巧用導(dǎo)數(shù)知識(shí) 破解教學(xué)疑點(diǎn)
——由一個(gè)典型物理錯(cuò)誤引發(fā)的思考

江蘇淮安市洪澤區(qū)教師發(fā)展中心（223100）程如林

一、問(wèn)題的由來(lái)

在近年某省高考試卷中出現(xiàn)了這樣一道物理試題。

［例1］如圖1 所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌固定在水平桌面上，每一根導(dǎo)軌每米長(zhǎng)的電阻值為r0=0.10 Ω/m，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，導(dǎo)軌的端點(diǎn)P、Q用電阻可以忽略不計(jì)的導(dǎo)線相連，兩導(dǎo)軌間的距離l=0.2 m，空間有隨時(shí)間變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于桌面，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B與時(shí)間t的關(guān)系為B=kt，比例系數(shù)為k=0.02 T·s-1。一電阻不計(jì)的金屬桿可以在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，在滑動(dòng)過(guò)程中保持與導(dǎo)軌垂直。在t=0 時(shí)刻，金屬桿緊靠在P、Q端，在外力作用下，桿以恒定的加速度從靜止開(kāi)始向?qū)к壍牧硪欢嘶瑒?dòng)，求在t=6.0 s時(shí)金屬桿所受到的安培力大小。

圖1

學(xué)生的解答普遍如下：

其實(shí)，這是錯(cuò)誤的！

在當(dāng)年的高考中，這道題的難度系數(shù)為0.077，錯(cuò)誤率非常高。造成這一錯(cuò)誤的原因是什么呢？

二、問(wèn)題的剖析

經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，這是由于教師在平時(shí)教學(xué)中對(duì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算公式?jīng)]有深入討論造成的。

在高中物理教材中，法拉第電磁感應(yīng)定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為E=，教材在給出這一表達(dá)式后，僅討論了“導(dǎo)線切割磁感線時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)”這一特殊情形，此情形下的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式可簡(jiǎn)化為E=Blvsinθ，如果導(dǎo)線垂直切割磁感線，則E=Blv，除此之外，教材中未討論其他情形下感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式。

教師在平時(shí)教學(xué)中通常會(huì)討論以下兩種特殊情形：

在這樣的背景下，學(xué)生便記住了這兩種特殊情形下的公式，并學(xué)會(huì)了處理這兩種特殊情形下的電磁感應(yīng)問(wèn)題。

而本題的情形是磁感應(yīng)強(qiáng)度B和面積S均發(fā)生了變化，這時(shí)如何計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)呢？

由于教師平時(shí)沒(méi)有深入討論，學(xué)生也就不清楚如何計(jì)算，所以，當(dāng)年遇到這種情形時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生在計(jì)算電動(dòng)勢(shì)時(shí)就套用了公式E=Blv，結(jié)果當(dāng)然是錯(cuò)的。

這是一個(gè)沉痛的教訓(xùn)，值得我們深刻記取。

那么，在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)該怎樣破解這一教學(xué)疑點(diǎn)呢？

三、問(wèn)題的破解

其實(shí)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，問(wèn)題便迎刃而解了，具體分析如下：

因?yàn)?，瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)E而Φ=BS（其中B，S均為變量）。

由導(dǎo)數(shù)公式可得：

這就是B，S均發(fā)生變化時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的一般計(jì)算公式，這是一個(gè)推廣公式。

不難發(fā)現(xiàn)，等式右邊有兩項(xiàng)，教師應(yīng)對(duì)這兩項(xiàng)的物理意義做進(jìn)一步的解釋。

第一項(xiàng)是由于運(yùn)動(dòng)（即S變化）而產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，叫作動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，第二項(xiàng)是由于磁場(chǎng)變化（即B變化）而產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，叫作感生電動(dòng)勢(shì)，總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是這兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和。

至此，可得到上述試題的正確解法如下：

綜合以上各式求解得F=1.44 × 10-3N

這才是正確的解答。至此，學(xué)生終于對(duì)這個(gè)問(wèn)題有了清晰的認(rèn)識(shí)。

四、問(wèn)題的拓展

為了強(qiáng)化相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，教師還可對(duì)這道題進(jìn)行拓展，具體如下。

［例2］如圖2 所示，直角形金屬導(dǎo)軌APQ固定在水平桌面上，導(dǎo)軌每米長(zhǎng)的電阻值為r0=0.10 Ω/m，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，空間有隨時(shí)間變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于桌面，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B與時(shí)間t的關(guān)系為B=kt，比例系數(shù)為k=0.02 T·s-1。兩個(gè)電阻不計(jì)的金屬桿CD、EF可以在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，在滑動(dòng)過(guò)程中，金屬桿CD保持與導(dǎo)軌PQ垂直，金屬桿EF保持與導(dǎo)軌AP垂直，金屬桿足夠長(zhǎng)。在t=0 時(shí)刻，金屬桿CD緊靠金屬導(dǎo)軌AP，金屬桿EF緊靠金屬導(dǎo)軌PQ，在外力作用下，金屬桿EF以恒定加速度a1=0.3 m·s-2從靜止開(kāi)始向左滑動(dòng)，金屬桿CD以恒定加速度a2=0.2 m·s-2從靜止開(kāi)始向下滑動(dòng)，已知金屬桿與金屬桿之間、金屬桿與導(dǎo)軌之間接觸良好，求在t=1.0 s時(shí)金屬桿EF所受到的安培力的大小。

圖2

分析：在本例中，有三個(gè)因素對(duì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有影響，分別是磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化、金屬桿EF水平向左運(yùn)動(dòng)、金屬桿CD豎直向下運(yùn)動(dòng)，即存在三個(gè)變量，這時(shí)怎么計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)呢？

此式即存在三個(gè)變量時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算公式。

綜合以上各式求得：F=1.2 × 10-4N

五、問(wèn)題的質(zhì)疑

質(zhì)疑1：在例1 中，總電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算公式是E=Blv+Sk；在例2 中，總電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算公式是E=Bl1v1+Bl2v2+Sk，在這兩種情形下，等號(hào)右邊各項(xiàng)都是大小相加的，這樣計(jì)算有沒(méi)有問(wèn)題呢？

下面進(jìn)行探討：

對(duì)例1，不妨假設(shè)磁場(chǎng)方向是垂直紙面向外的，則由右手定則可知，由于金屬桿運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)生電流的方向是沿桿向上的，在回路中是順時(shí)針?lè)较虻?；再由楞次定律可知，由于磁?chǎng)變化而產(chǎn)生的感生電流的方向也是順時(shí)針?lè)较虻??？梢?jiàn)，兩者方向是一致的，如果取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，則等號(hào)右邊各項(xiàng)均取正值，而且是大小相加的。

對(duì)例2，同理分析可知，等號(hào)右邊各項(xiàng)也應(yīng)是大小相加的。

結(jié)論1：對(duì)例1 和例2，關(guān)于總電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算公式，等號(hào)右邊各項(xiàng)是大小相加的，這樣計(jì)算沒(méi)有問(wèn)題。

質(zhì)疑2：是否在任何情況下，等號(hào)右邊各項(xiàng)都是大小相加的呢？下面通過(guò)例3進(jìn)行探討。

［例3］如圖3 所示，直角形金屬導(dǎo)軌APQ固定在水平桌面上，導(dǎo)軌每米長(zhǎng)的電阻值為r0=0.10 Ω/m，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，空間有隨時(shí)間變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于桌面，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B與時(shí)間t的關(guān)系為B=kt，比例系數(shù)為k=0.02 T·s-1。兩個(gè)電阻不計(jì)的金屬桿CD，EF可以在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，在滑動(dòng)過(guò)程中，金屬桿CD保持與導(dǎo)軌PQ垂直，金屬桿EF保持與導(dǎo)軌AP垂直，已知金屬桿EF向右勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小為v1=0.3 m/s，金屬桿CD向上勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小為v2=0.2 m/s，在t=1.0 s時(shí)，l1=0.1 m，l2=0.15 m，已知金屬桿與金屬桿之間、金屬桿與導(dǎo)軌之間接觸良好，求t=1.0 s 時(shí)金屬桿EF所受到的安培力大小。

圖3

分析：在本例中，存在三個(gè)變量，即有如下三個(gè)因素影響感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

金屬桿EF水平向右運(yùn)動(dòng)，由此產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)：E1=

金屬桿CD豎直向上運(yùn)動(dòng)，由此產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)：E2=

磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化，由此產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)：E3=

這時(shí)總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)應(yīng)該怎樣計(jì)算呢？

不妨假設(shè)磁場(chǎng)方向是垂直紙面向外的，分別考慮上述三個(gè)因素產(chǎn)生的感應(yīng)電流方向。

因金屬桿EF水平向右運(yùn)動(dòng)，由右手定則可知，產(chǎn)生的動(dòng)生電流方向沿桿向下，對(duì)回路來(lái)說(shuō)，是逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

因金屬桿CD豎直向上運(yùn)動(dòng)，由右手定則可知，產(chǎn)生的動(dòng)生電流方向沿桿向右，對(duì)回路來(lái)說(shuō)，是逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

因磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化，由楞次定律可知，產(chǎn)生的感生電流方向是順時(shí)針?lè)较颉?/p>

因此，若取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较颍瑒t總電動(dòng)勢(shì)為：E=Bl1v1+Bl2v2-Sk

這就是例3中總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算公式。

綜合以上各式求得F=7.2 × 10-5N

結(jié)論2：通過(guò)例3的分析可知，對(duì)由多個(gè)因素引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，關(guān)于總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算公式，等號(hào)右邊各項(xiàng)是相加還是相減或是混合加減，這個(gè)問(wèn)題要分別運(yùn)用右手定則和楞次定律對(duì)各個(gè)因素引起的感應(yīng)電流方向進(jìn)行判斷，再綜合判斷等號(hào)右邊各項(xiàng)是相加還是相減或是混合加減。在本文列舉的例1和例2中，經(jīng)判斷是各項(xiàng)大小相加；在例3中，經(jīng)判斷是各項(xiàng)大小混合加減。

六、問(wèn)題的反思

教師在平時(shí)教學(xué)中，對(duì)新的物理規(guī)律，不能只是簡(jiǎn)單交代一下物理公式就開(kāi)始進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練，而應(yīng)加強(qiáng)對(duì)物理公式的深入討論，弄清公式的來(lái)龍去脈，搞清公式的推導(dǎo)過(guò)程，對(duì)一些有疑惑而又必須進(jìn)行拓展和推廣的公式，要展開(kāi)討論，要通過(guò)各種方法讓學(xué)生深刻理解物理公式，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記住公式。只有這樣，學(xué)生才能準(zhǔn)確運(yùn)用公式。

導(dǎo)數(shù)是非常重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，在大學(xué)物理中導(dǎo)數(shù)有著非常廣泛的應(yīng)用。在新課程背景下，導(dǎo)數(shù)已被編入高中數(shù)學(xué)教材，而且屬于主干知識(shí)，教材中專門(mén)編有一章內(nèi)容“導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用”，介紹導(dǎo)數(shù)的基本概念、計(jì)算公式及實(shí)際應(yīng)用，其中包括許多用導(dǎo)數(shù)知識(shí)處理物理問(wèn)題的案例。有了高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識(shí)做基礎(chǔ)，在高中物理教學(xué)中，教師便可以用導(dǎo)數(shù)知識(shí)處理物理問(wèn)題，這符合新課程的教學(xué)理念。