table 1 Parameters in numerical simulation

本文選擇用Fluent 軟件進行數(shù)值模擬的目的，是進一步以驗證理論模型的準確性，考慮到試驗過程中，水平擋板的安裝及固定并非是一件易事，特別對于長度較長的水平擋板。為驗證數(shù)值模擬結果的準確性，以安裝有單塊垂直擋板的矩形儲液器為例(垂直擋板在儲液器中部)，利用振動臺試驗進行驗證，振動臺試驗裝置如圖3 所示。試驗儲液器的尺寸大小為0.62 m(長)×0.395 m(寬)×0.81 m(高)，由有機玻璃制作而成，厚度為1 cm；試驗中的垂直擋板也為有機玻璃制作而成，厚度為0.8 cm。水的晃動波高利用電容式數(shù)字波高儀采集，采樣頻率為100 Hz，放置在距儲液器左側壁1 cm 處。儲液器的基底剪力采用由瑞士KISTLER公司生產(chǎn)的剪力傳感器測量，一共4 個，剪力傳感器測得的值包括兩部分：TLD 矩形儲液器中水的晃動所產(chǎn)生的剪切力；臺面連接構件及儲液器本身所產(chǎn)生的慣性力。因此，剪力傳感器測量值需減去慣性力才能得到TLD 矩形儲液器的晃動力。振動臺對儲液器施加的激勵為正弦激勵，試驗工況見表2，lb為垂直擋板的高度。

圖3 振動臺試驗裝置Fig. 3 Shaking table test

表2 試驗工況Table 2 Parameters in Experiment

限于篇幅，以下只給出如圖4 所示的工況對比圖，由圖4 可知，采用數(shù)值模擬得到的儲液器液面波高、晃動力與振動臺試驗測量結果較接近，具有較好的模擬效果。因此，本文所采用的數(shù)值模擬方法具有較好的精度，可利用數(shù)值模擬來驗證理論模型的準確性。

圖4 試驗與數(shù)值模擬對比Fig. 4 Comparison between experiment and numerical simulation

4 結果分析

本節(jié)分別給出儲液器側壁液面波高、晃動力的理論值與數(shù)值模擬值對比圖。為避免縮尺效應影響，波高與晃動力分別采用如下方法進行無量綱化處理：

4.1 水平擋板位置對儲液器晃動特性影響

限于篇幅，圖5 只給出水平擋板位置zi/h分別在0.1、0.3、0.5、0.7、0.8 及0.9 下儲液器側壁液面波高與晃動力的理論值與數(shù)值模擬值對比圖。由圖5 可知，水平擋板位置小于0.5h時(即靠近于儲液器底部)，液體非線性晃動現(xiàn)象較明顯，利用非線性三階模態(tài)方程得到的波高、晃動力與數(shù)值模擬結果較接近，而僅采用一階線性的貢獻時，卻明顯低估了儲液器液面波高，但求解的晃動力卻與非線性值基本一致。這表明，即使儲液器液體在非線性晃動下，采用線性理論模型計算晃動力也能獲得較好的預測效果，可從式 (26)中解釋這一現(xiàn)象。在給定底部加速度激勵作用下的模態(tài)響應βn(t)，較高階奇數(shù)模態(tài)對儲液器總晃動力的貢獻較小[8]，而偶數(shù)階的模態(tài)對儲液器總晃動力不起貢獻作用，所以采用線性模態(tài)理論也能較好地預測儲液器晃動力。隨著水平擋板到自由液面的距離逐漸變小(即越來越靠近自由液面)，其提供的阻尼比也增大，液體晃動呈線性變化。當水平擋板位置大于0.9h時，即靠近于自由液面，采用非線性模型計算的液面波高與晃動力明顯低于數(shù)值模擬結果，此時非線性模型失效。這是因為水平擋板靠近自由液面時，對液體的晃動運動趨勢影響較大，能明顯的改變液體流動方向。

圖5 波高、晃動力的理論值與數(shù)值模擬值對比(擋板位置變化)Fig. 5 Comparison in the wave heights and sloshing forces between analytical and numerical simulation results (with variation in baffle location)

圖6 給出了不同水平擋板位置下儲液器液面波高與晃動力對比圖(數(shù)值模擬值)，由圖6 可知，隨著水平擋板逐漸靠近自由液面，液面波高與晃動力幅值減小，這說明水平擋板越靠近于液面，對液體晃動的抑制效果越明顯。表3 詳細地給出了不同水平擋板位置下儲液器的晃動頻率值，從表中可以發(fā)現(xiàn)，隨著水平擋板到自由液面距離的減小，儲液器晃動頻率也逐漸減小，減小幅度最大值可達5.7%。這說明，當水平擋板較接近于液面時，對儲液器晃動頻率影響較明顯，不能忽略，而利用式(20)進行修正后的晃動頻率與數(shù)值模擬測得的值較接近，能獲得較好的預測效果。

表3 水平擋板位置變化對儲液器晃動頻率影響(lb/L=0.1)Table 3 Effect of the horizontal baffle location on water sloshing frequency in storage tank (lb/L=0.1)

圖6 不同水平擋板位置下液面波高與晃動力對比圖(數(shù)值模擬值)Fig. 6 Variation in wave height and sloshing force with the location of horizontal baffles

4.2 水平擋板長度對儲液器晃動特性影響

限于篇幅，圖7 只給出水平擋板長度lb/L為0.05、0.15、0.25 及0.3 工況下儲液器液面波高與晃動力的理論值與數(shù)值模擬值對比圖。由圖7 可知，水平擋板長度小于0.15L，液體非線性晃動現(xiàn)象比較明顯，利用本文的非線性理論模型得到的計算結果與數(shù)值結果較接近，能獲得較好的估算效果，而線性理論同樣會低估了液面波高，但晃動力值卻仍與非線性值接近，原因同4.1 節(jié)所述一致。隨著水平擋板長度增大，液體晃動逐漸呈線性變化，非線性值與線性值都與數(shù)值結果較接近，能獲得較好的預測效果。

圖7 波高、晃動力的理論值與數(shù)值模擬值對比(擋板長度變化)Fig. 7 Comparison in the wave heights and sloshing forces between analytical and numerical simulation results(with variation in baffle length)

圖8 給出了不同水平擋板長度下儲液器側壁液面波高與晃動力對比圖(數(shù)值模擬值)，由圖可知，隨著水平擋板長度增大，液面波高與晃動力幅值減小，液體呈線性晃動，說明水平擋板長度的增大能夠提高儲液器的阻尼比，進而也更能抑制液體的非線性晃動。表4 給出了不同水平擋板長度下儲液器的晃動頻率值，從表中可以發(fā)現(xiàn)，隨擋板長度增加，儲液器晃動頻率逐漸減小，降低幅度最大值可達28%，這說明，水平擋板較大時，它對儲液器晃動頻率影響較明顯，不能忽略，而利用式(20)進行修正后的晃動頻率與數(shù)值模擬得到的值較接近，能獲得較好的預測效果。

圖8 不同水平擋板長度下液面波高與晃動力對比圖(數(shù)值模擬值)Fig. 8 Variation in wave height and sloshing force with the horizontal baffle length

表4 水平擋板長度變化對儲液器晃動頻率影響(z/h=0.5)Table 4 Effect of horizontal baffle length on water sloshing frequency in storage tank (z/h=0.5)

5 結論

通過上述分析，基于本文所研究的工況，得到的結論如下：

(1)水平擋板靠近儲液器底部或長度較小時，儲液器內(nèi)液體的非線性晃動現(xiàn)象較明顯，利用理論推導的非線性三階模態(tài)方程得到的波高、晃動力與數(shù)值模擬結果較接近，而一階理論線性值卻明顯低估了儲液器液面波高，但求解的晃動力卻與非線性值基本一致。

(2)隨著水平擋板到自由液面距離的變小或長度的增大時，液面波高、晃動力幅值減小，液體晃動呈線性變化，說明擋板位置或長度的增大能夠提高儲液器的阻尼比，進而也更能抑制液體的非線性晃動。

(3)當水平擋板位置大于0.9h時，即靠近自由液面，因擋板對液體運動的趨勢影響較明顯，使得線性、非線性理論模型計算的液面波高與晃動均明顯低于數(shù)值模擬結果。

(4)隨著水平擋板到自由液面距離的變小或長度的增大，儲液器晃動頻率逐漸減小，減小的最大值分別可達到5.7%、28%，這說明，水平擋板靠近自由液面或長度較大時，對儲液器晃動頻率影響較明顯，不能忽略。